历算全书 - 第 205 页/共 206 页

每度分有方堑堵方堑堵内函赤道所生撱体赤道撱体内又函黄道所生撱体黄道撱体内又函小方堑堵每度分有此四者则一象限内为五千四百者四共二万一千六百【以乙角五四○○乗之则一一六六四○○○○】 　　每度有正有余对心斜分则正度成句股锥余度成方底句股锥之眠体一象限凡四万三千二百【以五四○○乘之则二三三二八○○○○】 　　员容方直简法序 　　古未有预立算数以尽句股之变者有之自西洋八线表始古未有作为仪器以写浑员内句股之形者自愚所撰立三角始立三角之仪分之曰句股锥形曰句股方锥形合之则成堑堵形其称名也小其取类也大径寸之物以状浑员而弧三角之理如指诸掌即古法之通于弧三角者亦如指诸掌矣虽然犹无解于古法之不用割切也故复作此简法以互征之而授时厯三图附焉盖理得数而彰数得图而显图得器而真草野无诸仪象借兹以自释其疑不敢自私故以公之同好云尔【句股锥形是以西法通国法句鈠方锥形是以郭法通西法今此简法是専解郭法而两法相同之故自具其中】 　　员容方直仪简法【即句股方锥之方直仪而不用割切线祗以各弧正矢度相求其用己足亦不须用角】 　　立面中有句股形二其一大句股形【癸巳乙】以黄道半径【癸乙】为大距度正【癸巳】为股大距度余【巳乙】为句其一小句股形【壬戊乙】以黄道余【壬乙】为距纬正【壬戊】为股楞线【戊乙】为句 　　平面中亦有句股形二其一小句股形【庚戊乙】以距纬丙甲之余【庚乙】为以黄道正【戊庚】为股楞线【戊乙】为句其一大句股形【甲辛乙】以赤道半径【甲乙】为以赤道正【甲辛】为股赤道余【辛乙】为句【戊乙线于弧度无取然平立二形并得此补成句股谓之楞线】黄道正本在斜平面而能移于平面者有相望两立线【丙庚壬戊】为之限也距度正本在斜立面而能移于立面者有上下两横线【丙壬庚戊】为之限也此四线【两立两横】相得成长方其立 　　如堵故又曰弧容直濶也 　　有大距有黄道而求距纬　更之可求大距　反之可求黄道一　半径　　　癸乙　一　黄道余　一　大距正二　大距正　癸己　二　距纬正　二　半径三　黄道余　壬乙　三　半径　　　三　距纬正四　距纬正　壬戊　四　大距正　四　黄道余 　　有赤道有距纬而求黄道　更之可求赤道　反之可求距纬一　半径　　　甲乙　一　距纬余　一　赤道正二　赤道正　甲辛　二　黄道正　二　半径三　距纬余　庚乙　三　半径　　　三　黄道正四　黄道正　庚戊　四　赤道正　四　距纬余 　　郭太史本法 　　弧矢割员图【见授时厯草下并同】 　　凡浑员中割成平员任割平 　　员之一分成弧矢形皆有弧 　　背有弧有矢割弧背之形 　　而半之则有半弧背有半弧 　　有矢　因弧矢生句股形 　　以半弧为句【即正】矢减半 　　径之余为股【即余】半径则常为　句股内又成小句股则有小句小股小而大小可以互求或立或平可以互用【平视侧视二图皆从此出】 　　侧视之图 　　横者为赤道【赤道一规因旁视如一直线黄 　　道同】 　　斜者为黄道 　　因二至黄赤之距成大句股 　　【即外圈】 　　因各度黄赤之距成小句股 　　平视之图 　　外大员为赤道 　　内撱者黄道【从两极平视则黄道在赤道内 　　而成撱形】 　　有赤道各度即各其有半弧 　　以生大句股 　　又各有其相当之黄道半弧 　　以生小句股【此二者皆可互求】 　　授时厯求黄赤内外度及黄赤道差法 　　置黄道矢【本法用带从三乗方求各度矢】去减周天半径【即立面黄道半径】余为黄赤道小【即黄道余也半径为大故此为小】置黄赤道小以二至内外半弧【即二至大距度正当时实测为二十三度九十分】乘之为实黄赤大【即周天半径以其为立面大句股之故称大】为法除之得黄赤道内外半弧【即各度黄赤距度正也原法以矢度度半背差加入半弧得内外半弧背今省】 　　又置黄赤道小以黄赤道大股【即二至内外度余也在立面大句股形为大股】乗之为实黄赤道大为法除之【解见前】得黄赤道小股【即立面平面两小句股同用之楞线在立面与大股相比故称小股】置黄道半弧【即黄道正也原法以黄道矢求半背差减黄道度得之】自乗为股幂黄赤小股自乗为句幂【即楞线也先在立面为小句股形之股今又为平面句股形之句故其幂称句幂】两幂并之为实开平方法除之为赤道小【即各度黄赤距度余也周天半径为平面上大句股之故称大则此为小句股当称小】置黄道半弧以周天半径乗之为实赤道小为法除之得赤道半弧【即赤道正也原法求半背差以加半弧得赤道今省】 　　论曰弧矢割员者平员法也以测浑员则有四用一曰立弧矢势如张弓以量黄赤道二至内外度即侧立图也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平视图也一曰斜弧矢与平弧矢同法而平面邉髙邉下其庋起处如二至内外之度以量黄道即平视图中小句股也一曰斜立弧矢与立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各度之内外度即侧立图中小句股也自离二至一度起至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小于二至之距邢台郭太史弧矢平立三图中具此四法即弧三角之理无不可通言简而意尽包举无穷好古者所当珤爱而翫也 　　又论曰割员之算始于魏刘徽至刘宋祖冲之父子尤精其术唐宋以算学设科古书犹未尽亡邢台葢有所本厥后授时厯承用三百余年未加修改测箕之讲求益稀学士大夫既视为不急之务而台官株守成法鲜谙厥故骤见西术羣相骇诧而不知旧法中理本相同也畴人子弟多不能自读其书又忌人之读而各私其本久之而书亦不可问矣攷元史厯成之后所进之书凡百有余卷【郭守敬传有修改源流及测騐等书齐履谦传有经串演撰诸书明厯法之所以然】今其存轶并不可攷良可浩叹然天下之人岂无有能藏弆遗文以待后学者庶几出以相证予于斯图之义类多通而深有望于同志矣 　　问元初有回回厯法与今西法大同小异邢台葢防通其説而为之故其法相通若是与曰九章句股作于首为测量之根本三代以上学有専家大司徒以三物教民而数居六艺之一秦火以后吾中土失之而彼反存之至于流逺分遂以各名其学而不知其本之同也况东西共戴一天即同此句股测员之法当其心思所极与理相符虽在数万里不容不合亦其必然者矣攷元初有西域人进万年厯未经试用迨明洪武年间始命词臣吴伯宗西域大师马沙亦黒等译回回厯书三卷然亦粗具筭法立成并不言立法之原究竟不知其所用何法或即今三角八线或更有他法俱无可攷虽其子孙莫能言之攷元史所载西域人晷影堂诸制与郭法所用简仪髙表诸器无一同者或测量之理触类増智容当有之然未见其有防通之处也徐文定公言回回厯纬度凌犯稍为详宻然无片言只字言其立法之故使后来入室无因更张无术盖以此也又据厯书言新法之善系近数十年中所造则亦非元初之西法矣而与郭图之理反有相通岂非论其传各有本末而精求其理本无异同耶且郭法用员容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乗方以先得矢西用八线故先得又西専用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用种种各别而不害其同有所以同者在耳且夫数者所以合理也厯者所以顺天也法有可采何论东西理所当明何分新旧在善学者知其所以异又知其所以同去中西之见以平心观理则弧三角之详明郭图之简括皆足以资探索而啓深思务集众长以观其防通毋拘名相而取其精粹其于古圣人创法流传之意庶几无负而羲和之学无难再见于今日矣 　　角即弧解 　　问古法只用弧而西法用角有以异乎曰角之度在弧故用角实用弧也何以明其然也假如辰庚己三角形有庚钝角有己庚辰庚二邉欲求诸数依垂弧法于不知之辰角打线线先补求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚形此必用庚角以求之而庚角之度为丙丁是用庚角者实用丙丁也其法庚丙九 　　十度之正【即半径】与丙丁弧之正弧【即庚角正】若庚辰正与辰辛正是以大句股之例例小句股也又丙丁弧之割线【即庚角割线】与庚丁九十度之正【亦即半径凡角度所当弧其两边并九十度】若庚辰之切线与庚辛之切线亦是以大句股之例例小句股也 　　既补成辰辛巳三角形可求巳角而巳角之度为乙甲是求巳角者实求乙甲也其法辛己弧之正与辰辛弧之切线若己甲象弧之正【即半径】与乙甲弧之切线【即己角切线】是以小句股例大句股也