九章算术 - 第 4 页/共 23 页

问为田几何？答曰：二亩五十五步。 　　〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。 　　淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 　　术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。 　　〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕 　　又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。 　　〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。 　　淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径八步一百七十六分步之一十三。〕 　　问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。 　　〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。 　　淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 　　术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。 　　〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕 　　卷二 　　○粟米（以御交质变易） 　　粟米之法〔凡此诸率相与大通，其时相求，各如本率。可约者约之。别术然也。〕 　　粟率五十大抃五十四稻六十粝米三十粝饭七十五豉六十三粺米二十七粺饭五十四飧九十米二十四饭四十八熟菽一百三半御米二十一御饭四十二糵一百七十五小<麦啇>十三半菽荅麻麦各四十五今有〔此都术也。凡九数以为篇名，可以广施诸率。所谓告往而知来，举一隅而三隅反者也。诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。〕 　　术曰：以所有数乘所求率为实。以所有率为法。 　　〔少者多之始，一者数之母，故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三，是粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一。一者，谓以五约之，令五而为一也。讫，乃以三乘之，令一而为三。如是，则率至于一，以五为三矣。然先除后乘，或有余分，故术反之。又完言之知，粟五升为粝米三升；以分言之知，粟一斗为粝米五分斗之三，以五为母，三为子。以粟求粝米者，以子乘，其母报除也。然则所求之率常为母也。 　　淳风等按：“宜云所求之率常为子，所有之率常为母。”今乃云“所求之率常为母”知，脱错也。〕 　　实如法而一。 　　今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六升。 　　术曰：以粟求粝米，三之，五而一。 　　〔淳风等按：都术：以所求率乘所有数，以所有率为法。此术以粟求米，故粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故惟云三、五也。〕 　　今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。 　　术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。 　　〔淳风等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕 　　今有粟四斗五升，欲为米。问得几何？答曰：为米二斗一升五分升之三。 　　术曰：以粟求米，十二之，二十五而一。 　　〔淳风等按：米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之。半所求之率，以乘所有之数。所求之率既减半，所有之率亦减半。是故十二乘之，二十五而一也。〕 　　今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？答曰：为御米三斗三升五十分升之九。 　　术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。 　　今有粟一斗，欲为小<麦啇>。问得几何？答曰：为小<麦啇>二升一十分升之七。 　　术曰：以粟求小<麦啇>，二十七之，百而一。 　　〔淳风等按：小<麦啇>之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七，为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。 　　他皆仿此。〕 　　今有粟九斗八升，欲为大<麦啇>。问得几何？答曰：为大<麦啇>一十斗五升二十五分升之二十一。 　　术曰：以粟求大<麦啇>，二十七之，二十五而一。 　　〔淳风等按：大<麦啇>之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求米，半其二率。〕 　　今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。 　　术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。 　　〔淳风等按：粝饭之率七十有五，粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕 　　今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？答曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。 　　术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。 　　〔淳风等按：此术与大<麦啇>多同。〕 　　今有粟八斗六升，欲为饭。问得几何？答曰：为饭八斗二升二十五分升之一十四。 　　术曰：以粟求饭，二十四之，二十五而一。 　　〔淳风等按：<麦啇>饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕 　　今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？答曰：为御饭八斗二升二十五分升之八。 　　术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。