数学九章 - 第 2 页/共 29 页
按此数语葢因得数不合而自解之然算家终以得数为凖得数不合则无以取信于人矣
草曰置问数冬至三百六十五日四分日之一朔
防二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日各通分内子互乘之列三等位具图如后
冬至得一千四百六十一朔实得二万七千七百五十九甲子无母只是六十列三行互乘之具图如后
【气通 母 总等不约纪分】
以三行互乘右得一百三十七万三千三百四十为气分中得一十一万一千三十六为朔分左得二十二万五千六百为纪分先求总等得一十二【按十二乃朔分纪分所求等数亦可为气分等数故为总等】乃存纪分一位不约只以等一十二约气分得一十一万四千四百四十五又约朔分得九千二百五十三皆为元法乃以连环求等次以纪元二十二万五千六百与朔元九千二百五十三求等得一不约又以纪元与气元一十一万四千四百四十五求等得二百三十五只约气元得四百八十七次以气元四百八十七与朔元九千二百五十三求等得四百八十七只约朔元九千二百五十三得一十九约偏毕得四百八十七为气定得一十九为气定得二十二万五千六百为纪定以三定相乘得二十亿八千七百四十七万六千八百为衍母具图如后
各以定数约衍母各得衍数气得四百二十八万六千四百朔得一亿九百八十六万七千二百纪得九千二百五十三寄左行各满定数去之各得竒数
气竒得三百一十三朔竒得四纪竒得九千二百五十三各与定数用大衍求一各得乘数列右行对寄左行衍数具图如后
各以大数入之气乘率得四百七十三朔乘率得五纪乘率得一十七万二千七百一十七对左行衍数以右行乘率对乘左行衍数气泛得二十亿二千七百四十六万七千二百朔泛得五亿四千九百三十三万六千纪泛得一十五亿九千八百一十五万四百一十具图如后
右列用数并之共得四十一亿七千四百九十五万三千六百一为泛用数与衍母二十亿八千七百四十七万六千八百验之在衍母以上就以衍母除泛得二乃知泛内多一倍母数当于各用内损去所多一倍按术验法元图内诸元数奇偶同类者各损其半今验法元图气元尾数是五纪元尾数是六百为俱五同类乃以术母二十亿八千七百四十七万六千八百折半得一十亿四千三百七十三万八千四百以损泛用图内气泛纪泛毕其朔泛不损各得气朔纪正用数其气正用得九亿八千三百七十二万八千八百朔正用五亿四千九百三十三万六千纪正用五亿五千四百四十一万二千一列为正用图在前
既得正用数次验问题十一月朔日丙辰冬至初五日庚申初九日甲子乃以初一减初九甲子余八日为朔不及次以初五亦减初九甲子余四日为气不及以二不及各乘正用得数具图如后
先以气不及甲子四日以乘气正用数九亿八千三百七十二万八千八百得三十九亿三千四百九十一万五千二百为气总次以朔不及甲子八日数以乘其朔正用数五亿五千九百三十三万六千得四十三亿九千四百六十八万八千为朔总并之得八十三亿二千九百六十万三千二百为总数满母二十亿八千七百四十七万六千八百去之不满二十亿六千七百一十七万二千八百为所求率实具图如后
按求积嵗应以甲子距冬至前之日分乘纪用数为纪总以合朔距冬至前之日分乘朔用数为朔总并纪总朔总满衍母去之以嵗实分除之即已过积年草内以冬至距甲子前之日分乘气用数合朔距甲子前之日分乘朔用数并之乃求纪周法非求嵗周法也故不合
置所得率实二十亿六千七百一十七万二千八百如法元图纪元法二十二万五千六百而一得九千一百六十三年为厯过年数次置衍母二十亿八千七百四十七万六千八百为实如法元图气元一十一万四千四百四十五为法而一得一万八千二百四十年为气朔甲子一会积年内减厯过九千一百六十三年余九千七十七年为未至年数次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘积一会年一万八千二百四十得六百六十六万二千一百六十日为一会积日又以术母为实如法元图朔元法九千二百五十二而一得二十二万五千六百月为一会积月合问
按此纪元即纪分以纪分除率实乃纪周数非已过年数也求一会积年当以气分为法以气元为法亦误此二数既误余数无是者矣然题已不合既法合数亦不能合也今改设一题于后以明其法焉
设古法嵗实三百六十五日四分日之一朔防二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三冬至癸夘日子正初刻问距前后甲子日子正初刻合朔冬至之年数各几何
荅曰距前八百七十六年距后六百四十四年
法按前法求至正用乃以冬至癸夘距甲子后三十九日为纪余以日法【即气分母朔分母相乘之数】三千七百六十分通之得十四万六千六百四十为纪余分以乘纪正用得纪总八十一兆二千九百八十九亿七千五百八十二万六千六百四十次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三与冬至距甲子三十九日相减得二十一日又四百七十分日之三百五十七以日法三千七百六十通之得八万一千八百一十六为朔余分以乘朔正用得朔总四十四兆九千四百四十四亿七千四百一十七万六千并二总数满衍母去之得率实十二亿零三百零四万五千八百四十为实以嵗实一百三十七万三千三百四十为法除之得八百七十六年为距前气朔甲子会积之年数又以衍母为实以嵗实分为法除之得一千五百二十年为前会积距后会积之年数减去距前会积之年数余六百四十四年为距后会积之年数既得积年若欲还原求题中干支时刻则以前会之积年与嵗实相乘得三十一万九千九百五十九为积日满纪法六十去之余三十九日自初日起甲子得冬至为癸夘日子正初刻又置积日以朔防日分九百四十通之为实以朔防通分纳子为法除之得一万零八百三十四为积朔余二万零四百五十四又为实以朔防日分九百四十为法除之得二十一日又九百四十分之七百一十四约之为四百七十分日之三百五十七为距冬至前日数与甲子距冬至前三十九日相减得一十七日又四百七十分日之一百一十三为距甲子后日数自初日起甲子得辛巳为平朔干支悉与题合
推库额钱
问有外邑七库日纳息足钱适等递年成贯整纳近縁见钱稀少听各库照当处市陌凖解旧会其甲库有零钱一十文丁庚二库各零四文戊库零六文余库无零钱甲库所在市陌一十二文递减一文至庚库而止欲求诸库日息原纳足钱展省及今纳旧会并大小月分各几何
按题意系七邑日纳共钱同数以各邑市陌数计之或适足或有余多寡不同甲陌十二则余十乙陌十一丙陌十则无余丁陌九则余四戊陌八则余六己陌七则无余庚陌六则余四以求共钱同数此本术也又问展省旧会按草中展省乃官省陌以七十七为一百所展日息共钱之数旧会乃以各陌数为一百所升日息共钱之数二者在本术中已赘且不明言展省旧会用数求法皆故为溟涬也
荅曰诸库纳日息足钱二十贯九百五十文
展省三十五贯文
甲库日息旧会二百二十四贯五百一十文【按应作五百文又六分文之五】大月旧会六千七百三十七贯五百文【按少二十五文】小月旧会六千五百一十二贯九百二文【按应作六千五百一十贯五百又六分文之一】乙库日息旧会二百四十五贯文 大月旧会七千三百五十贯文 小月旧会七千五百贯文【按应作七千一百五贯】
丙库日息旧会二百六十九贯五百文 大月旧会八千八十五贯文 小月旧会七千八百一十五贯五百文
丁库日息旧会二百九十九贯四百四文【按应作四百四十四文又九分文之四】大月旧会八千九百八十三贯三百三文【按少三十文又三分文之一】 小月旧会八千六百八十三贯八百八文【按少八十文又九分文之八】戊库日息旧会三百三十六贯八百六文【按应作七十五文】 大月旧会一万一百六贯二百四文【按应作二百五十文】 小月旧会九千七百六十九贯三百六文【按应作七十五文】
己库日息旧会三百八十五贯文 大月旧会一万一千五百五十贯文 小月旧会一万一千一百六十贯文【按少五贯】
庚库日息旧会四百四十九贯一百四文【按应作一百六十六文又分三文之二】 大月旧会一万三千四百七十五贯文 小月旧会一万三千二十四贯八百二文【按应作二万三千二十五贯八百三十三文又三分文之一】
术曰以大衍求之置甲库市陌以库减库减之各得诸库原陌连环求等约竒弗约偶【按此特为等数为偶者言之若等数为竒者则约偶弗约竒】得定母诸定相乘为衍母以定约衍母得衍数衍数同衍母者去之为无【无者借之同类】其各满定母去余为竒数以竒定用大衍求乘率乘衍数为用数无者则以原数同类者求等约衍母得数为借数次置有零文库零钱数乘本用数并为总数满衍母去之不满为诸库日息足钱各大小月日数乘之各为实各以原陌约为旧会
草曰置甲库市陌一十二递减一得一十一为乙库陌十一为丙库陌九为丁库陌八为戊库陌七为己库陌六为庚库陌得诸库原陌
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
以连环求等约讫甲得一乙得十一丙得五丁得九戊得八己得七庚得一各为定母立各一为子按此法之要在于求定而术中独畧之今详其式于后
法列七库陌数于前先以甲与
乙相约无等数与丙数相约得
等数二【偶】约丙十得五【竒】与丁
数相约得等数三【奇】约甲十二
得四【偶】与戊数相约得等数四
【偶】约甲四得一【奇】甲数既为一
不能约即为与诸数徧约毕
次以乙与下五数相约俱无等
次以丙与下四数相约亦俱无
等次以丁与戊己二数相约俱
无等与庚数相约得等数三【奇】约庚六得二【偶】次以戊与己相
约无等与庚相约得等数二【偶】约庚二得一【奇】庚既为一己亦
不能与之相约乃为连环求等毕得定数为甲一乙十一丙五丁九戊八己七庚一也后凡求定数仿此
【定母】
先以诸定相乘得二万七千七百二十为衍母次以诸定互乘诸子甲得二万七千七百二十乙得二千五百二十丙得五千五百四十四丁得三千八百戊得三千四百六十五己得三千九百六十庚得二万七千七百二十各为衍数
定母右行