御制数理精蕴 - 第 7 页/共 595 页

第十 　　凡函于圜内之三角形以其一角为两平分自角至底作一线则所分底线两叚互相为比即同于所分角之两傍两边线之互相为比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分至乙丙底作甲丁一线则分一丙底线为乙丁丁丙两叚以乙丁与丁丙之比即同于以甲乙小边线与甲丙大边线之比也试自所分底线之丁至甲丙线与甲乙平行作丁戊一线即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既为乙甲丁戊平行线一边之内外角其度必等【见首卷第二十三节】而甲乙丙戊丁丙两三角形又共一丙角故此两三角形之各二角度等为同式两三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因为平行线内二尖交错之角其度亦等然则乙甲丁之甲角既为甲乙丙之甲角之两平分则甲丁戊之丁角亦与甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等则二角所对之丁戊甲戊二线亦必等矣甲乙丙戊丁丙两三角形既为同式而三角之度又俱等则其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二线互相为比即同于戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二线互相为比之比例也今戊丁甲戊二线其度既等则甲乙线与甲丙线之比又同于以甲戊线与戊丙线之比至于丁戊平行线所截乙丁一叚与丁丙一叚之比则又同于甲戊一叚与戊丙一叚之比矣是故甲乙线与甲丙线之比为同于乙丁线与丁丙线之比也 　　防何原本十 　　第一 　　大凡直角立方体积皆生于面线互乗之度故欲知方体所生比例之分将所比形之长寛与厚详较之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二体其甲乙大形之戊己长比丙丁小形之庚辛长甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱为大一倍其甲乙大形之戊乙底平面积与丙丁　形之庚丁底平面积之比例将纵横二线之长寛度分考之即得【见七卷第二节】既得二体底积之比例乃以二形之厚度复与底积比之即可知甲乙丙丁二体之比例矣葢甲乙大体之戊己戊壬长寛之度既比丙丁小体之庚辛庚癸长寛之度大一倍则戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然则甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍则甲乙体形之内如丙丁体形四倍者有二可知矣是故欲知直角方体之比例以本体之长寛与厚互相比例以较之即得直角方体互相为比之比例也 　　第二 　　有两直角长方体若将此一体之底度与他一体之底度又将他一体之厚度与此一体之厚度为比其比例若同则此二体之积必等也如甲乙丙丁两直角长方体甲乙体之戊乙底度比丙丁体之庚丁底度大一倍而丙丁体之丙庚厚度比甲乙体之甲戊厚度亦大一倍则甲乙丙丁二体之积必相等是故两体之底积与厚度相较则两体之积可知矣葢体积之比例视其面线今两体之底面厚度交互相等如此其体积不得不等也 　　第三 　　有两直角方体其底面积之纵横二界相比之比例与厚度面积之纵横二界相比之比例若俱同则此两体为直角正方同式体也如甲乙丙丁两直角方体其甲乙体之戊乙底面之戊己横界比丙丁体之庚丁底面之庚辛横界大一倍甲乙体之戊乙底面之戊壬纵界比丙丁体之庚丁底面之庚癸纵界大一倍甲乙体之甲己厚面之甲戊直界比丙丁体之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍则甲乙丙丁之两体俱为直角正方同式体也至于两体所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱为相当之界而可互相为比例矣第四 　　凡同式直角正方体其体积之比例比之两界线之比例为连比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁两同式直角正方体其相当之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相为比之比例俱各大一倍则此甲乙体积与丙丁体积之比比之甲乙体之界线与丙丁体之界线之比者即如连比例四率内隔二位相加之比例矣盖甲乙体之各界既为丙丁体之各界之二倍则甲乙体内如丙丁体之二倍者有四二其四为八故甲乙体积比丙丁体积大八倍夫以甲乙体积八与丙丁体积一相比为八分之一甲乙体界二与丙丁体界一相比为二分之一其比例不同盖以八分比一分较之二分比一分为四倍也如欲求其相连比例之率则于甲乙体之界四倍之得八分与丙丁体界一分为比即如甲乙体积与丙丁体积之比例矣夫八与四四与二二与一皆为连比例二分之一之比例今以八与一为比其间隔四与二之两位故曰同式两体积之比例为两界上连比例隔二位相加之比例也【若边为三倍则面为九倍体为二十七倍亦为隔二位相加之比例也】 　　第五 　　有两同式直角长方体于两体相当之二界各作两正方体互相为比即同于原两长方体之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方体在戊乙己丁相当二横界各作甲庚丙辛二正方体则所作之甲庚丙辛两正方体互相为比之比例仍同于原有之甲乙丙丁两长方体互相为比之比例也夫甲乙丙丁同式之两长方体既为隔二位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之两正方体亦必为隔二位相加之比例矣然则原有之甲乙长方体为原有之丙丁长方体之八分之一其所作甲庚正方体亦为所作丙辛正方体之八分之一可知矣第六 　　凡有大小平面体其相当角度俱等而相当界之比例又同则谓之同式体也如甲乙大小两平面体其相当各界之度俱等而相当各界之比例又同则甲乙二体谓之同式平面正方体也如丙丁大小两四瓣体其相当各角之度俱等而相当各界之比例又同则丙丁二体谓之同式四瓣体也又如大小圆面体于其内外作各种平面体其平面体之式若同则圆面体亦谓之同式体如戊己大小两圆体所函之庚辛尖瓣等体是也 　　第七 　　同式各种体之比例同于在各体相当界所作正方体之比例也如甲乙丙丁戊己大小两三角尖瓣体互相为比即同于乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方体之互相为比又如壬癸两圆球体其互相为比之比例亦同于圆球径相当之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊两正方体互相为比之比例也盖同式平面形互相为比之比例同于各相当二界所作正方面形互相为比之比例矣今各种体之式既同故其相当面互相为比之比例必同相当面互相为比之比例同者縁相当面之各相当界互相为比之比例同也故凡同类两体知此一体之度而不知彼一体之度欲求知之则在同式两体相当二界各作一正方体此所作之二体一为一率一为二率所知之体为三率推得四率即其未知之体矣或有同类两体知此一体之界而不知彼一体之界则依所知一体之界作一正方体其两体一为一率一为二率所作正方体为三率推得四率即是彼一体界数所作之正方体矣故曰同式两体之比例与相当界所作正方体之比例相同也 　　第八 　　凡圆面半径与球体半径等者其圆面积为球体外面积之四分之一而圆面半径与球体全径等者其圆面积与球体外面积等也如丁己圆面之丁戊半径与甲丙球体之甲乙半径等则丁己圆面积为甲丙球体外面积之四分之一又如庚壬圆面之庚辛半径与甲丙球体之甲丙全径等则庚壬圆面积与甲丙球体外面积等也试作子寅卯一尖圆体使其寅辰卯之底面积与甲丙球体外面积等其子丑髙度与甲丙球体之甲乙半径等则此尖圆体积与球体积相等【见五卷第二十五节】又作午未申一小尖圆体使其未申底径与甲丙球体之全径等亦与大尖圆体之寅丑半径等其午酉髙度与甲丙球体之甲乙半径等亦与大尖圆体之子丑髙度等则此小尖圆体积为球体积之四分之一亦即为大尖圆体积之四分之一何以见之盖大小两面之比例同于相当界所生连比例隔一位加一倍之比例今大尖圆体之寅夘底径比小尖圆体之未申底径大一倍则大尖圆体底积比小尖圆体底积必又大一倍则小尖圆体底积为大尖圆体底积之四分之一矣又两体同髙者其体积之比例同于其底面之比例今小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一则其体积必为大尖圆体积之四分之一而亦为球体之四分之一矣【球体原与大尖圆相等】夫大尖圆体之底积原与球体之外面积等小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一亦必为球体外面积之四分之一而丁己圆面固与小尖圆之底积等则为球体外面积之四分之一无疑矣至于庚壬圆面之径原比丁己圆面之径大一倍则其面积必大四倍今丁己圆面既为甲丙球体外面积之四分之一则庚壬圆面积比丁己圆面积大四倍者安得不与球体外面积相等乎第九 　　凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等则球体为长圆体之三分之二也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径度等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体积为长圆体积之三分之二也盖长圆体与尖圆体同底同髙则其比例为三分之一【五卷第二十三节言平底尖体与上下面平行体同底同髙则尖体为平行体三分之一】尖圆体之底径与球之全径等髙与球之半径等者尖圆体积为球体积之四分之一而尖圆体又为半球体之二分之一矣【説见前节】今于乙己庚丁半长圆体内作己壬庚半球体又作一壬己庚尖圆体则此尖圆体为半球体之二分之一尖圆体既为半球体之二分之一又为半长圆体之三分之一则半球体岂非长圆体之三分之二乎夫全与全之比例即若半与半之比例今半长圆与半球之比例为三分之二则全长圆体与全球体之比例亦为三分之二可知矣 　　第十 　　凡球体全径与长圆体底径髙度相等者其球体外面积与长圆体周围面积等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体其球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则此球体外面积必与长圆体之周围面积等也大凡体之面积相等者其体积之比例同于其髙之比例而体积之比例与髙之比例同者其面积必相等试将球体乙壬半径分为六分取其三分为髙以长圆周围面积为底所成之体积必与长圆体积等取半径之二分为髙以球体外面积为底所成之体积必与球体之积等盖长圆体与球体之比例原为三与二之比例此所成之二体亦必为三与二之比例一体之髙为三分一体之髙为二分是积之比例与髙之比例同矣非因其面积相等之故乎由是观之球体外面积与长圆体周围面积相等也明矣 　　第十一 　　凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等者其相当毎段之外面积皆相等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体之癸丙寅一段凸面积必与相当长圆积之辰己庚己一段周围外面积等也夫乙辰巳丁一段长圆体内分出子癸寅丑一小长圆体余癸子乙辰巳丁丑寅空心体此空心体与子癸寅丑长圆体之积必等何以知之盖壬癸为大圆面之半径而所截卯癸又为小圆面之半径其壬卯与卯癸之度又等故壬癸壬卯卯癸三线成一壬癸卯直角三角形而壬癸半径所作圆面必与壬卯卯癸两线为半径所作两圆面等【见九卷第六节】又壬癸与壬乙皆一圜之辐线其度必等而卯辰原与壬乙相等故卯辰为半径所作之圆面即壬癸为半径所作之圆面于卯辰为半径所作圆面内减去夘癸为半径所作圆面即余壬癸环面与壬卯为半径所作之圆面等而壬卯与卯癸原相等然则辰癸环面既与壬卯半径所作之圆面等亦必与卯癸为半径所作之圆面等矣夫卯癸即小长圆底之半径而辰癸又为空心体底之环径其两面积既等则其两体积必等无疑矣又壬癸寅小尖圆体原与癸乙辰巳丁寅曲凹体等【乙丙丁半球体为半长圆体三分之二则癸乙己丙庚丁寅曲凹体为长圆体三分之一与壬己庚尖圆体相等故壬癸寅一段尖圆体与相当癸乙辰巳丁寅一段曲凹体亦必相等也】而壬癸寅小尖圆体为子癸寅丑小长圆体三分之一则癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为辰癸空心体之三分之一矣于乙辰巳丁长圆体内减去壬癸寅小尖圆体又减去癸乙辰巳丁寅曲凹体则余乙癸壬寅丁一段空心球体必与乙辰壬巳丁一段空心长圆体等【如以乙辰巳丁一段长圆体作六分则子癸寅丑小长圆为三分壬癸寅小尖圆体为一分与小尖圆体相等之癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为一分今既减去小尖圆体及曲凹体是于六分内减去二分而存一段空心球体为四分也而壬辰巳大尖圆体亦为乙辰巳丁辰圆体三分之一于长圆体内减去大尖圆体则余乙辰壬巳丁空心长圆体为三分之二也三分之二之比例同同于六分之四之比例则此一段空心长圆体与一段空心球体相等无疑】若将此两空心体从壬心至外面剖为千万尖体【俱以乙壬半径为髙以两空心体外面为底】则空心球体所分之各尖体与空心长圆体所分之各尖体其积既等其髙又等则其底不得不等【同底同髙者其积既等则同髙同积者其底必等】此各尖体之底既等则两空心体之外面积相等可知矣【千万尖体之底即两空心体之面也】夫乙丙丁半球体外面积原与乙己庚丁半长圆体周围外面积等于半球体内减去乙癸寅丁一段余癸丙寅一段球体于半长圆体内减去乙辰巳丁一段余辰己庚已一段长圆体其减去之各段外面积既相等则所余之球体癸丙寅一段凸面与长圆体辰己庚已一段周围外面积相等也明矣 　　第十二 　　凡撱圆体大径与圆球体径相等者其二体积之比例即同于撱圆体小径所作方面与圆球体径所作方面之比例也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己圆球径等则撱圆体积与球体积之比例即同于撱圆乙丁小径所作方面与球体戊己径所作方面之比例也试将撱圆体与球体任意依径线平行分之其所分之大小平圆面如子丑乃球体大圆面之径寅卯乃撱圆体小圆面之径此大小两平圆面之比例同于其相当子丑寅卯二径所作二方面之比例【见八卷第十一节】而子丑径与寅卯径之比例又同于戊己径与乙丁径之比例故此所分之大小圆面之比例亦必同于戊己方面与乙丁方面之比例矣若将此两体与戊己径平行任意分为防何面其相当大小两面之比例皆如戊己方面与乙丁方面之比例此所分各面之比例既皆同于乙丁与戊己所作方面之比例则撱圆体与圆球体之比例必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例可知矣即所分之寅丙卯撱圆体之一段与子丙丑圆球体之一段其比例亦必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例矣 　　第十三 　　凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体为长圆体之三分之二亦如圆球体与同径同髙长圆体之比例也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径亦与长圆体之己庚底径等则撱圆体为长圆体之三分之二其比例即如子丑寅卯球体与辰巳午未长圆体之比例也盖戊己庚辛长圆体之戊己髙度与辰巳午未长圆体之辰巳髙度等故两长圆体之比例即同于己庚底积与巳午底积之比例至于戊己庚辛长圆体之己庚底积与撱圆体之乙丁小径所作圆面积等而辰巳午未长圆体之巳午底积又与球体丑卯全径所作圆面积等则戊己庚辛长圆体积与辰巳午未长圆体积之比例即同与撱圆体之乙丁小径所作圆面与球体丑卯全径所作圆面之比例矣夫撱圆体与球体之比例原同于撱圆体小径所作圆面与球体全径所作圆面之比例故撱圆体与球体之比例亦同于撱圆体同径同髙之长圆体与球体同径同髙之长圆体之比例也若转比之即戊己庚辛长圆体与甲乙丙丁撱圆体之比例亦同与辰巳午未长圆体与子丑寅卯球体之比例矣夫球体既为同径同髙长圆体之三分之二则撱圆体亦必为同径同髙长圆体之三分之二可知矣 　　第十四 　　凡函撱圆之长方体与所函撱圆体之比例同于函球之正方体与所函球体之比例也如甲乙丙丁长方体函一戊己庚辛撱圆体其长方体之甲乙髙度与撱圆体之戊庚大径等长方体之乙丙底度与撱圆体之己辛小径等则此甲乙丙丁长方体与所函戊己庚辛撱圆体之比例同于壬癸子丑正方体与所函寅卯辰午球体之比例也盖甲乙丙丁长方体之甲乙髙度与壬癸子丑正方体之壬癸髙度等故长方体与正方体之比例同于两体底积之比例今此长方体之底积与所函撱圆体之己辛小径所作方面等而正方体之底积与所函球体之卯午全径所作方面等矣然则此长方体与正方体之比例不同于撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例乎夫撱圆体与球体之比例原同与撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例则撱圆体与球体之比例同于函撱圆体之长方体与函球体之正方体之比例可知矣若转比之则长方体与所函撱圆体之比例亦必同于正方体与所函球体之比例矣 　　第十五 　　凡撱圆体大径与圆球体之径等者其撱圆体外面积与球体外面积之比例即同于撱圆体小径与球体全径之比例即任分一段其相当一段外面积之比例亦无不同也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己球体全径等则此撱圆体外面积与球体外面积之比例必同与撱圆体之乙丁小径与球体之戊己全径之比例也即任分寅内卯一段撱圆体外面积与子丙丑一段球体外面积之比例亦仍同于乙丁小径与戊己全径之比例也盖两体所分寅卯子丑平圆面皆与乙丁戊己径线平行故寅卯圆界与子丑圆界之比同于寅卯圆径与子丑圆径之比而寅卯径与子丑径之比又同于乙丁径与戊己径之比也然此两体依径平分可为无数平圆界其相当各圆界之比例既皆同于乙丁径于戊己径之比例则全体外面积之比例岂不同于乙丁径与戊己径之比例乎至于所分之寅丙卯一段撱圆体与子丙丑一段球体俱可分为平圆以比之则一段与一段之比例无异于全体与全体之比例也明矣第十六 　　凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体外面积与长圆体周围外面积等即任分一段其相当一段之外面积亦无不等也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径与长圆体之己庚底径等则撱圆体之外面积与长圆体周围之面积等即任分壬丙癸一段撱圆体外面积亦与相当壬己庚癸一段长圆体之外面积等也试依撱圆体甲丙大径度作子丑寅卯一球体并作与球体同髙同径辰巳午未一长圆体则此两长圆体之髙度等其二体周围面积之比例必同于二体底径之比例二长圆体底径之比例即是撱圆体之乙丁小径与球体之丑卯全径之比例也撱圆体外面积与球体外面积之比例原同于撱圆体乙丁径与球体丑卯径之比例则戊己庚辛长圆体外面积与撱圆体外面积之比例亦同于辰巳午未长圆体外面积与球体外面积之比例也夫球体外面积原与辰巳午未长圆体外面积等而撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积之比例既与球体外面积与辰巳午未长圆体外面积之比例相同则此撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积相等无疑矣至于撱圆体所分一段与球体所分一段之比例与其全体之比例亦相同今撱圆体外面全积与戊己庚辛长圆体周围外面全积之比例既同于球体外面全积与辰巳午未长圆体周围外面全积之比例则所分撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积之比例亦必同于所分球体之申寅酉一段外面积与长圆体之戌巳午亥一段外面积之比例矣彼球体之申寅酉一段外面积既与长圆体之戌巳午亥一段外面积相等则此撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积相等也明矣 　　御制数理精蕴上编卷三 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴> 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴上编卷四 　　几何原本十一 　　几何原本十二 　　几何原本十一 　　第一 　　作三界度等之三角形及两界度等之三角形法如欲作三界度等之三角形则作一甲乙线取甲乙之度为准以甲为心自甲至丙作弧一段又以乙为心自乙至丙作弧一段两弧相交处至甲乙作二线即成三界度等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三角形之甲乙甲丙丙乙三界原系一圜之辐线其度必等度既等而线未有不等者也若欲作两度等之三角形仍作一甲乙线比甲乙线之度或大或小取一度以甲乙二处为圜心皆至丙作弧两段仍于两弧相交处作二线即成两界度等之甲丙乙三角形矣葢甲丙丙乙二线虽比甲乙线或大或小然二线俱同为一圜之辐线其度自等两度既等则两界线亦必等也 　　第二 　　平分直线角为两分法如甲乙丙角欲平分为两分乃以一角为心任意作弧线一段则乙甲乙丙二线截于丁戊即成乙丁乙戊等度二线自弧两端复作一丁戊线照丁戊线度依前节法作一三界度等之丁己戊三角形则己角与乙角正相对乃自乙角至己角作一乙己直线即分甲乙丙角为两平分矣何也其乙丁己乙戊己两三角形之乙丁乙戊二界是一圜之辐线其度等而丁己戊己二界是三界度等三角形之两傍界其度亦等而乙己线既为两形之共界其等无疑此两三角形之各界度既各相等则与丁己戊己界相对之丁乙己戊乙己二角亦必相等可见矣【见二卷第七节】 　　第三 　　平分一直线为两分法如有甲乙一直线欲平分为两叚乃如第一节法于甲乙线上作乙甲丙乙三界度等之三角形又如第二节法平分甲丙乙角为二分自丙角作垂线至甲乙线即平分甲乙线于丁而甲丁丁乙两叚必等也葢甲丙乙原为三界度等之三角形今作丙丁垂线平分为两三角形则两三角形之相当各角各界必俱等而甲丁丁乙为两形相当之底界其度安得不等乎 　　第四 　　横线上立纵线法如有甲乙一横线欲于丙处立一纵线则于丙之两傍任意取等度二分为戊丙己丙以戊为心于横线上作弧一叚又以己为心于横线上作弧一叚两弧相交于丁此丁处正与丙相对自丁至丙作一直线即甲乙线上正立之纵线也试自戊己至丁作二线成一戊丁己三角形此形之丁戊丁己两线俱同一圜之辐线其度必等而丁丙线既将戊己底线为两平分则丁丙线必为甲乙线之垂线矣【见二卷第十节】第五 　　有一横线自此线上不拘何处立纵线法如有甲乙一横线自此线上丙处至甲乙线欲作一纵线则以丙为心作弧线一叚截甲乙线于戊己乃自戊己至丙作二线成一戊丙己三角形又照第二节分角法平分丙角为二分自丙至甲乙线上作丙丁线则此丙丁线即为自丙至甲乙线之纵线也葢戊丙己三角形之丙戊丙己两界度等故戊角与己角必等而丙丁线又平分丙角为二则所分之戊丙丁己丙丁两角度亦等而丙丁戊丙丁己两并角亦必等此两并角既等则成两直角既成两直角则丙丁线必为甲乙横线之垂线矣【见一卷第十节】 　　第六 　　在横线一边立纵线法如有甲乙横线在乙边欲立一纵线则于甲乙线上不拘何处立为圜心如以丙为圜心自丙至乙为圜界旋转作一圜则于甲乙线丁处相交即自丁处过丙心至相对界作一直线交圜界于戊乃自戊至乙作一戊乙直线即是乙边所立之纵线也葢丁乙戊角因在半圜必为直角【见四卷第十四节】既为直角则戊乙线必为甲乙线之垂线既为垂线故为横线一边所立之纵线也若甲乙线一边之上有一戊防欲自戊至甲乙线一边作一垂线则自戊至甲乙线任意作一戊丁斜线遂将戊丁斜线平分于丙于是以丙为心自戊旋转作一圜则截甲乙线于己自戊至己作一直线即是欲作之垂线也葢戊己丁角既在半圜必为直角既为直角则戊己必为垂线矣 　　第七 　　一圜分为三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分为三百六十度则取圜之辐线度縁圜界比之即分圜界为六叚将六叚各平分为二则为十二叚十二叚各平分为三则为三十六叚三十六叚各平分为十即成三百六十度矣第八 　　一直线上作角度法如甲乙线上欲作三十度之角则用有度之圜依圜之丙丁辐线度截甲乙线于戊于是以甲为心自戊作弧一叚复依圜界之丙庚三十度之分自戊截弧于己乃自己至甲作一直线即成己甲戊三十度之角矣第九 　　各种多界形仿己有之形或大或小叧作一同式形法如有甲乙丙一三角形欲仿此式叧作一形则考甲乙界度有防分如甲乙界度为三分今取其二分作一丁戊线又以甲丙界度亦作三分而取其二分以丁为圜心作弧一叚又以乙丙界度亦作三分而取其二分以戊为圜心作弧一段两弧相交于己乃自己至丁戊作二线即成丁戊己一小三角形与原有甲乙丙大三角形为同式也葢丁戊己三角形之三界虽与甲乙丙三角形之三界不等而其相当各角之度俱等因其相当各角之度俱等故其相当各界之比例皆同相当各界之比例既同则其二形之式不得不同也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲仿此式叧作一形则在此六界形作分角线分为四三角形照前法仿作四三角形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其式与原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也 　　第十 　　有一直线或上或下一防作与此线平行一线法如甲乙线上有一丙防欲自丙防作与甲乙线平行一线则以丙为圜心任意取甲乙线之近甲边一处作弧一叚如丁又取甲乙线之近乙边一处为心如戊乃照丙丁原度于丙防相对处作弧一叚如己复照丁戊度以丙为心于丙防相对处作弧一叚则二弧相交于己乃自丙至己交处作一丙己直线即为甲乙线之平行线也何则试自丁戊二处至丙己二处作二线即成丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁己戊相对之两纵线丙己丁戊相对之两横线因依各度所取必两两相等既两两相等则必为平行线之四边形然则丙己甲乙为平行线四边形之二线岂有不平行之理哉 　　第十一 　　有一直线上作一正方形法如甲乙一直线欲作一正方形则以甲为心取甲乙度自乙至丙作乙弧线又以乙为心依甲乙度自甲至丁作一弧线又于甲乙线之两端照本卷第六节立甲丙乙丁二纵线则乙丙弧截于丙甲丁弧截于丁乃自丙至丁作一直线即成甲乙丁丙一正方形也何则丙甲甲乙乙丁三线俱同为一圜之辐线其度必等而丁丙丙甲二线又俱切一圜界为两尖相合其度亦必等【见四卷第七节】则四界俱等矣且甲乙二角又为垂线所立之角必成直角则丙丁二角亦必为直角而四角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形为甲乙线上所立之正方形也 　　第十二 　　平分一弧为两叚法如有甲乙弧欲平分为两叚则自甲至乙作一甲乙线将此线照本卷第三节平分直线为两分法作一戊丁纵线复自戊引至弧界截甲乙弧于丙即平分甲乙弧为甲丙丙乙两叚矣葢丙丁纵线既平分甲乙线则亦必平分甲乙弧之全圜既平分甲乙弧之全圜则必平分甲乙弧为两叚可知矣【见四卷第六节】 　　第十三 　　有一叚弧欲继此弧作一全圜法如有甲乙一叚弧继此弧欲作一全圜则在此弧界任意指三处如甲丙乙自甲乙二处至丙作甲丙丙乙二线照前节作平分甲丙丙乙两之丁己戊己二线引长则相交于己乃以己为心继甲乙弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也葢丁己戊己二线既平分甲丙丙乙二则必平分甲丙丙乙二弧【见四卷第六节】既平分甲丙丙乙二弧则其相交之处必为圜心故己为继甲丙乙弧界所作全圜之圜心也 　　第十四 　　不拘何处有三防求縁此三防作一圜法如甲乙丙三防不在一直线上欲縁此三防作一圜则依前节作甲丙丙乙二线又平分此二线正中作丁己戊己二垂线引长至己处相交遂以己为心以甲乙丙为界作一圜则甲乙丙三防俱在一圜之界矣【此节之理与前节同】 　　第十五