御制数理精蕴 - 第 5 页/共 595 页
二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉
丑二线寅癸癸夘二界平行作寅戌戌
卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸
卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对
角线其度相等【见三卷第三节】其分比三角面
各大一倍矣复于所作二底边酉戌二
处作酉未一纵线戌申一纵线即成未
庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑
戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未
庚申癸平行面之二方体亦自相等【见本
卷第十九节】此未庚申癸平行面二方体既
各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为
未庚申癸二方体之正一半其积必等
无疑矣
第二十一
凡各种体形难以图显葢以图止一面
故也必用木石制之始能相肖况此各
种形体又或有外实而内空者必按其
形以求其理始可发明其精蕴矣第二十二
凡各面所成体形内其各面俱平行或上下面为平行而立于等积之底其体之髙又等则其体之积亦相等如甲乙体其各面俱平行又如丙丁体其上下面平行立于等积之底其髙又等或又如戊己体其上下面平行圆面积又等髙又等则其两两体积必相等矣又如庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之底其体之髙若等则其体之积亦相等何以见之若将众尖体分为平行底之众小体其所分众小体之底度髙度必俱相等如子丑图其所分小体之积俱等故其全体之积亦相等也
第二十三
凡上下面平行各体与平底尖体同底同髙者不论平面圆面其平底尖体皆得上下面平行体三分之一如甲乙上下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体其乙丁两底积等甲乙丙丁两髙度又等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等如戊己上下面平行之三棱体与庚辛三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛两髙度又等则戊己三棱体与庚辛尖体三形等又如壬癸上下面平行之长圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆体与甲乙戊己类体同底同髙则壬癸长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚辛类尖体同底同髙则子丑尖圆体三倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫同底同髙上下面平行体既俱爲尖体之三倍则尖体为上下面平行体三分之一可知矣【葢甲乙戊己壬癸各体其式虽不同苟底积高度相等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式虽不同苟底积高度相等其积亦必等故知丙丁庚辛子丑平底尖体互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各体三分之一也如将上下面平行各体以木石为之分作同底同髙之各平底尖体用权衡以较其分量则各体之积分自昭然可见矣】
第二十四
凡长圆体外周面积与长方体底面积相等而长圆体半径又与长方体高度相等则长圆体积必得长方体积之半也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积与戊己长方体之庚己底面积等而长圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚髙度等则此甲乙丙丁长圆体积必得戊己长方体积之一半也试将甲乙丙丁长圆体从壬癸中线至周围外面分爲千万分则成子丑己类千万长尖体此千万长尖体之髙与长圆体之壬子半径等而千万长尖体之共底即长圆体之周围外面积则此千万长尖体必爲戊己长方体之一半矣葢寅己辛三角面爲午己长方面之一半【见三卷第三节】而此子丑己类众三角面与寅己辛三角面等【见四卷第二十节】子丑己类众三角面既与寅己辛三角面等则子丑己类众长尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等此卯辰庚辛己寅三角体固爲戊己长方体之一半今长圆体所分之众长尖体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦必爲戊己长方体之一半故甲乙丙丁长圆体爲戊己长方体之一半也第二十五
凡球体外面积与尖圆体之底积等而球体之半径与尖圆体之高度等则此球体之积与尖圆体之积等也如甲乙丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径与尖圆体之己壬高度等则此球体之积爲与尖圆体之积等也试将球体从中心分爲千万尖体复将尖圆体亦分爲千万尖体则球体所分尖体毎一分必皆与尖圆体所分尖体一分等何也葢球体所分尖体皆以球体之外面爲底而以球体之甲戊半径爲高其尖圆体所分尖体皆以尖圆体之底爲底而以尖圆体之己壬高爲高夫尖圆体之底积原与球体之外面积等而尖圆体之高度又与球体甲戊半径等故此两种千万尖体皆爲同底同高其积相等无疑矣【见本卷第十八节】然此两种千万尖体即球体尖圆体之所分其所分之体既等则原体亦必相等可知故曰球体与尖圆体俱相等也
第二十六
凡各形外皮面积相等之体惟圆体所函之积数大于他种各体所函之积如甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆体所函之积必大于乙丙丁直界体所函之积也何也大凡圆形其半圆周一旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一次旋转即成甲圆体【见本卷第十四节】又凡平面圆界所函之积必大于等邉各形所函之积【见四卷第二十三节】平面圆界所函犹大于各等邉所函之积则圆体所函必大于各直界体所函之积可知矣
第二十七
厚角所成等面体形有五种各以面数而名之其一爲四面体每面有三角各三角之各三界度俱等如甲图是也二爲六面体毎面俱爲正方其方面之四角俱爲直角而各界互等故又爲正方体如乙图是也三爲八面体毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙图是也四爲十二面体每面有五角各五角之五界度俱等如丁图是也五爲二十面体每面有三角各三角之各三界度俱等如戊图是也
第二十八
前节发明五种厚角所成等面体形之外不能复生他形葢此五种厚角体俱是等边三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面【见二卷首节】而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面体其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面体其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面体其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合过于五形则不能成厚角故平面六三角形合于一处即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合与四直角等【见首卷第十五节】既与四直角等则爲平面不成厚角矣【如本卷第五节】六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角体仅得四面八面二十面三种而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方体其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更无他形若将四平面四角形合于一处即成辛形其甲乙丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角仅有一六面正方体而已至于平面五角形所成厚角如戊十二面体其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更无他形也或将四平面五角形如癸子丑寅之四角合于壬此四角俱爲钝角必大于四直角既大于四直角在平面尚不能相合厚角岂能成耶是以平面五角形所成之厚角仅有一十二面体而已或将平
面六角形之三形合于一处爲癸其甲
乙丙三角度与四直角等故不成厚角
六角平面相合既不成厚角其七角八
角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
面八面十二面二十面五种体只在三
角四角五角三种平面形所生此外不
能复成他形也
御制数理精蕴上编卷二
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷三
几何原本六
几何原本七
几何原本八
几何原本九
几何原本十
几何原本六
第一
大凡欲论诸物之不齐必借同类之物以比之始可以得其不齐之度数如一线与他线相比其度之或长或短其数之或多或少自能见之如一面与他面相比其面度之或大或小其积数之或多或少自能见之又如一体与他体相比其体度之或厚或薄其积数之或多或少亦自能见之若将一线与一面相比或一面与一体相比既不同类又不同形则线之长短面之大小体之厚薄俱不可辩矣故曰欲论诸物之不齐必借同类之物以比之也
第二
将两数相比其度互为大小则谓【率】之比例其比者与所比者俱谓之【率者法也矩也以数互相准之之谓也】其比之数为前率其所比之数为后率如甲乙二数互相为比其相较之分甲数之度为长其分为多乙数之度为短其分为少如是以比之故谓之二率甲为比之之数故谓之前率乙为所比之数故谓之后率焉
第三
有四率两两相比其一率与二率之比同于三率与四率之比则谓之同理比例也如甲乙丙丁四数甲与乙比丙与丁比苟乙为甲六分之五丁为丙六分之五则甲与乙之比例丙与丁之比例此两比例相同而乙有甲防分之数即可知丁有丙防分之数矣故凡四率内将一率与三率分数定为相等二率与四率分数亦定为相等其度之长短虽有不同苟分数定准则一率与二率之比即如三率与四率之比也夫甲乙丙丁四线内甲第一线与丙第三线俱各定为六分乙第二线与丁第四线俱各定为五分则甲度之长虽大于丙度之长其分数则俱为六而乙度之长虽大于丁度之长其分数亦俱为五故知乙第二线度与甲第一线度之六分之五分相等丁第四线度亦与丙第三线度之六分之五分相等所以甲线之比乙线即如丙线之比丁线而谓之同理比例也
第四
凡四率两两相比其一率与二率相比之分若大于三率与四率相比之分则为不同理之比例而比例不得行也如有甲乙丙丁四数甲与乙丙与丁各互相为比苟甲第一数与乙第二数相比之分为六与四其丙第三数与丁第四数相比之分为五与四则此甲与乙之比大于彼丙与丁之比矣故凡如此例者以一率二率相比之分为凖则三率四率相比之分为小若依三率四率相比之分为准则一率二率相比之分又大故谓之不同理之比例而比例四率不能行也
第五
凡有四率一率之度与二率之度相比分数若同于三率之度与四率之度相比分数则此四率又谓之相当比例四率焉如甲乙丙丁四线苟甲线与乙线相比之度与丙线与丁线相比之度其分数同则此四线谓之各相当线而毎两率相比其毎度之分数同故又谓之相当比例四率也
第六
凡三率互相为比其一率与二率之比同于二率与三率之比则谓之相连比例率也如甲乙丙三数互相为比苟甲数与乙数之比同扵乙数与丙数之比则此甲乙丙三数谓之相连比例率矣若相连比例率内将一率与三率比之则为隔一位加一倍之比例或有相连比例四率将一率与四率比之则为隔二位加二倍之比例大凡有几率隔几位以比者皆以隔几位而为加几倍之比例也如甲乙丙相连比例率内其甲与丙之比为隔一位加一倍之比例又或甲乙丙丁戊五数俱为相连比例率其甲与丁之比即为隔二位加二倍之比例而甲与戊之比则又为隔三位加三倍之比例矣
第七
相当比例四率为数学之要因其理之所该最广故设为双圜图以申明之立甲防为心作乙丙一大圜丁戊一小圜此二圜界各具三百六十度故皆可以为三百六十分【首卷第十七节云凡圜无论大小俱定为三百六十度】于是自圜之甲心过小圜界之辛壬二处至大圜己庚二处作二线则大圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲角此甲角相对之己庚弧界设为六十度则为乙丙大圜三百六十分中之六十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既为六十分则丁戊小圜之辛壬弧界度亦为六十分矣大凡角度俱定于相对之圜界【见首卷第九节】今此大圜之己庚弧界小圜之辛壬弧界俱与一甲角相对其度虽依圜之大小不同而分数则等分数既等则大圜小圜大弧小弧两两互相为比即如四率之两两相比为同理比例矣是以大圜之三百六十分为一率自大圜所分之己庚弧之六十分为二率小圜之三百六十分为三率自小圜所分之辛壬弧之六十分为四率其乙丙大全圜与本圜己庚分之比即同于丁戊小全圜与本圜辛壬分之比也故凡各率各度虽异相当之分数若同则一率与二率之比必同于三率与四率之比而俱谓之顺推比例矣要之分合加减各率之法总不越此图之互转相较之理也
第八
一种反推比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者反推之以二率与一率为比四率与三率为比其所比之例仍同故亦谓之相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比反推之以乙与甲为比丁与丙为比则所比之例仍同于相当比例率焉以前双圜图解之葢甲数与乙数之比例即乙丙大圜全界与所分己庚弧界之比例丙数与丁数之比例即丁戊小圜全界与所分辛壬弧界之比例也今反以乙与甲为比丁与丙为比即如以乙丙大圜所分之己庚弧界与乙丙大圜全界为比丁戊小圜所分之辛壬弧界与丁戊小圜全界为比也因其以二率为一率以三率为四率前后互移故谓之反推比例然名虽为反推比例而相当比例之率仍与顺推比例相同也
第九
一种递转比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者转较之以一率与三率为比二率与四率为比其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比转较之以甲与丙为比乙与丁为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图 乙丙大圜全界一率与所分巳庚弧界二率之比同于丁戊小圜全界三率与所分辛壬弧界四率之比若转较之以乙丙大圜之一率与丁戊小圜之三率为比大圜所分之巳庚弧界二率与小圜所分之辛壬弧界四率为比其度虽依圜之大小有异而分数则同其比例仍同于原比例故甲乙丙丁之四数亦如大小二圜为互相比例之率而甲一率与丙三率之比即大圜与小圜之比乙二率与丁四率之比即大圜所分弧界与小圜所分弧界之比也葢以三率为二率以二率为三率递转相较故谓之递转比例其相当比例之四率虽递转以较之亦仍为相当比例之四率也
第十
一种分数比例彼四率之中以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率所较之分截开以一率与二率之较为一率与二率为比以三率与四率之较为三率与四率为比则其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数于甲数内减去乙数之分为戊巳丙数内减去丁数之分为庚辛乃以戊己易甲与乙线为比以庚辛易丙与丁线为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图 于乙丙大圜全界内减去所分己庚弧界一段仍与己庚弧界为比丁戊小圜全界内减去所分辛壬弧界一段仍与辛壬弧界为比亦与大圜全界与大圜所分弧界小圜全界与小圜所分弧界相比之理同故此甲线内截去乙所成戊己仍与乙相比即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段仍与己庚弧界相比而丙线内截去丁所成庚辛仍与丁相比即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段仍与辛壬弧界相比也其比例仍同于相当比例四率但因其各分内有分开相减之故所以谓之分数比例也第十一
一种合数比例有四率以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率并之以一率与二率相加为一率仍与二率为比以三率与四率相加为三率仍与四率为比其所比之例亦仍同于相当比例之四率也如甲乙丙丁四数以甲数与乙数相加共为一率与乙数为比丙数与丁数相加共为三率与丁数为比则所比之例仍同于相当比例四率也此合数比例与分数比例之理互相对待彼分数比例以双圜图 二圜全界内减去所分弧界一段仍与所分弧界一段为比今此合数比例即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段即是全界而与所分弧界一段为比也其所比之理仍同于相当比例四率但因有相加之加故谓之合数比例焉
第十二
一种更数比例以一率与二率之比同于三率与四率之比者更之将一率与二率相减用其余分为二率仍与一率为比又将三率与四率相减用其余分为四率仍与三率为比则其比例之理仍同于相当比例四率也如甲乙丙丁四数于甲第一率内减去乙第二率所余为戊己乃以戊己立乙第二率之位而以甲与戊己为比复于丙第三率内减去丁第四率所余为庚辛乃以庚辛立丁第四率之位而以丙与庚辛为比其所比之理仍同于四率之比例故亦为相当比例之四率也今以双圜图解之 乙丙大圜三百六十度之全界
仍为一率全界内减去所所分之巳
庚弧界六十度一段余己丙庚三百度一大段 为二率丁戊小圜三百六十度之全界 仍为三率全界内减去所分之辛壬弧界六十度一段余辛戊壬三百度一大段 为四率则乙丙大圜三百六十度之全界如甲所更之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜三百六十度之全界如丙所更之辛戊壬三百度如庚辛故其四率之两相比例亦同为相当比例率也凡四率之内前后之相差虽更入比之仍与相当比例之理同但以其数有更入之故所以谓之更数比例也
第十三
一种隔位比例有两相比例四率将此一邉四率内一率与末率为比彼一边四率内一率与末率为比则其所比之例仍同于相当比例四率也如此一边有甲乙丙丁四数彼一边有戊己庚辛四数此甲与乙之比同于彼戊与己之比此乙与丙之比同于彼已与庚之比此丙与丁之比同于彼庚与辛之比若将此四率隔位比之使此一边之甲与丁为比以彼一边之戊与辛为比则其比例仍同于相当比例四率也试以双圜图之大小圜所分各弧界之两线引长 自庚壬过甲至癸丑作一全径线复自己辛过甲至子寅作一全径线则分大圜为庚巳己丑丑寅寅庚四段分小圜为壬辛辛癸癸子子壬四段其大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段为相当四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四亦为相当四率此二圜之所分四段既俱为相当四率则其各相比例度之大小虽异而分数相同故大圜之庚己一与已丑一之比同于小圜之壬辛一段与辛癸一之比大圜之已丑一与丑寅一段之比同于小圜之辛癸一与癸子一之比大圜之丑寅一段与寅庚一段之比同于小圜之癸子一段与子壬一之比也若以此各相当四率隔位以比之其大圜之庚已一与寅庚一段为比而小圜之壬辛一与子壬一为比其比例仍同于相当比例四率但以其两边各相比例四率内各取两率隔位以比之故谓之隔位比例耳
第十四
一种错综比例有两连比例三率此一边三率内中率与末率之比同于彼一边三率内中率与末率之比则为相当比例之四率苟错综其位分以此一边首率与末率隔位为比复取另一数与彼一边中率为比而成同理之四率则此另一数必与彼边三率为连比例四率矣如此一边有甲乙丙连比例三数彼一边有丁戊已连比例三数将此一邉中率乙数与末率丙数之比同于彼一边中率戊数与彼一邉末率己数之比则其比例为同理比例矣今错综其位分使此一边所有之首率甲数与所有之末率丙数隔位为比复另取一庚数与彼一边所有之中率戊数为比则其比例亦同于相当比例四率而此庚数与彼边丁戊己三率为连比例之数矣何也试以庚数置于彼一边丁首率之上则庚为首率而丁移而为中率戊又易而为末率是故此一边甲首率与丙末率之比同于彼一边所取庚首率与所易戊末率之比但以两连比例率互相易位増入比之之不同故名之为错综比例耳
第十五
一种加分比例凡有二率依本度各加几倍所加之分数若等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等倍相加之比例也如甲乙二数于甲数依本度加三倍为丙于乙数依本度加三倍为丁则此丙丁二数互相为比仍同于甲乙二数之互相为比也假若甲度为一大分乙度为一小分则甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成四小分之丁以四大分之丙比四小分之丁以一大分之甲比一小分之乙其相当之分数既等固为同理比例可知矣【见本卷第三节】故凡二率依本度各加几倍其所加之分数若等其加分之率互相为比必同于原率之互相为比因于原数有相加之分故谓之加分比例也第十六
一种减分比例凡有二率依度度各减几倍所减之分数若俱等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等分相减之比例也如有甲乙丙丁二数其甲乙之三分内减去甲戊一分丙丁之三分内减去丙己一分则戊乙己丁互相为比仍同于原甲乙丙丁全数之互相为比也何也夫甲乙度为三尺丙丁度为三寸自甲乙度内减去一尺则为戊乙自丙丁度内减去一寸则为己丁以所余之戊乙二尺与所余之已丁二寸为比以甲乙之全三尺与丙丁之全三寸为比其相当之分数必等故亦为同理比例矣凡二率之内无论减几分其所减之分数若等则相比之理必同于原数之比例因于原数内减之故又谓之减分比例也