御制数理精蕴 - 第 2 页/共 595 页

商高曰数之法出于圆方 　　万物之象不出圆方万象之数不离圆方河图者方之象也洛书者圆之象也太极者圆之体奇也四象者方之体偶也奇数天也偶数地也有天地而万物于是乎生有圆方而万象于是乎定有奇偶而万数于是乎立矣 　　圆出于方 　　以数而论出于圆方以圆方而论则圆出于方葢 　　方易度而圆难测方有尽而圆 　　无尽故推圆者以方度之以有 　　尽而度无尽也是以圆周内 　　外切屡求勾股为无数多边形 　　以切近圆界将合而为一而圆 　　周始得故曰圆出于方也 　　方出于矩 　　孟子曰不以规矩不能成方圆夫规所以成圆而 　　矩所以成方也故凡方形必出 　　于二矩相合如矩之二股均者 　　合之即为正方矩之二股一大 　　一小者合之则为长方葢因矩 　　之为形其角直其线正所以能 　　成方体此又直内方外之理故曰方出于矩也 　　矩出于九九八十一 　　度圆方者递归于矩而矩之形总不外乎二数相乘九九者数之终而一一乃数之始言九九而不及他数者以九九之内他数俱该也是以一一为 　　一二二为四三三为 　　九四四为一十六五 　　五为二十五六六为 　　三十六七七为四十 　　九八八为六十四九 　　九为八十一乃矩之 　　二股均平所成之正 　　方也一二为二一三 　　为三一四为四一五为五一六为六一七为七一八为八一九为九形虽未方而其理犹存也二三为六二四为八二五一十二六一十二二七一十四二八一十六二九一十八三四一十二三五一十五三六一十八三七二十一三八二十四三九二十七四五二十四六二十四四七二十八四八三十二四九三十六五六三十五七三十五五八四十五九四十五六七四十二六八四十八六九五十四七八五十六七九六十三八九七十二乃矩之一股小一股大所成之长方也至于一百之类虽为正方乃十之相乘十则仍归于一也又如八十四九十六之类乃六七四十二六八四十八之倍不得自立为数之本又或十一十三十七十九之类十一为二五一十之奇十三为二六一十二之奇十七为四四一十六之奇不得成正方亦不得成长方故不入九九之数也是以九九之数为方之本而方之形必合以矩故曰矩出于九九八十一也 　　故折矩以为勾广三股修四径隅五 　　前言圆方之形此言勾股生成之正数也以二矩 　　合之既为方形今以一矩折之 　　则为一方之两边是以折矩之 　　横者为勾之广折矩之纵者为 　　股之长于勾股之末以科连 　　之是为径隅径直也隅角也言 　　自两角相对直连之也勾之广必三股之修必四而径隅始得五此乃自然生成之正分也易曰参天两地而倚数天数一参之则为三地数二两之则为四三二合之则为五此又勾三股四五之正义也 　　既方其外半其一矩 　　此言勾股之面积也勾股以连之不得为方形必再合一矩乃为一长方所谓方其外者言之外复加一矩以成方也勾三股四相乘得一十有二即为两矩合成之数半之得六乃勾股之面积所谓半其一矩者也 　　环而共盘得成三四五 　　此言勾股相和之数也环而共盘者环绕盘旋于勾股之周围得成三四五共之为一十有二乃三数相和之总数也 　　两矩共长二十有五是为积矩 　　此言勾股相求之法也两矩者勾与股也其所以相求者以勾股各面积彼此加减以立法也勾三自乘为九股四自乘为一十有六合而计之为二十有五是勾股各自乘之积相并而与自乘 　　之积等故曰积矩也之自乘 　　积内减勾自乘之积得股自乘 　　之积之自乘积内减股自乘 　　之积得勾自乘之积故为勾股 　　相求之法也 　　故禹之所以治天下者此数之所由生也 　　言禹之平成之功昭垂万古揆厥所以奏绩者必借勾股以审高下始得顺水之性而告厥成功也然则禹之所以治水者非此勾股之数所由生乎 　　周公曰大哉言数请问用矩之道 　　商高曰平矩以正绳 　　此言用矩立法必以正且直也平矩以正绳有两义平置其矩使矩之角直以此直角之一股或横或平【横以度远平以度高】复自一股引绳以度其分则此分为我所知故以所知推所不知此绳引长时必使与直角对正不论其分之几何引之亦必令直方能得测度之准故为平矩以正绳又平者均平整齐之谓用矩之道矩之角正【即直角之説也】然后二股得直以之测高测远乃得度其大小之分此矩既正而所测之度亦正矣孟子曰规矩准绳以为方圆平直绳者即准之之意规矩所以度圆方而准绳所以考平直故准之以平绳之以直始得立法之精微故曰平矩以正绳也 　　偃矩以望高 　　此用矩测高之法也偃者仰也仰矩方可测高矩之一股植立在前一股定平在下然后比例推之葢平股与立股之比即所知之远与所测之高之比也故仰测之而得高 　　覆矩以测深 　　此用矩测深之法也覆者俯也俯矩方可测深矩之一股立者在前一股平者在上平股与立股之比即所知之远与所测之深之比也故俯测之而得深 　　卧矩以知远 　　此用矩测远之法也卧者平也平矩方可测逺以矩之一股为横向内一股为纵向前是以横与纵之比即所知之度与所求之远之比也故平测之而得远 　　环矩以为圆 　　此用矩为圆之法也以矩之一端为枢一端旋转为圆则成一圜环矩者即旋规之説也 　　合矩以为方 　　此用矩为方之法也矩二股也两矩相合乃成一方即前方出于矩之説也 　　方属地圆属天天圆地方 　　前言用矩以测高深广远复用矩以为圆方此以圆方属之天地者非以形体言葢以阴阳动静之理言也乐记云着不息者天也着不动者地也不息故运而不积圆之象也不动故静而有常方之理也且圆之数无尽而方之数有尽天不可阶而升测天者恒于地上度之是仍以方度圆也凡数之不尽者必奇数之可尽者必偶是以阳为奇阴为偶此方圆之理数所以属乎天地也 　　方数为典以方出圆 　　典则也言圆之数奇零不尽不可为则故惟方数可为典则以方出圆者以方之形度圆之分从方数中生出圆数即前圆出于方之説也如圆径求积则以径自乘之为正方形而以方率圆率比例推之即得圆积是皆以方出圆之理也 　　笠以写天天青黑地黄赤天数之为笠也青黑为表丹黄为里以象天地之位 　　此即仪象以表天地之形色也笠形圆故以象天写象也青黑天之色黄赤地之色天数之为笠形则以青黑为表丹黄为里以象天地之位葢取天包地之象也 　　是故知地者智知天者圣智出于勾勾出于矩夫矩之于数其裁制万物惟所为耳 　　天地之高深广远非圣智不能知然圣智非由理之自然亦不能无所凭藉而知也故明勾股之数即可以知地而为智知地之数即可因地以知天而为圣矣故曰智出于勾也然勾股之形又赖矩以成故矩为勾股之本而天地之高深广远皆赖矩以测况万物之大小巨细岂能外于矩之度分乎故矩之于数其裁制万物惟其所为而无不可也 　　周公曰善哉 　　以周公之圣而与之曰善哉则其得数之本立法之妙可谓至矣至是而周髀之义尽矣 　　御制数理精蕴上编卷一 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴上编卷二 　　几何原本一 　　几何原本二 　　几何原本三 　　几何原本四 　　几何原本五 　　几何原本一 　　第一 　　凡论数度必始于一点自点引之而为线自线广之而为面自而积之而为体是名三大纲是以有长而无阔者谓之线有长与阔而无厚者谓之面长与阔厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其间不能容分不可以数度然线之两端即点而线面体皆由此生点虽不入于数实为众数之本 　　第二 　　线有直曲两种其二线之一端相合一端渐离必成一角二线若俱直者谓之直线角一线直一线曲者谓之不等线角二线俱曲者谓之曲线角 　　第三