御制数理精蕴 - 第 4 页/共 595 页

第十五 　　欲知众边形各边角之度将边数加一倍得数减四其所余之数即为各边角度也如辛七邉形以七边数加一倍共为十四十四内减四所余之十即为十直角数为此七边形之各边角之总度也何也假如辛形自心至七角作七线成七三角形凡三角形之三角与二直角等【见二卷第四节】则此七三角形之各三角度共与十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又与四直角等【见首卷第十五节】若将十四直角内减四直角乃余十直角则此十直角与众边形之各边角之总度相等可知矣 　　几何原本四 　　第一 　　凡有直线切于圜界而不与圜界相交者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不出入相交此甲乙丙线即为圜之切线也又如一圜与一圜界相切而不相交则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界相切二界总未相交故又谓之切圜也第二 　　凡一直线横分圜之两界谓之线其所分圜界之一段谓之弧此弧与相交所成之二角谓之弧分角如甲丙线横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线为其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆谓之弧而甲丙与甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之弧分之角焉 　　第三 　　凡自一圜线之两头复作二直线相遇于圜界之一处其所成之角谓之圜分内角又谓之弧分相对之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙线之两头各作一直线于甲处相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对之界角也 　　第四 　　凡一圜有二辐线截弧之一段所成之三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线所成之甲丙乙三角形即为分圜面形也 　　第五 　　凡自圜之辐线之末与圜界相切作一垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅一防相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处之一防相切而此垂线之丁等处俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁线此线必长于甲乙辐线【如二卷第十三节云】因其长于辐线必出于圜界之外此甲戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全在圜外可知矣 　　第六 　　圜线上自圜心作一垂线则将线为两平分如乙丙自圜心甲至线丁作一垂线必将乙丙为两平分成乙丁丁丙二段若自甲心至线乙丙二末作二辐线成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐线其度必等此二辐线既等则甲乙丙三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若将垂线引长至弧界戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣第七 　　凡自圜外一处至圜界两边作二切线此二线之度必等如自圜外甲至圜界乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二切线之末作二辐线则此二辐线为甲乙甲丙之垂线矣【如本卷第五节云】因其为垂线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直角【见首卷第十节】再自丙至乙作一线即成丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角则所余之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切线为等角傍之两界线自然相等无疑矣 　　第八 　　凡圜内两线若等其分圜弧面之积必等自心至两所作垂线亦必等如甲圜之丙乙丁戊二之度若等则所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二各作甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二之末各作辐线即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三角形之各界线必两两相等则此两三角形内相等线所对之角亦必相等【见二卷第七节】角既相等则等角相对弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等【见首卷第十二节】丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊二线又等则丁庚戊壬之弧面积与丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二为两平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦俱等三角形之各界线既两两相等而三角形内各角又两两相等则平分丙乙丁戊二之甲辛甲壬之度自然相等矣 　　第九 　　凡线之所属有三种一为弧之切线一为弧之割线一为弧之线欲取弧界各角之度用此三线求之必得也如甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙辐线作戊己垂线则成三种线此三线内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正凡欲得各角弧界之度必于此三种线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自乙戊弧之戊己正取之皆得乙戊弧之度数焉 　　第十 　　一圜界内任于圜界一段至圜心作二线至圜界作二线即成二角在圜心者为心角在圜界者为界角设如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为心角甲丁乙角为界角也 　　第十一 　　圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二线所成之式又分为三种有界角心角同用一线者有界角心角不同用一线者有界角二线跨心角二线者总之此三种心角皆大于界角一倍如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二线则第一圗之甲丁乙界角之乙丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外角与甲丁丙丙甲丁二内角等【见二卷第五节】其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其度亦等此二线既等则甲丁丙丙甲丁二角亦必等【见二卷第九节】今甲丙乙之外角既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之外则自丁角过圜之丙心至对界作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一图必倍于甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小界角则所余之甲丙乙心角必大于所余之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角二线之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角并之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍于所分之界角则此所并之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙界角矣 　　第十二 　　凡自圜之弧线一段任作相切界角几何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作二辐线即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧线之一段则心角必倍于界角然则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊乙心角之一半则此二角之度必等可知矣 　　第十三 　　凡圜内心角所对弧线之度比界角所对弧线之度少一半则二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相对甲丙弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧线之度少一半则甲乙丙心角之度必与甲丁戊界角之度相等试自丁角过圜之乙心至对界作丁乙己全径线复自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁己己丁戊二界角所并之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙心角度必与甲丁戊界角之度相等矣第十四 　　凡圜内界角立于圜界之半者必为直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙角必然为直角也自甲丁丙之半圜于丁界为两平分复自丁界至圜心戊作丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲丁弧为圜界四分之一既为圜界四分之一则必为直角【如首卷第十节云】夫心角相对弧线若为界角相对弧线之一半其二角之度相等矣【如本卷第十三节云】今甲戊丁心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊丁心角度必与甲乙丙界角度相等且甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁心角为直角而甲乙丙界角亦必为直角矣 　　第十五 　　凡圜内界角其所对之弧过于圜界之半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为钝角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大于半圜则此甲戊弧线一段亦大于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相对之甲丁戊心角必为钝角【见首卷第十一节】夫心角相对之弧线比界角相对之弧线少一半则二角之度必相等【如本卷第十三节云】今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙丙界角亦必为钝角矣 　　第十六 　　凡圜内界角其所对之弧不及圜界之半者必为鋭角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为鋭角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角此心角所对之甲戊弧线既不足圜界四分之一则此甲丁戊心角必为鋭角矣【见首卷第十一节】此甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界角所对之弧为一半则此二角之度必等夫甲丁戊心角既为鋭角则甲乙丙界角亦必为鋭角矣 　　第十七 　　凡函圜各界形之各线与圜界相切而不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在庚圜界之丁己戊三处相切而不相交故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切而不相交则谓之函圜切界四边形观此二图则知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣 　　第十八 　　凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出则谓之圜内所函各边形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜界相抵而不曾割出即谓之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不割出则谓之圜内所函四边形观此二图则知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣 　　第十九 　　凡等边众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三边比之六角形之六边则六角形之六邉与圜界相近矣设有十二角形之十二边比此六角形之六边则十二角之十二边又与圜界为近若有二十四角之二十四边则又更近于十二角之十二边矣葢函众界形之度必大于所函之众界形度【见本卷第十七十八两节】今甲圜既函等边六角形自大于六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大于三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其边愈多者其度愈大故与圜界愈近也又如复有一函圜等边四角形内又作一函圜等边八角形此四角形既函八角形必大于八角形可知矣若于八角形内复作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉数愈多则与所函之圜界度愈近矣苟设一函于圜界之多邉形为几十万邉【设函于圜界之多邉形一自六邉起算一自四邉起算】复设一函圜界之多邉形亦为几十万邉【设函圜界之多邉形亦一自六邉起算一自四邉起算】使此函圜之多邉形自外与圜界相比而函于圜界之多邉形自内与圜界相比则此二多边形之每边直界线将与圜界曲线合而为一故圜界曲线可得直线之度而多邉形之直线亦可得为圜界度也 　　第二十 　　函圜切界等边形其所函圜之辐线度与一直角三角形之小边之度等而等邉形之众界共度又与三角形之大边之度等则三角形之面积与等边形之面积等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角三角形之辛壬小邉线度等而五角形之丙丁戊己庚五邉线共度又与三角形之壬癸大邉线度等则此辛壬癸三角形面积必与丙丁戊己庚等邉五角形面积等也何以见之若自五边形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸线度既与五角形之五邉共度等今将壬癸线平分五分以所分之每分为底依前所分五三角形式作甲壬丙类五正式三角形复自所分丙丁戊己四处俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类五三角形之甲角至底各作一甲乙垂线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣于是复自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相切作一辛子线与壬癸为平行线则此平行线内同底所成之各种三角形之面积必俱相等矣【见三卷第十节】葢辛壬丙甲壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三角形为同底辛戊己甲戊己两三角形为同底辛己癸甲己癸两三角形为同底故其面积俱相等也且辛壬丙三角形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬丙之类五斜式三角形之面积即如甲壬丙之类五正式三角形之面积矣其所分各形之面积俱等则其全形之面积自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面积与丙丁戊己庚等邉五角形之面积相等也 　　第二十一 　　圜界内函等边众界形其圜心至众界所作中垂线与一直角三角形之小邉之度等而等边众界形之众界共度又与直角三角形之大边之度等则此三角形之面积与等边众界形之面积等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉线共度又与三角形之癸子大邉线度等则此壬子癸三角形面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形面积等也若依前节法将六邉形分为六三角形复以三角形之癸子界照六邉形度分为六分又照六边形所分六三角形作六正式三角形复自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜式三角形此两式三角形同底又同在二平行线内则其面积必两两相等此两式六三角形之垂线既与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而两式六三角形之底线共度又与壬子癸直角三角形之癸子大邉线度等则壬癸子直角三角形之面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形之面积相等矣第二十二 　　凡圜形之辐线与一直角三角形之小边线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等如有一甲圜形其甲乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁小邉线度等而甲圜形之乙周界又与丙丁戊三角形之丁戊大邉线度等则此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形之面积相等也何以见之甲圜之辐线与三角形之小邉等者即如等邉众界形之中垂线与三角形之小邉等也甲圜之周界与三角形之大邉等者即如等邉众界形之各界共度与三角形之大邉等也若夫函圜众界形相等之三角形其小边虽与圜之辐线等其大邉则长于圜之周线故其积分亦大于圜之积分而函于圜众界形相等之三角形其小邉既短于圜之辐线而大边亦短于圜之周线故其积分亦小于圜之积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小边既与圜之辐线等面三角形之大邉又与圜之周线等则其积分与圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲线也等邉众界形之界度直线也观之似难于相通者如以圜之内外各设多邉众界形分为千万邉【如本卷第十九节云】则逼圜界最近将合而为一乃依所分之段为千万正式三角形此千万正式三角形之中垂线亦将与圜之辐线合而为一而千万邉共界度既与圜周合而为一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫千万邉正式三角形之中垂线既成圜之辐线则与丙丁戊三角形之小边等而千万邉正式三角形之底界共度又成圜之周度则又与丙丁戊三角形之大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙角至千万正式三角形之底界各作千万斜式三角形以比正式三角形因其防同其分自相等故千万斜式三角形之共积比之千万正式三角形之共积千万正式三角形之共积比之丙丁戊一直角三角形之面积丙丁戊直角三角形之面积比之甲圜形之面积俱相等也 　　第二十三 　　有一圜形又一众界形此圜界度若与彼众界总度等则圜形之面积必大于众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之周界与戊己庚辛等边四角形之四邉总度等则圜形之面积必大于等邉四角形之面积矣前言凡圜形之辐线与一直角三角形之小邉线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则三角形之面积与圜形之面积相等矣今试以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三角形之小邉作一子丑寅直角三角形则三角形之丑寅大邉线度亦与戊己庚辛四角形之四邉总度等而三角形之子丑小邉线度虽与圜形甲壬辐线等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂线为长若将三角形之子丑小邉线照四角形之壬癸垂线度截开则分子丑线于卯复自卯至寅作一斜即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分与戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角形之面积等而戊己庚辛四角形之面积又与卯丑寅三角形之面积等则戊己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙丁圜形之面积可知矣观此凡界度相等之形圜界所函之分比众界所函之分必大而众界所函之分与圜界所函之分同者则众界之总度复比圜界度大也 　　防何原本五 　　第一 　　平面之上所立直线无少偏倚其各边所生之角必俱直则谓之平面上所立垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线不偏不倚此即为平面上所立之垂线矣 　　第二 　　凡两平面相对其所立众垂线度俱各相等则此相对之平面谓之平行面也如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即为平行面矣 　　第三 　　平面上复立一平面无少偏倚其两边所成之角必皆为直角则谓之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此即为平面上所立之直面矣 　　第四 　　凡各面相合其每面之角所合处复成一种体角则谓之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者为各瓣相并所成之厚角也如甲图四面为四瓣相并所生之厚角乙图五面为五瓣相并所生之厚角是己 　　第五 　　凡各面相并所成之厚角如将各面计之则其众角所合之分必不足于四直角度也如甲图五面合成之厚角若将其五面展开使平作乙丙丁戊己平面之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之周界矣因其不满于圜之周界故比四直角为不足也或以四直角分强欲作一厚角则其瓣过于大必不能成平面所合之厚角矣 　　第六 　　凡等边三面所合厚角其三面内之两面角倂之必大于一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角将乙甲丙丙甲丁二面倂之必大于一直角度矣依前节法将甲厚角展开使平虽不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而并之则较之一直角度为大焉何以见之夫三面展开其所离之虚分仍有三面之分以三面之实分合三面之虚分则为六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角则三角必得二直角三角既得二直角则二角相倂必大于一直角可知矣 　　第七 　　凡平面二线交处作一垂线正立而无偏倚此线任在平面各处俱为垂线如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交己处作一戊己垂线正立而不偏倚则此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一处俱为垂线也假使戊己垂线不能正立而有所偏倚则如壬己线近于辛而离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚则偏向于丁丙而逺于甲乙而壬己丁壬己丙之二角为鋭角壬己甲壬己乙之二角为钝角矣戊己既如壬己则不得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之垂线矣 　　第八 　　众线交处立一垂线其各角若俱直此所交各线必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三线相交处立一戊己垂线其与众线相接各角若俱直则此相交之三线必在一平面也夫众线之相交固在平面而垂线之所立正所以考面或一角不直则不得谓之平面矣 　　第九 　　平面上若立二垂线必互为平行线如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂线则此二线互为平行线也试自辛过己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂线所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何处所生之角俱是直角【见本卷首节】故戊己壬庚辛己二角俱为直角而相等也且此二角又为二线与一线相交所成之内外角其度既等则戊己庚辛二线必为平行线矣【如首卷第二十一节】第十 　　有二线与一垂线平行虽不在平面之一界此三线亦互相为平行线也如甲乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不立于一直线上虽不居平面之一界此三线亦必互为平行线也试于甲乙丙丁戊己三线之末作一庚辛平面此平面上之戊己线为垂线其四围平面所生之各角俱是直角矣复自乙过己自丁过己作相交二线则成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱为平行线一邉之内外角俱为相等角矣【见首卷第二十一节】而甲乙己丙丁己二角亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛平面上所生之角皆直又皆与戊己垂线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆得为垂线其与戊己线为互相平行之三线可知矣 　　第十一 　　相对二平面之间横一直线此线在二平面上所生角若俱直则此相对二面互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之间横一戊己直线此戊己线末所抵处其四围俱成直角则此二平面互相为平行面矣试将此二平面之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横线于二平面各界所生之角俱为直角如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行矣相对二平面之上所有之相当各二线既俱同为平行线则相对之二平面自然互为平行面矣 　　第十二 　　有二平行面横交一面其相交处所生二线必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交处所生二线亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同为平行线且又在戊己一平面内其分自然相对故此二平面与一平面相交之缝线亦得为平行也 　　第十三 　　凡各种面内所积之实为体而皆因其面以名之焉如全体不成角度止现圆之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体各面俱平各边相等所成各角又等则谓之平面正方体丙丁图是也全体各面虽平体长而面成两式其相对各面仍两两相等相对各边则又平行角又相等此谓之平行长方体戊己图是也体有曲平两面相杂而不成等边等面则谓之底平半圆体庚辛图是也全体相对之各面不平行上下两面平行则谓之上下面平行体壬癸图是也体圆而上下面俱平则谓之长圆体子图是也底为平面其各面俱合于一角而成厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是也又或底面圆而渐鋭成形则谓之尖圆体辰图是也 　　第十四 　　凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故其外皮面积亦生于圜界一旋转之度分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形体如取甲乙戊己平行面之长圆形则以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转式旋转复还于原处即成甲乙戊己一长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以甲乙中线为枢心将甲丁邉线作转式旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖圆体矣 　　第十五 　　凡各体形其各面平行相当则相对两边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相对二面之积自两两相等也 　　第十六 　　凡体面式不一而积等者为积数相等之体面式既同而体积又等者爲面式体积全等之体如甲乙二体为积数相等之体也丙丁二体为面式体积全等之体也 　　第十七 　　凡平行面之长方体自一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体必爲面式体积全等之体矣如甲乙平行面长方体自丙丁二角至相对戊己二角分为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角线均分为两三角形面则所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互为平行必两两相等再对角线分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等则其积必等而为面式体积全等体无疑矣 　　第十八 　　凡平行二平面之间若同底立各平行体其积必相等设甲乙丙丁平行二平面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二平行体其积俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面与卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等则壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面两三角形之各面各邉度又俱等则此壬庚癸己二平行体之积必然相等也可知矣第十九 　　凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等设如甲乙丙丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸子丑二等积之底立一寅庚正靣平行体一卯子斜面平行体此二体之积必相等试自寅庚正面平行体之戊己庚辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯庚二体立于戊己庚辛之一底其积相等矣【如前节所云】而卯子卯庚二体又同立于卯辰午未之面其积亦必相等是以寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱与卯庚平行体相等故云凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等也 　　第二十 　　平行平面之间有立于等积三角底之各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体此二体积必相等何以见之若以此二体之上边二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二线辛午壬午二界平行作辛申壬申二线又于此二体之下边