御制数理精蕴 - 第 56 页/共 595 页

求八线对数 　　凡求八线之假数定半径为一百亿位数既多为用愈密且眞数十一位则假数首位为一○又取其便于用也先以正余之眞数求得假数复以正余之假数加减之即得切线割线之假数如一分之正为二九○八八八二求其假数得六四六三七二六一一○九又如六十度之正为八六六○二五四○三八求其假数得九九三七五三○六三一七如求六十度切线之假数则以六十度正之假数九九三七五三○六三一七为二率半径之假数一○○○○○○○○○○○为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二三率相加内减一率余一○二三八五六○六二七四即六十度正切线之假数如求六十度割线之假数则以半径之假数一○○○○○○○○○○○为二率又为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二率倍之内减一率余一○三○一○二九九九五七即六十度正割线之假数也 　　对数用法 　　设如一百二十三与四百五十六相乘问得几何法以对数表之一二三之假数二○八九九○五一一一四与四五六之假数二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假数四七四八八六九九五四一所对之眞数得五六○八八即五万六千零八十八为相乘所得之数也 　　设如三千四百五十六与二千六百七十九相乘问得几何 　　法以对数表之三四五六之假数三五三八五七三七三三八与二六七九之假数三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因对数表假数首位止于四眞数止于五位故将相加所得假数首位之六暂当四查假数四九六六五四六四四七四相近畧少者为四九六六五四五三二一六其相对之眞数得九二五八六即为九二五八六○○【因假数首位多二数则眞数必多二位】又以九二五八六○○之假数与九二五八七○○之假数相减余四六九○七为一率以九二五八六○○与九二五八七○○相减余一○○为二率今相加所得之假数与九二五八六○○之假数相减余一一二五八为三率得四率二四即眞数九二五八六之后二位之数葢假数多四六九○七则眞数多一百今假数多一一二五八则眞数应多二十四为比例四率也乃以所得二四与九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五万八千六百二十四为相乘所得之数也大凡眞数二四位以后其假数之较相差无多故眞数即可与假数为比例若用前累乘累除之法固为甚密然较之比例则难而得数则同此对数表所以止于五位也 　　设如三千七百四十四以十六除之问得几何法以对数表之三七四四之假数三五七三三三五八四○一内减一六之假数一二○四一一九九八二七余二三六九二一五八五七四乃查假数二三六九二一五八五七四所对之眞数得三三四即二百三十四为归除所得之数也 　　设有米三十二石令一千零二十四人分之问毎一人应得几何 　　法以对数表之三二之假数首位加二为三五○五一四九九七八三【因法之假数大于实之假数故以实之假数加二即如以实之眞数加两空位也】内减一○二四之假数三○一○二九九九五六六余○四九四八五○○二一七因假数首位为○卽知眞数应得单位其得数首位为升仍以假数首位加三查三四九四八五○○二一七所对之眞数得三一七五【因眞数得四位故将假数首位作三查表若眞数求五位则将假数首位作四查表或五位后仍有余数则用比例求之】即三升一合二勺五撮为毎人所应得之数也 　　设如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙边十二丈求丙乙边丙甲边各几何 　　法以甲角五十度之正假数九八八四二五三九六六五与甲乙边十二丈【作一二○○○】之假数四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四一五五三六七七一五八为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一四三○一即一十四丈三尺零一分为丙乙边也求丙甲边则以乙角九十度之正假数一○○○○○○○○○○○【即半径之数】与甲乙边十二丈之假数四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四二七一一一三七四九三为丙甲边之假数查假数相近所对之眞数得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分为丙甲边也 　　设如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙边十六丈甲丙边十二丈问丙角乙角及乙丙边各若干法以甲乙边十六丈与甲丙边十二丈相加得二十八丈为边总甲乙边与甲丙边相减余四丈为边较甲角五十度与一百八十度相减余一百三十度折半为六十五度为半外角乃以边较四丈【作四○○○】之假数三六○二○五九九九一三与半外角六十五度之正切假数一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内减边总二十八丈【作二八○○○】之假数四四四七一五八○三一三余九四八六二二九四一二二爲半较角正切之假数查正切假数相近所对之眞数得十七度二分为半较角与半外角相加得八十二度二分为对甲乙大边之丙角与半外角六十五度相减余四十七度五十八分为对甲丙小边之乙角也又求丙乙边则以五十度之正假数九八八四二五三九六六五与十六丈【作一六○○○】之假数四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内减丙角八十二度二分之正假数九九九五七八八二○九八余四○九二五八五七三九四为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分为丙乙边也凡眞数用加减然后比例者须以眞数加减得数再查假数依法算之余皆仿此 　　设如六十四自乘问得几何 　　法以对数表之六四之假数一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假数所对之眞数得四○九六即四千零九十六为自乘所得之数也葢自乘两数相同则其两假数亦相同故二因之即如二假数相加也 　　设如正方面积三百六十一尺开平方问毎一边数几何 　　法以对数表之三六一之假数二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假数所对之眞数得一九即一十九尺为开平方所得毎边之数也葢正方面积之假数乃以毎边之假数加倍所得之数故折半即得毎边之假数对其眞数即得毎边之数也 　　设如正方面积一百五十二万二千七百五十六尺开平方问毎一边数几何 　　法先以方积前五位一五二二七查得假数为四一八二六一四三四七七因方积系七位今止查得五位仍余二位故将假数首位之四加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数又以一五二二七○○与一五二二八○○相减余一○○为一率以一五二二七○○之假数与一五二二八○○之假数相减余二八五二○四为二率方积之后二位数五六为三率得四率一五九七○四葢眞数多一百则假数多二八五二○四今眞数多五十六则假数应多一五九七一四为比例四率也乃以所得四率与一五二二七○○之假数相加得六一八二六三○三一九一即为一五二二七五六之假数折半得三○九一三一五一五九六仍查假数所对之眞数得一二三四即一千二百三十四尺为开平方所得毎边之数也 　　又防法以一五二二七之假数首位加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数折半得三○九一三○七一七三八查假数相近畧大者【葢一五二二七○○之假数畧少于一五二二七五六之假数则其折半之假数亦必畧少于一二三四之假数亦取畧大者用之】对其眞数得一二三四即为毎边之数也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方积前五位查表后有几位则假数首位加几数折半查假数相近者即可得之若方根过五位以上者须用比例则以方积查假数亦须用比例方得密合 　　设如正方面积一百五十二兆四千一百五十七亿六千五百二十七万九千三百八十四尺问毎一边数几何 　　法以方积前五位一五二四一查得假数为四一八三○一三四六三一因方积系十五位今止查得五位仍余十位故将假数首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即为一五二四一○○○○○○○○○○之假数又以一五二四一○○○○○○○○○○与一五二四二○○○○○○○○○○相减截用六空位得一○○○○○○为一率以一五二四一之假数与一五二四二之假数相减余二八四九四二为二率方积后十位数截用前六位得五七六五二七为三率【因表中假数止于十一位则眞数亦止须用十一位虽眞数后再多几位其假数前十一位亦相同故查表用五位比例用六位共为十一位】得四率一六四二七七与一五二四一○○○○○○○○○○之假数相加得一四一八三○二九八九○八即为一五二四一五七六五二七○○○○之假数亦即同于一五二四一五七六五二七九三八四之假数折半得七○九一五一四九四五四因假数首位为七即知眞数应得八位今对数表假数首位止于四眞数止于五位故将折半所得假数首位之七减去三得四○九一五一四九四五四查假数相近畧少者为四○九一四九一○九四三对其眞数得一二三四五即为一二三四五○○○【因假数首位多三数则眞数进三位】又以一二三四五○○○之假数与一二三四六○○○之假数相减余三五一七八三为一率以一二三四五○○○与一二三四六○○○相减余一○○○为二率今折半所余之假数与一二三四五○○○之假数相减余二三八五一一为三率得四率六七八与一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四万五千六百七十八尺为开平方所得毎一边之数也 　　设如勾二十七尺股三十六尺求若干 　　法以对数表之二七之假数一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四为勾自乘之假数仍查假数所对之眞数得七二九为勾自乘之眞数又以三六之假数一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六为股自乘之假数仍查假数所对之眞数得一二九六为股自乘之眞数两自乘之眞数相加【不以两自乘之假数相加者葢假数相加则是相乘故必对其眞数然后相加也】得二○二五为自乘之眞数查其假数得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假数所对之眞数得四五即四十五尺为开方所得之数也 　　设如三十六自乘再乘问得几何 　　法以对数表之三六之假数一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假数所对之眞数得四六六五六即四万六千六百五十六为自乘再乘所得之数也葢自乘再乘系以方根乘二次则假数亦加二次故以方根之假数三因之即如以方根之假数加二次也其或位数多者依乘法之例推之 　　设如正方体积一万三千八百二十四尺开立方问毎一边数几何 　　法以对数表之一三八二四之假数四一四○六三三七二五一用三归之得一三八○二一一二四一七仍查假数所对之眞数得二四即二十四尺为开立方所得每边之数也葢正方体积之假数乃以毎边之假数三因所得之数故三归之即得每边之假数对其眞数即得毎边之数也其或位数多者依平方之例推之 　　设如方根一十六尺问三乘方积几何 　　法以对数表之一六之假数一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假数所对之眞数得六五五三六即六万五千五百三十六尺为三乘方之积数也葢三乘方系以方根乘三次则其假数亦加三次故以方根之假数四因之即如以方根之假数加三次也其或位数多者亦依乘法之例推之 　　设如三乘方积二万零七百三十六尺问方根几何法以对数表之二○七三六之假数四三一六七二四九八四二用四归之得一○七九一八一二四六○仍查假数所对之眞数得一二即一十二尺为开三乘方所得方根之数也葢三乘方积之假数乃以方根之假数四因所得之数故四归之即得方根之假数对其眞数即得方根之数也其或位数多者亦依平方之例推之大凡开诸乘方之理亦皆由于连比例葢方根为连比例第一率平方积为第二率立方积为第三率三乘方积为第四率四乘方积为第五率五乘方积为第六率六乘方积为第七率七乘方积为第八率八乘方积为第九率九乘方积为第十率【与借根方比例定位表同】以第一率方根之假数各以率数乘之即得各乘方积之假数而以各乘方积之假数各以率数除之亦即得第一率方根之假数故由三乘方而进之四乘方求积则用五因求根则用五归五乘方求积则用六因求根则用六归推之至于九乘方求积则用十因求根则用十归即至于一百乘方则以方根之假数用一百零一乘之即得方积之假数以方积之假数用一百零一除之即得方根之假数乘除之数愈繁愈见对数之易此对数之大用也 　　御制数理精蕴下编卷三十八 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴> 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷三十九 　　末部九 　　比例规解【平分线　分面线　更面线分体线　更体线　五金线】 　　比例规解 　　比例尺代算凡防线面体乘除开方皆可以规度而得然于画图制器尤所必需诚算器之至善者焉究其立法之原总不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各边皆为相当之率今张尺之两股为三角形之两腰其尺末相距即三角形之底遂成两边相等之三角形于中任截两边相等之各三角形则其各腰之比例必与各底之比例相当也一曰平分线以御三率一曰分面线一曰更面线以御面羃一曰分体线一曰更体线以御体积一曰五金线以御轻重一曰分圆线一曰正线一曰正切线一曰正割线以御测量并制平仪诸器凡此十线或总归一器或分为数体任意为之无所不可今将各线之分法及用法并着于篇此外又有假数尺即用对数及正割切诸线之对数为之用于三率比例测量尤为简捷亦详其法于后 　　平分线 　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷十九节之法将甲乙甲丙二线俱平分为二百分即为平分线也尺之长短任意为之尺短则平分一百分尺长则平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也 　　设如一丁戊线欲加五倍问得几何 　　法以比例尺平分线第十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第五十分之辛壬二防相离之度作丁癸线即丁戊线之五倍也葢十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又五十分之防为辛与壬而甲辛壬为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形故甲庚与己庚之比同于甲壬与辛壬之比而甲庚与甲壬之比亦同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚之五倍则辛壬必为己庚之五倍而丁癸亦为丁戊之五倍可知矣若欲将丁戊线加十五倍则仍以丁戊线度于十分上定尺取平分线第一百五十分之子丑二防相离之度作寅卯线即为丁戊线之十五倍也若欲将丁戊线加三分之二则将平分线第三十分之辰巳二防依丁戊线度展开勿令移动而取平分线第五十分之午未二防相离之度作申酉线即为丁戊线加三分之二也【以丁戊线为三分而加二分共得五分因三与五之防近枢难用故用三十与五十其比例同也】若有丁癸丁戊二线欲定其比例之分数则将平分线第一百分之戌亥二防依丁癸线度展开勿令移动次取丁戊线度寻至平分线第二十分之干坎二防其相离之度恰符即定为一百分之二十约为五分之一即丁癸丁戊两线之比例也要之用尺之法不外于三率求四率如以一率为腰二率为底而定尺则三率复为腰而其底即四率也以一率为腰三率为底而定尺则二率复为腰而其底亦即四率也若以一率为底二率为腰而定尺则三率复为底而其腰则四率也诸线之用虽各不同其比例之理则一也 　　设如一丁戊线欲分为六分问每分几何 　　法以比例尺平分线第六十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于癸则丁癸即丁戊线六分之一也葢六十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又十分之防为辛与壬而甲辛壬亦为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形则甲庚与甲壬之比同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚六分之一则辛壬必为己庚六分之一而丁癸亦为丁戊线六分之一可知矣若欲分丁戊线为七分则将平分线第七十分之子丑二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于寅则丁寅即丁戊线七分之一也又若丁戊线欲取七分之三则仍以丁戊线度于七十分上定尺而取平分线第三十分之卯辰二防相离之度截丁戊线于己则丁己即丁戊线七分之三也 　　设如有十三人每人给银七两问其银几何 　　法以比例尺平分线第十分之丁戊二防依分厘尺七厘之度展开勿令移动次取平分线第一百三十分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得九分一厘即得共银为九十一两也葢十分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又一百三十分之防为己与庚而甲己庚亦为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊十分与甲庚一百三十分之比同于丁戊七厘与己庚九分一厘之比也又以十分当一人故以一百三十分当十三人以七厘当七两故九分一厘即为九十一两葢十分与一人之比同于一百三十分与十三人之比而 　　七厘与七两之比亦同于九分一厘与九 　　十一两之比也设如每官一员每月给公费钱二千二百文共给钱八千八百文问官员几何法以比例尺平分线第二十二分之丁戊二防依分厘尺一分之度展开勿令移动次取平分线第八十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得四分即得官四员也葢二十二分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又八十八分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊二十二分与甲庚八十八分之比同于丁戊一分与己庚四分之比也又以二十二分当钱二千二百故以八十八分当钱八千八百以一分当官一员故四分即为官四员葢二十二分与二千二百之比同于八十八分与八千八百之比而一分与一员之比亦同于四分与四员之比也 　　设如原有粟五斗易布二疋今有粟三石问易布几何 　　法以比例尺平分线第二十分之丁戊二防【四倍五斗之数因五分近枢难用故用四倍之数也】依分厘尺二分之度展开勿令移动次取平分线第一百二十分之己庚二防相离之度【四倍三石之数三石为三十斗故四倍之得一百二十也】于分厘尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之防为丁与戊一百二十分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式两三角形故甲戊二十分与甲庚一百二十分之比同于丁戊二分与己庚一寸二分之比也又以二十分当五斗为四倍之数故以一百二十分当三石亦为四倍之数以二分当二疋故一寸二分即为十二疋葢二十分与五斗之比同于一百二十分与三石之比而二分与二疋之比亦同于一寸二分与十二疋之比也 　　设如有二十七及十八之两数问其相连比例之三数几何 　　法以比例尺平分线第二十七分之丁戊二防依分厘尺一分八厘之度展开勿令移动次取平分线第十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得一分二厘即相连比例之第三数为十二也葢二十七分之防为丁与戊十八分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十七与甲庚十八之比同于丁戊十八与己庚十二之比也丁戊与甲庚既同为十八即连比例之中率则己庚十二为连比例之第三率无疑矣 　　设如有勾五尺股十二尺问几何 　　法以比例尺平分线甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二防依本线五十分之度展开勿令移动次取平分线甲庚五十分【当勾数】甲己一百二十分【当股数】之己庚二防相离之度于本线上量之为一百三十分即得十三尺也葢勾三股四五为勾股之定数今以甲戊三十甲丁四十为两腰而丁戊五十为底则其两腰相交之甲角必为直角故以今有之勾股数为两腰而取其底即为所求之数也若有勾五尺有十三尺而求股则取本线一百三十分之度自五十分之庚防寻至一百二十分之己防其相离之度恰符即得股十二尺矣 　　设如有圆径三十五寸问圆周几何 　　法以比例尺平分线第二十一分之丁戊二防【径率七之三倍也因七分近枢故用三倍之数】依分厘尺三分五厘之度展开勿令移动次取平分线第六十六分之己庚二防相离之度【周率二十二之三倍也因径率用三倍故周率亦三倍之】于分厘尺上量之得一寸一分即一百一十寸为所求之圆周也葢二十一分之防为丁与戊六十六分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十一与丁戊三分五厘之比同于甲庚六十六与己庚一寸一分之比而甲戊与甲庚既为径与周之比例则丁戊与己庚亦必为径与周之比例矣又甲戊为径率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一厘当一寸故己庚亦以一厘当一寸其比例俱相当也