御制数理精蕴 - 第 47 页/共 595 页

设如有二平方多三根以二根多四眞数乘之问得几何 　　法因上层无眞数位故列一空位以补之以多四眞数乘空眞数仍爲空以多四眞数乘多三根得多十二根以多四眞数乘二平方得多八平方以二根乘空眞数仍爲空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方【以根乘平方即得立方葢根所对之位爲一平方所对之位爲二以一加二得三即立方所对之位也】相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之数也此相乘两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆凡法皆当如此如图甲乙丙丁爲二平方丁丙戊己爲多三根庚辛爲二根戊庚爲多四眞数以甲乙戊己二平方多三根与戊辛二根多四眞数相乘成乙己辛癸扁方体其丙己庚子十二根即四真数乘三根之数其甲乙丙丁子丑八平方即四眞数乘二平方之数其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之数其丑子卯癸四立方即二根乘二平方之数也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五一立方爲一百二十五上数二平方得五十多三根得多十五共得六十五下数二根得一十多四眞数共得十四相乘所得五百即四立方之数所得多三百五十即多十四平方之数所得多六十即多十二根之数葢以下数十四与上数六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也 　　设如有二根少四眞数以一根多三眞数乘之问得几何 　　法以多三眞数乘少四眞数得少十二眞数【多与少乘故爲少】以多三眞数乘二根得多六根【凡爲首一位皆爲多而数前无号者亦即爲多今以多三眞数与多二根相乘故其得数仍爲多】又以一根乘少四眞数得少四根【以多与少乘故爲少】以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二眞数即所求之数也如图甲乙爲二根丙乙爲少四眞数甲丁爲一根丁戊爲多三真数以甲乙二根少四眞数与甲戊一根多三眞数相乘成甲戊己乙长方形其庚壬己辛长方形即多三眞数乘少四眞数之十二眞数丁戊己辛长方形即多三眞数乘二根之六根丙庚辛乙长方形即一根乘少四眞数之四根甲丁辛乙长方形即一根乘二根之二平方合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞数今以丁戊己辛之多六根少十二眞数补丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二眞数也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数二根得十二少四眞数则余八下数一根得六多三眞数共得九相乘所得七十二即二平方之数所得多十二即多二根之数所得少十二即少十二眞数之数葢以下数九与上数八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也 　　设如有一根少一眞数以一根少二眞数乘之问得几何 　　法以少二眞数乘少一眞数得多二眞数【少与少乘故爲多】以少二眞数乘一根得少二根【一根爲首且无号故爲多今以少二眞数与多一根相乘故其得数亦爲少也】又以一根乘少一眞数得少一根【多与少乘故爲少】以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二眞数即所求之数也如图甲乙爲一根丙乙爲少一眞数甲丁亦爲一根戊丁爲少二眞数以甲乙一根少一眞数与甲丁一根少二眞数相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小长方形即少二眞数乘少一眞数之二眞数其戊壬己丁即二眞数乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一眞数之一根其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方合之爲甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二眞数实得甲丙庚戊之一长方形葢甲乙己丁之一正方内减戊壬己丁之二根又减丙乙己辛之一根是重减去庚壬己辛之二眞数则甲丙庚戊长方内必缺二眞数故将少二眞数乘少一眞数所得之二眞数即预定爲多号以补重减之分然后得甲丙庚戊之一长方爲所得之实数也是则少与少乘之爲多者非于整数之外有盈分而爲多实因所少之数有过分而爲多也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六上数一根爲六少一眞数则余五下数一根爲六少二眞数则余四相乘所得三十六即一平方之数所得少十八即少三根之数所得多二即多二眞数之数葢以下数四与上数五相乘得二十即三十六少十八多二也 　　设如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之问得几何 　　法因上下两层皆无眞数位故各列一空位以补之以空眞数乘上层各位仍得各空位以少二根乘空眞数仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空眞数仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一一四乘方爲二百四十三上数二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三爲三十三下数二平方得十八少二根得少六是十八少六爲十二相乘所得九百七十二即四四乘方之数所得少六百四十八即少八三乘方之数所得多五十四即多二立方之数所得多十八即多二平方之数葢以下数十二与上数三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四复多十八也 　　设如有三平方少二根多二眞数与一平方多二根少三眞数相乘问得几何 　　法以少三眞数乘多二眞数得少六眞数以少三眞数乘少二根得多六根以少三眞数乘三平方得少九平方又以多二根乘多二眞数得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二眞数得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞数即所求之数也如以数明之以根爲四则一平方爲十六一立方爲六十四一三乘方爲二百五十六上数三平方得四十八少二根得少八多二眞数共得四十二下数一平方得十六多二根得多八少三眞数共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之数所得多二百五十六即多四立方之数所得少一百七十六即少十一平方之数所得多四十即多十根之数所得少六即少六眞数之数葢以下数二十一与上数四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十复少六也 　　除法 　　凡除法按位列数必以眞数爲单位法尾未至眞数者须补○以存其位【如法尾爲根则补一○以存眞数位法尾爲平方则补二○以存眞数位法尾爲立方则补三○以存眞数位】将得数首位纪于眞数之上【如眞数之位爲○者则纪于○位之上】眞数所对实中之位即得数首位之数【如眞数对实中根位即定得数首位爲根如眞数对实中平方位即定得数首位爲平方如眞数对实中立方位即定得数首位爲立方余俱仿此】其归除递减皆与常法同至于定号亦与乘法同俱详设如于左 　　设如有十二立方多九平方多六根以三眞数除之问得几何 　　法以三眞数除十二立方得四立方以四立方乘三眞数得十二立方与实相减恰尽余多九平方多六根复以三眞数除多九平方得多三平方以多三平方乘三眞数得多九平方与实相减恰尽余多六根又以三眞数除多六根得多二根以多二根乘三眞数得多六根与实相减恰尽无余是爲四立方多三平方多二根即所求之数也此法葢因眞数除立方多平方与多根故得数之位仍从实数之位且眞数之位下对实中立方之位故定得数首位亦爲立方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共爲四百二十三以眞数三除之所得一百零八即四立方之数所得多二十七即多三平方之数所得多六即多二根之数葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也 　　设如有十二立方多八平方多六根以二根除之问得几何 　　法因法尾未至眞数位故设一空眞数位以补之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方与实相减恰尽余多八平方多六根复以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方与实相减恰尽余多六根复以二根除多六根得多三眞数以多三眞数乘二根得多六根与实相减恰尽无余是爲六平方多四根多三眞数即所求之数也此法葢因根数除立方多平方与多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八实数十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共爲一百四十法数二根爲四除之所得二十四即六平方之数所得多八即多四根之数所得多三即多三眞数之数葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也 　　设如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之问得几何 　　法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方与实相减恰尽余多八立方多八平方复以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方与实相减恰尽余多八平方又以四平方除多八平方得多二眞数以多二眞数乘四平方得多八平方与实相减恰尽无余是爲一平方多二根又多二眞数即所求之数也此法葢因平方除三乘方多立方与多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位亦爲平方又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九 　　一立方爲二十七一三乘方爲八十一实数四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多八平方得多七十二是三百二十四多二百一十六又多七十二共爲六百一十二法数四平方爲三十六除之所得之九即一平方之数所得多六即多二根之数所得多二即多二眞数之数葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二 　　也设如有四立方多八平方多七根多二眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何法以二平方多三根多二眞数除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二眞数得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方与实相减余多二平方多三根多二眞数复以二平方多三根多二眞数除二平方多三根多二眞数得多一眞数以多一眞数乘多二眞数得多二眞数以多一眞数乘多三根得多三根以多一眞数乘二平方得多二平方与实相减恰尽无余是爲二根多一眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根多眞数故以平方除立方得根以平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二眞数即多二是爲一百零八多七十二又多二十一又多二共爲二百零三法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是爲十八多九又多二共爲二十九除之所得之六即二根之数所得多一即多一眞数葢二百零三以二十九除之得七即六多一也 　　设如有六平方少一根少十五眞数以三根少五眞数除之问得几何 　　法以三根少五眞数除六平方少一根得二根以二根乘少五眞数得少十根以二根乘三根得六平方与实相减平方恰尽根之减数大于原数转减之余多九根少十五眞数复以三根少五眞数除多九根少十五眞数得多三眞数【减余之九根爲多故除得之三眞数亦爲多也】以多三眞数与少五眞数相乘得少十五眞数以多三眞数与三根相乘得多九根与实相减恰尽无余是爲二根多三眞数即所求之数也此法葢因根少眞数除平方少根少眞数故以根除平方得根以根除多根【根原爲少而减余数变爲多】得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数原爲少而次位余实之数变爲多故定得数次位爲多也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五实数六平方得一百五十少一根得少五少十五真数即少十五是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十法数三根得十五少五眞数即少五是爲十五少五共爲一十除之所得之一十即二根之数所得之多三即多三眞数之数葢一百三十以十除之得十三即十多三也 　　设如有九立方少十二平方少五根多六眞数以三平方少二根少三眞数除之问得几何 　　法以三平方少二根少三眞数除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三眞数得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方与实相减立方恰尽原少十二平方减少六平方余少六平方原少五根不能减九根转减之余多四根又多六眞数复以三平方少二根少三眞数除少六平方多四根多六眞数得少二眞数以少二眞数乘少三眞数得多六眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘三平方得少六平方与实相减恰尽无余是爲三根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根少眞数除立方少平方少根与多眞数故以平方除立方得根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有少有多不同而次位余实之首数爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲七则一平方爲四十九一立方爲三百四十三实数九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六眞数即多六是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共爲二千四百七十法数三平方得一百四十七少二根得少十四少三眞数即少三是爲一百四十七少十四又少三共爲一百三十除之所得之二十一即三根之数所得之少二即少二眞数之数葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也 　　设如有八立方多八平方多二根少四眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何 　　法以二平方多三根多二眞数除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二眞数得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方与实相减立方恰尽平方与根之减数俱大于原数故皆转减之余少四平方少六根又少四眞数复以二平方多三根多二眞数除少四平方少六根少四眞数得少二眞数以少二眞数乘多二眞数得少四眞数以少二眞数乘多三根得少六根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲四根少二眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根与少眞数故以平方除立方得根以平方除少平方【平方原爲多而减余数变爲少】得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有多有少不同而次位余实皆变爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞数即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共爲二百九十法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是十八多九又多二共爲二十九除之所得十二即四根之数所得少二即少二眞数之数葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也 　　设如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞数以二平方少二根多一眞数除之问得几何法以二平方少二根多一眞数除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一眞数得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方与实相减三乘方恰尽原少二立方不能减少四立方转减之余多二立方原少四平方减多二平方故相加爲少六平方仍多五根复以二平方少二根多一眞数除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一眞数得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方与实相减立方恰尽原少六平方减少二平方余少四平方原多五根减多一根余多四根仍少二眞数又以二平方少二根多一眞数除少四平方多四根少二眞数得少二眞数以少二眞数乘多一眞数得少二眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲二平方多一根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根多眞数除三乘方少立方又少平方仍多根与少眞数故以平方除三乘方得平方以平方除多立方【立方原爲少而减余数变爲多】得多根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位爲平方又实数之号虽有多有少不同而次位余实之首数变爲多三位余实之首数仍爲少故定得数之次位爲多三位爲少也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六一立方爲二百一十六一三乘方爲一千二百九十六实数四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二眞数即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十复少二共爲四千六百三十六法数二平方得七十二少二根得少十二多一眞数即多一是七十二少十二又多一共爲六十一除之所得七十二即二平方之数所得多六即多一根之数所得少二即少二眞数之数葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也 　　御制数理精蕴下编卷三十一 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷三十二 　　末部二 　　借根方比例【开诸乘方法　诸乘方表】 　　开诸乘方法 　　借根方比例法中开各乘方爲最要其算线部借根算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方之法宜审也葢诸乘方之形体不同开法之难易迥别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则其法愈难今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以后则甚爲简捷至于诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方次商之数最难定今自立方至九乘方俱爲立根数两位之表若根数两位者以积数捡表即得更爲便捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍而无所用兹故不载焉 　　平方 　　设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问每一根之数几何 　　法列方积一万五千一百二十九尺自末位起算每方积二位定方根一位故隔一位作记乃于九尺上定单位一百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺爲初商积与一百自乘之数相合即定初商爲一百尺书于方积一万尺之上而以初商一百尺自乘之一万尺书于初商积之下相减恰尽爰以方根第二位积五千一百尺续书于后爲次商廉隅之共积而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一万四千四百尺与原积相减余七百尺爰以方根第三位积二十九尺续书于后共七百二十九尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商积足三倍即定三商爲三尺书于方积九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一万五千一百二十九尺与原积相减恰尽是开得一百二十三尺爲平方每一根之数也此法止用廉法除余积得次商即并初商数自乘得数复与原积相减与常法不同然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁难于布算用此法甚爲省便在平方立方不觉其省【平方止省小隅一层立方止省长廉小隅二层】而在多乘方所省实多葢各设一例以备体也 　　立方 　　设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五尺开立方问每一根之数几何 　　法列方积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算每方积三位定方根一位故隔二位作记乃于五尺上定单位三千尺上定十位一百万尺上定百位其四千一百万尺爲初商积与三百自乘再乘之数相准即定初商爲三百尺书于方积一百万尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百万尺书于初商积之下相减余一千四百万尺爰以方根第二位余积六万三千尺续书于后共一千四百零六万三千尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺自乘得九万尺三因之得二十七万尺爲次商廉法以除次商积足四十倍即定次商爲四十尺书于方积三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十万四千尺与原积相减余一百七十五万九千尺爰以方边第三位余积六百二十五尺续书于后共一百七十五万九千六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一万五千六百尺三因之得三十四万六千八百尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽是开得三百四十五尺爲立方每一根之数也 　　又用表开法列积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算隔二位作记定位同前乃截方根第二位以前积四一○六三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之数】其所对初商根爲三次商根爲四即将三四书于初商次商之位而以三九三○四书于初商次商积之下相减余一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除余积一七五九足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽即定立方根爲三百四十五尺也 　　三乘方 　　设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开三乘方问每一根之数几何 　　法列方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算每方积四位定方根一位故隔三位作记乃于一尺上定单位七万尺上定十位三亿尺上定百位其一千零三十三亿尺爲初商积与五百乘三次之数相准即定初商爲五百尺书于方积三亿尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五亿尺书于初商积之下相减余四百零八亿尺爰以方根第二位积五千五百一十七万尺续书于后共四百零八亿五千五百一十七万尺爲次商廉隅之共积而以初商之五百尺乘二次得一亿二千五百万尺四因之得五亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一亿六千四百九十六万尺大于原积是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五亿六千零一万尺仍大于原积是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三亿四千四百九十六万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积七万尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三亿四千四百九十六尺与原积相减余五十亿一千零二十一万尺爰以方根第三位积七千一百二十一尺续书于后共五十亿一千零二十一万七千一百二十一尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之五百六十尺乘二次得一亿七千五百六十一万六千尺四因之得七亿零二百四十六万四千尺爲三商亷法以除三商积足七倍即定三商爲七尺书于方积一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得五百六十七尺爲三乘方每一根之数也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除余积得次商以初商自乘与次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘与初商相乘四因之爲四长廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘三次即得应减之积也 　　又法用开平方法两次开之初以原积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开平方得三十二万一千四百八十九尺次以三十二万一千四百八十九尺复开平方得五百六十七尺即三乘方每一根之数也又用表开法列积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算隔三位作记定位同前乃截方根第二位以前积一○三三五五一七爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲九八三四四九六【即初商次商乘三次之数】其所对初商根爲五次商根爲六即将五六书于初商次商之位而以九八三四四九六书于初商次商积之下相减余五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除余积五○一○二一足七倍即定三商爲七书于三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽即定三乘方根爲五百六十七尺也 　　四乘方 　　设如有四乘方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺开四乘方问每一根之数几何 　　法列方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算每方积五位定方根一位故隔四位作记乃于五尺上定单位九十万尺上定十位空百亿尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商积与七百乘四次之数相准即定初商爲七百尺书于方积空百亿尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百亿尺书于初商积之下相减余九十三兆九千三百亿尺爰以方根第二位余积三十五亿四千九百九十万尺续书于后共九十三兆九千三百三十五亿四千九百九十万尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一亿尺五因之得一兆二千零五亿尺爲次商廉法以除次商积足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四亿一千五百七十万尺大于原积是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺小于原积可减也乃定次商爲六十尺书于方积九十万尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺与原积相减余八兆四千五百一十亿一千二百三十万尺爰以方根第三位余积七万八千一百二十五尺续书于后共八兆四千五百一十亿一千二百三十七万八千一百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六亿二千一百七十六万尺五因之得一兆六千六百八十一亿零八百八十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽是开得七百六十五尺爲四乘方每一根之数也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除余积得次商以初商自乘再乘与次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘两数相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘与初商相乘五因之爲五长廉以次商数乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘四次即得应减之积也又用表开法列积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算隔四位作记定位同前乃截方根第二位以前积二六二○○三五四九九爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲二五三五五二五三七六【即初商次商乘四次之数】其所对初商根爲七次商根爲六即将七六书于初商次商之位而以二五三五五二五三七六书于初商次商积之下相减余八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除余积八四五一○一二三足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽即定四乘方根爲七百六十五尺也 　　五乘方 　　设如有五乘方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开五乘方问每一根之数几何 　　法列方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算每方积六位定方根一位故隔五位作记乃于五尺上定单位五百万尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商积与九百乘五次之数相准即定初商爲九百尺书于方积八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺书于初商积之下相减余三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位积三千零一十亿二千五百万尺续书于后共三十二京七千六百二十七兆三千零一十亿二千五百万尺爲次商廉隅之共积而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百亿尺六因之得三千五百四十二兆九千四百亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大于原积乃改商七十尺书于方积五百万尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九亿二千九百万尺与原积相减余二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百万尺爰以方根第三位积三十九万零六百二十五尺续书于后共二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百三十九万零六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十亿二千五百七十万尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一亿五千四百二十万尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽是开得九百七十五尺爲五乘方每一根之数也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲法除余积得次商以初商乘三次与次商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘两数相乘二十乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘两数相乘十五乘之爲十五自乘廉以次商乘三次与初商相乘六因之爲六长廉以次商乘四次爲一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘五次即得应减之积也 　　又法用开平方开立方法开之初以原积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开平方得九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺又以九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺开立方得九百七十五尺即五乘方每一根之数也 　　又用表开法列积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算隔五位作记定位同前乃截方根第二位以前积八五九○六八三○一○二五爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲八三二九七二○○四九二九【即初商次商乘五次之数】其所对初商根爲九次商根爲七即将九七书于初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九书于初商次商积之下相减余二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除余积二六○九六二九六○九六足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽即定五乘方根爲九百七十五尺也 　　六乘方 　　设如有六乘方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺开六乘方问每一根之数几何 　　法列方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算每方积七位定方根一位故隔六位作记乃于八尺上定单位九千万尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商积与八百乘六次之数相准即定初商爲八百尺书于方积五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺书于初商积之下相减余一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位积九十九兆二千五百二十三亿九千万尺续书于后共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三亿九千万尺爲次商廉隅之共积而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法以除次商积足六十倍因定次商爲六十尺按法相乘大于原积乃改商五十尺书于方积九千万尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二亿五千万尺与原积相减余五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千万尺爰以方根第三位积五百九十万零九百二十八尺续书于后共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千五百九十万零九百二十八尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六亿二千五百万尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三亿七千五百万尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽是开得八百五十二尺爲六乘方每一根之数也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉爲法除余积得次商以初商乘四次与次商相乘二十一乘之爲二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘两数相乘三十五乘之爲三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘两数相乘三十五乘之爲三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次两数相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以次商乘四次与初商相乘七因之爲七长廉以次商乘五次爲一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今得次商之后合初商乘六次即得应减之积也 　　又用表开法列积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算隔六位作记定位同前乃截方根第二位以前积三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三二○五七七○八八二八一二五【即初商次商乘六次之数】其所对初商根爲八次商根爲五即将八五书于初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五书于初商次商积之下相减余五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除余积五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽即定六乘方根爲八百五十二尺也 　　七乘方 　　设如有七乘方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开七乘方问每一根之数几何 　　法列方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算每方积八位定方根一位故隔七位作记乃于一尺上定单位三亿尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商积与七百乘七次之数相准即定初商爲七百尺书于方积二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺书于初商积之下相减余六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位积二百三十三兆九千三百八十三亿尺续书于后共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法以除次商积足九倍止可商九尺是次商爲空位也乃书一空于方积三亿尺之上而以九尺书于方积一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得七百零九尺爲七乘方每一根之数也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除余积得次商以初商乘五次与次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘两数相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘两数相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次两数相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次两数相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次与初商相乘八因之爲八长廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘七次即得应减之积也 　　又法用开平方法三次开之初以原积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开平方得二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺次以二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺复开平方得五十万二千六百八十一尺又以五十万二千六百八十一尺复开平方得七百零九尺即七乘方每一根之数也 　　又用表开法列积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算隔七位作记定位同前乃截方根第二位以前积六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之数】其所对初商根爲七次商根爲○即将七○书于初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○书于初商次商积之下相减余六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余积六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九书于三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽即定七乘方根爲七百零九尺也 　　八乘方 　　设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开八乘方问每一根之数几何 　　法列方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算每方积九位定方根一位故隔八位作记乃于二尺上定单位四十亿尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商积与四百乘八次之数相准即定初商爲四百尺书于方积五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺书于初商积之下相减余一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位积八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺续书于后共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺爲次商廉隅之共积而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积四十亿尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十亿尺与原积相减余一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十亿尺爰以方根第三位积九亿五千二百八十二万七千二百九十二尺续书于后共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六亿尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四亿尺爲三商廉法以除三商积足二倍即定三商爲二尺书于方积二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽是开得四百二十二尺爲八乘方每一根之数也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除余积得次商以初商乘六次与次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘两数相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次两数相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次两数相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次两数相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次与初商相乘九因之爲九长廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘八次即得应减之积也又法用开立方法两次开之初以原积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开立方得七千五百一十五万一千四百四十八尺次以七千五百一十五万一千四百四十八尺复开立方得四百二十二尺即八乘方每一根之数也 　　又用表开法列积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算隔八位作记定位同前乃截方根第二位以前积四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之数】其所对初商根爲四次商根爲二即将四二书于初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二书于初商次商积之下相减余一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余积一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二书于三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽即定八乘方根爲四百二十二尺也 　　九乘方