御制数理精蕴 - 第 50 页/共 595 页
法借一根为乗马之日数则乗船之日数为六十三日少一根以一根与一百六十里相乗得一百六十根为乗马所行之里数以六十三日少一根与一百四十四里相乗得九千零七十二里少一百四十四根为乗船所行之里数乗船所行里数既为乗马所行里数之十八倍则以十八乗乗马所行之里数一百六十根得二千八百八十根是为二千八百八十根与九千零七十二里少一百四十四根相等二千八百八十根与少一百四十四根各加一百四十四根得三千零二十四根与九千零七十二里相等三千零二十四根既与九千零七十二里相等则一百六十根必与四百八十里相等前既以一百六十根为乗马所行之里数则与一百六十根相等之四百八十里即乗马所行之里数以乗马每日所行一百六十里除之得三日与一根相等即乗马所行之日数以三日与六十三日相减余六十日为乗船所行之日数以乗船每日行一百四十四里乗之得八千六百四十里即乗船所行之里数为乗马所行之里数之十八倍也【此和较比例法用叠借互征法算之亦可】
设如有青缎蓝缎二色共七十疋青缎每疋长四十七尺蓝缎每疋长六十尺其蓝缎总尺数比青缎总尺数多二十七尺问青缎蓝缎二色各若干法借一根为青缎疋数则蓝缎为七十疋少一根各以尺数乗之则青缎之总尺数得四十七根蓝缎之总尺数得四千二百尺少六十根于蓝缎总尺数内减去比青缎所多之二十七尺得四千一百七十三尺少六十根是为青缎四十七根与蓝缎四千一百七十三尺少六十根相等四十七根与少六十根各加六十根得一百零七根与四千一百七十三尺相等一百零七根既与四千一百七十三尺相等则四十七根必与一千八百三十三尺相等前既以四十七根为青缎之总尺数则与四十七根相等之一千八百三十三尺即青缎之总尺数以每疋长四十七尺除之得三十九疋与一根相等即青缎之疋数以三十九疋与七十疋相减余三十一疋即蓝缎之疋数以三十一疋与六十尺相乗得一千八百六十尺即蓝缎之总尺数比青缎多二十七尺也【此和较比例法】
设如有人买绢防二色共价银一百二十七两四钱绢一尺价银七分防一尺价银一钱四分其绢之尺数比防之尺数为五倍问绢防尺数各若干法借一根为防之尺数则绢之尺数为五根以防价一钱四分【作一十四分】乗一根得一十四根为防共价以绢价七分乗五根得三十五根为绢共价两数相加共得四十九根是为四十九根与一百二十七两四钱相等四十九根既与一百二十七两四钱相等则十四根必与三十六两四钱相等前既以十四根为防共价则与十四根相等之三十六两四钱即防之共价以防每尺价一钱四分除之得二百六十尺与一根相等即防之尺数五因之得一千三百尺即绢之尺数也【此和较比例法】
设如甲有十成银一百二十四两丙有三成银不知数但知将二色银镕于一处则俱为五成银问三成银几何
法借一根为丙银数因二色银镕于一处俱为五成故以五成与丙银三成相减余二成为每两所少之数以五成与甲银十成相减余五成为每两所多之数乃以每两所少二成乗丙银一根得二根以每两所多五成乗甲银一百二十四两得六百二十成是为二根与六百二十成相等【丙之所少即甲之所多其数相等也】以丙银每两少二成除之则得一根与三百一十两相等前既借一根为丙银数则与一根相等之三百一十两即丙之银数也【此和较比例法】
设如有银大小共九百二十四锭重二百七十六两大锭重三分两之一小锭重七分两之二问大小锭各若干
法借一根为大锭数则小锭为九百二十四锭少一根因大锭重三分两之一小锭重七分两之二其分母不同乃以两分母三与七相乗得二十一为共母数又以小锭分母七互乗大锭分子一得七即变三分之一为二十一分之七为大锭之重数又以大锭分母三互乗小锭分子二得六即变七分之二为二十一分之六为小锭之重数乃以一根与大锭分子七相乗得七根为大锭之重数以九百二十四锭少一根与小锭分子六相乗得五千五百四十四少六根为小锭之重数两数相加得五千五百四十四多一根为共重数又各重数既皆通为二十一分则共重二百七十六两亦以分母二十一通之得五千七百九十六是为五千五百四十四多一根与五千七百九十六相等五千五百四十四与五千七百九十六各减五千五百四十四则余一根与二百五十二相等即大锭之共数与共九百二十四锭相减余六百七十二为小锭之共数以大锭重三分两之一与大锭共数相乗得八十四两为大锭之共重数以小锭重七分两之二与小锭共数相乗得一百九十二两为小锭之共重数相加得二百七十六两以合原数也【此和较比例法】
设如众人雇船每人出银一两二钱则少四两四钱每人出银一两五钱则多八两二钱问人数及船价银各若干
法借一根为人数以一根与一两五钱相乗得十五根则船价银为十五根少八两二钱又以一根与一两二钱相乗得十二根则船价银又为十二根多四两四钱此二数为相等两边各加八两二钱得十五根与十二根多十二两多钱相等两边再各减十二根则余三根与十二两六钱相等三根既与十二两六钱相等则一根必与四两二钱相等前既借一根为人数则此四两二钱即为四十二人为雇船之人数以每人出一两二钱乗之得五十两零四钱再加四两四钱得五十四两八钱为船价以每人出一两五钱乗之得六十三两减去八两二钱亦为五十四两八钱两数相同也【此盈朒法】
设如有银买缎二色下号缎每疋价银八两上号缎每疋价银十一两若俱买下号者则银多二百九十六两若俱买上号者则银多三十二两问缎数及银数各若干
法借一根为缎数以一根与十一两相乗得十一根为上号缎共价则共银为十一根多三十二两又以一根与八两相乗得八根为下号缎共价则共银为八根多二百九十二两此二数为相等两边各减三十二两得十一根与八根多二百六十四两相等两边再各减八根则余三根与二百六十四两相等三根既与二百六十四两相等则一根必与八十八两相等前既借一根为缎数则此八十八两即为八十八疋为缎之总数以每疋八两乗之得七百零四两为下号缎共价数加多二百九十六两得一千两为共有银数以每疋十一两乗之得九百六十八两为上号缎共价数加多三十二两亦得一千两两数相同也【此盈朒法】
设如有井一口不知其深有绳一条不知其长但知取绳六分之一比井深少三尺四寸取绳四分之一比井深适等问井深及绳长各若干
法借二十四根为绳长数【两分母相乗之数】取其四分之一得六根则井深即为六根又取其六分之一得四根则井深又为四根多三尺四寸此二数为相等两边各减四根得二根与三尺四寸相等二根既与三尺四寸相等则一根必与一尺七寸相等而二十四根必与四丈零八寸相等即绳之长数也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸为井深或取其四分之一亦得一丈零二寸两数相同也【此盈朒法】
设如有人买房用本银三分之二则比房价多五十九两用本银五分之二则比房价少四十九两八钱问本银房价各若干
法借十五根为本银数【两分母相乗之数】以用本银三分之二比房价多五十九两计之则房价为十根少五十九两以用本银五分之二比房价少四十九两八钱计之则房价又为六根多四十九两八钱此二数为相等两边各加五十九两得十根与六根多一百零八两八钱相等两边再各减去六根则余四根与一百零八两八钱相等四根既与一百零八两八钱相等则一根必与二十七两二钱相等而十五根必与四百零八两相等即本银数取其三分之二得二百七十二两减多五十九两得二百一十三两为房价数又将本银取其五分之二得一百六十三两二钱加少四十九两八钱亦得二百一十三两两数相同也【此盈朒法】
设如有银分给二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四两今欲与下等人每人三两则银多七十三两每人四两则银少二十两问人数及银数各若干
法借一根为下等人数则上等人数为二根以一根与四两相乗得四根为下等人所得共银数以二根与八两【下等每人四两上等多四两故每人八两】相乗得十六根为上等人所得共银数两数相加得二十根为上下二等人所得共银数则原银数即为二十根少二十两又以一根与三两相乗得三根为下等人所得共银数以二根与七两相乗得十四根为上等人所得共银数两数相加得十七根为上下二等人所得共银数则原银数即为十七根多七十三两此两数为相等两边各加二十两得二十根与十七根多九十三两相等两边再各减十七根则余三根与九十三两相等三根既与九十三两相等则一根必与三十一两相等前既借一根为下等人数则此三十一两即为三十一人为下等人数倍之得六十二人即上等人数以下等三十一人用三两乗之得九十三两以上等六十二人用七两乗之得四百三十四两两数相加共得五百二十七两再加所多七十三两得六百两为原银数若以下等三十一人用四两乗之得一百二十四两以上等六十二人用八两乗之得四百九十六两两数相加共得六百二十两减去所少二十两亦得六百两两数相同也【此盈朒法】
设如有人分银不言人数亦不言银数但知毎四人分银十八两则银少八两每三人分银十一两则银多十二两问人数及银数各若干
法借十二根为人数以四人分银十八两计之则每人应得四两五钱爰以四两五钱乗十二根得五十四根为共分银之数而原银即为五十四根少八两以三人分银十一两计之则每人应得三两又三分两之二爰以三两又三分两之二乗十二根得四十四根为共分银之数而原银又为四十四根多十二两此两数为相等两边各加八两得五十四根与四十四根多二十两相等两边各减四十四根得十根与二十两相等十根既与二十两相等则十二根必与二十四两相等前既借十二根为人数则此二十四两即为二十四人为共人数也以三人为一率十一两为二率二十四人为三率求得四率八十八两加多十二两共一百两为原银数或以四人为一率十八两为二率二十四人为三率求得四率一百零八两减少八两亦得一百两两数相同也【此双套盈朒法】
设如有一商人贩缎不言每疋价银之数亦不言每疋税银之数但知贩缎八十疋纳税用缎四疋则多银二两贩缎三百一十疋纳税用缎十四疋则少银六两五钱问每疋价银及税银几何
法借一根为缎一疋之价银数以纳税用缎四疋多银二两计之则缎八十疋之税银数为四根少银二两以纳税用缎十四疋少银六两五钱计之则缎三百一十疋之税银数为十四根多银六两五钱此两缎数不相等故难用比例须用互乗法以八十疋与三百一十疋相乗得二万四千八百疋为共缎数乃以三百一十疋乗四根少银二两得一千二百四十根少银六百二十两为二万四千八百疋之税银数又以八十疋乗十四根多银六两五钱得一千一百二十根多五百二十两亦为二万四千八百疋之税银数此两缎数既为相等故乗出之税银数亦为相等两边各加六百二十两得一千二百四十根与一千一百二十根多一千一百四十两相等两边再各减一千一百二十根则余一百二十根与一千一百四十两相等一百二十根既与一千一百四十两相等则一根必与九两五钱相等即缎一疋之价银数以缎四疋与银九两五钱相乗得三十八两减去多二两余三十六两即缎八十疋之税银数以八十疋除三十六两得四钱五分即缎一疋之税银数以四钱五分与缎三百一十疋相乗得一百三十九两五钱即缎三百一十疋之税银数又以缎十四疋与九两五钱相乗得一百三十三两再加少六两五钱亦得一百三十九两五钱两数相同也【此双套盈朒法】
设如有银一千二百零九两令甲乙二人分之取甲四分之一与乙三分之一相加即与甲银等问二人各得几何
法借十二根【两分母相乗数】为甲银数则乙银为一千二百零九两少十二根取甲银四分之一为三根取乙银三分之一为四百零三两少四根相加得四百零三两少一根是为十二根与四百零三两少一根相等十二根与少一根各加一根得十三根与四百零三两相等十三根既与四百零三两相等则十二根必与三百七十二两相等即甲银数于总银内减甲银数余八百三十七两即乙银数取甲银四分之一得九十三两取乙银三分之一得二百七十九两相加得三百七十二两与甲银等也【此借衰互征法用方程法算之亦可】
设如有银一千两令甲乙丙三人分之乙所得之数倍于甲仍多三十两丙所得之数倍于乙问每人各得若干
法借一根为甲银数则乙为二根多三十两丙为四根多六十两三数相并共得七根多九十两而与一千两相等九十两与一千两各减九十两余七根与九百一十两相等七根既与九百一十两相等则一根必与一百三十两相等即甲所得银数倍之再加三十两得二百九十两为乙所得银数又倍之得五百八十两为丙所得银数也【此借衰互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙丙三人分银六千两乙得甲三分之一丙得乙二分之一问三人各得几何
法借一根为甲银数则乙银为三分根之一丙银为六分根之一三数相加得六分根之九【以甲一根为六分则乙为六分根之二丙为六分根之一共得六分根之九即一根半】与六千两相等各以六乗之得九根与三万六千两相等九根既与三万六千两相等则一根必与四千两相等即甲银数三分之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数又二分之得六百六十六两又三分两之二为丙银数也
又法借一根为丙银数则乙银为二根甲银为六根相加得九根与六千两相等九根既与六千两相等则一根必与六百六十六两又三分两之二相等即丙银数倍之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数三因之得四千两即甲银数也【此借衰互征法】
设如有金银锡铜四色不言重数但知共数五分之二为铜数金银锡共数七分之四为锡数金银共数八分之五为银数金重三千零二十四两问四色各重若干
法借二百八十根为共数【用三分母连乗之数取其可以度尽也】取其五分之二得一百一十二根为铜数与二百八十根相减余一百六十八根为金银锡之共数取其七分之四得九十六根为锡数与一百六十八根相减余七十二根为金银之共数又取其八分之五得四十五根为银数与七十二根相减余二十七根为金数是为二十七根与三千零二十四两相等二十七根既与三千零二十四两相等则一根必与一百一十二两相等四十五根必与五千零四十两相等即银数九十六根必与一万零七百五十二两相等即锡数一百一十二根必与一万二千五百四十四两相等即铜数四数相加共得三万一千三百六十两以所借共重二百八十根与每一根之一百一十二两相乗亦得三万一千三百六十两为四色之共数也【此借衰互征法】
设如有银三百五十六两分与三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍于二等内少二两二等所得倍于三等又多四两问三等人每人各得几何
法借一根为三等一人所得银数则二等一人所得银数为二根多四两一等一人所得银数为四根多六两以各等共人数因之则三等所得共银数为三根二等所得共银数为八根多十六两一等所得共银数为二十根多三十两三数相加共得三十一根多四十六两为与三百五十六两相等三十一根多四十六两与三百五十六两各减去四十六两则余三十一根与三百一十两相等三十一根既与三百一十两相等则一根必与十两相等即三等一人所得银数倍之加四两得二十四两即二等一人所得银数又倍之减二两得四十六两即一等一人所得银数三等三人共得三十两二等四人共得九十六两一等五人共得二百三十两三数相加共得三百五十六两以合原数也【此借衰互征法】
设如甲丙二人共有米三百八十四石甲纳官八分之一丙纳官六分之一共纳五十四石问二人原米及纳官米各若干
法借一根为甲纳米数则丙纳米为五十四石少一根将甲纳米一根八因之得八根为甲原米数丙纳米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根为丙原米数相加得三百二十四石多二根为甲丙共米数是为三百二十四石多二根与三百八十四石相等三百二十四石与三百八十四石各减去三百二十四石余二根与六十石相等二根既与六十石相等则一根必与三十石相等即甲所纳米数八因之得二百四十石为甲原米数以甲原米数与三百八十四石相减余一百四十四石为丙原米数六归之得二十四石即丙所纳米数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙二人不言本银若干但知以乙本银三分之一与甲本银相加再加六十两共得一千两以甲本银五分之一与乙本银相加亦得一千两问二人本银各几何
法借十五根【两分母相乗数】为乙本银数以乙三分之一与甲本银相加又加六十两共得一千两计之则甲本银应得九百四十两少五根取其五分之一则为一百八十八两少一根以甲本银五分之一一百八十八两少一根与乙本银十五根相加得一百八十八两多十四根与一千两相等一边一百八十八两一边一千两各减去一百八十八两则得十四根与八百一十二两相等十四根既与八百一十二两相等则一根必与五十八两相等前既借十五根为乙本银数乃以十五乗之得八百七十两即乙本银数取其三分之一得二百九十两与一千两相减又减六十两余六百五十两即甲本银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙二商不言本银若干但知各得利银九十两其甲之本利共银三倍于乙之本银乙之本利共银二倍于甲之本银问每人本银几何
法借三根为甲之本银数加利银九十两得三根多九十两为甲之本利共银数甲之本利共银既三倍于乙之本银则乙之本银数即为一根多三十两再加利银九十两得一根多一百二十两为乙之本利共银数亦为甲之本银之二倍也乃以甲之本银三根倍之得六根与乙之一根多一百二十两相等六根与一根各减去一根则余五根与一百二十两相等五根既与一百二十两相等则三根必与七十二两相等即甲之本银数加利银九十两得一百六十二两三归之得五十四两为乙之本银数以乙本银五十四两加利银九十两共一百四十四两为甲之本银之二倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲丙二人有银不言其数但知甲银加九两为丙银之三倍丙银加七两为甲银之二倍问二人各银若干
法借六根【三倍二倍相乗数】为甲银数加九两为六根多九两甲银加九两既为丙银之三倍则以三归之得二根多三两为丙银数加七两为二根多十两丙银加七两既为甲银之二倍则以二归之得一根多五两仍为甲银数先借六根与今所得一根多五两既同为甲银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲银数加九两得一十五两三归之得五两即丙银数加七两得一十二两即甲银六两之二倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲丙二人有银不言其数但知将丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍若将甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍问二人各银若干
法借六根【二倍三倍相乗数】为甲原银数加丙与甲二两得六根多二两以丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍计之则以六根多二两半之得三根多一两为丙余银数丙先以二两与甲则丙之原银必为三根多三两加甲与丙二两得三根多六两以甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍计之则以三根多六两三归之得一根多二两为甲余银数甲先以三两与丙则甲之原银必为一根多五两夫先借六根与今所得一根多五两既同为甲原银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲原银之数加丙与甲二两得八两半之得四两为丙余银之数丙余银既为四两则原银必为六两加甲与丙三两得九两三归之得三两即甲余银之数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙二人共银一千二百四十两于甲银内加乙银四分之一乙银内加甲银五分之一其数相等问二人原银各几何
法借二十根【两分母相乗数】为甲原银数则一千二百四十两少二十根为乙原银数甲原银五分之一为四根乙原银四分之一为三百一十两少五根将甲原银五分之一四根与乙原银一千二百四十两少二十根相加得一千二百四十两少十六根【原少二十根加入四根止少十六根】将乙原银四分之一三百一十两少五根与甲原银二十根相加得三百一十两多十五根【原二十根补乙少五根余十五根】此二数为相等少十六根与多十五根各加十六根则得一千二百四十两与三百一十两多三十一根相等再一千二百四十两与三百一十两各减三百一十两则余九百三十两与三十一根相等九百三十两既与三十一根相等则六百两必与二十根相等前既借二十根为甲原银数则此六百两即甲原银之数以六百两与一千二百四十两相减余六百四十两即乙原银之数若甲银内加乙原银四分之一一百六十两乙银内加甲原银五分之一一百二十两则俱为七百六十两也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲原有银五十两乙原有银八十两乙用过之银比甲用过之银爲三分之一甲所余之银比乙所余之银亦爲三分之一问二人用银及余银各若干
法借一根爲乙用过银数则甲用过之银爲三根而乙所余之银爲八十两少一根甲所余之银爲五十两少三根甲余银既比乙余银爲三分之一则以甲余银五十两少三根三因之爲一百五十两少九根是爲乙余银八十两少一根与甲余银一百五十两少九根相等少一根与少九根各加九根得八十两多八根与一百五十两相等再八十两与一百五十两各减八十两余八根与七十两相等八根既与七十两相等则一根必与八两七钱五分相等即乙用过银数三因之得二十六两二钱五分即甲用过银数以甲用过银数与甲原有银数相减余二十三两七钱五分爲甲所余银数三因之得七十一两二钱五分即乙所余银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙丙三人有银不言数但知甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等若以乙银五分之二与丙银相较则丙银多一百一十四两问三人各银几何
法借五根爲乙银数则丙银数爲二根多一百一十四两于乙银数五根内减去丙银数二根多一百一十四两余三根少一百一十四两爲乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等五因之得一十五根少五百七十两爲甲银数又于甲银数一十五根少五百七十两内减去乙银数五根余十根少五百七十两爲甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等四因之得四十根少二千二百八十两亦爲丙银数此四十根少二千二百八十两与二根多一百一十四两既同爲丙银数是爲相等乃于二根多一百一十四两与四十根少二千二百八十两各加二千二百八十两得二根多二千三百九十四两与四十根相等二根与四十根再各减二根则余三十八根与二千三百九十四两相等三十八根既与二千三百九十四两相等则一根必与六十三两相等而五根必与三百一十五两相等即乙银数丙银数既爲二根多一百一十四两乃以六十三两倍之得一百二十六两【即二根之数亦即乙五分之二之数】加一百一十四两共得二百四十两即丙银数甲银比乙银所多之数既爲丙银四分之一乃以丙银数四归之得六十两与乙银三百一十五两相加得三百七十五两即甲银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙丙三人有银但知甲银七十两乙银三十四两而丙银不知数如以丙银与甲银相减又以丙银与乙银相减其甲银之余则三倍于乙问丙银若干
法借一根爲丙银数则甲丙相减之余爲七十两少一根乙丙相减之余爲三十四两少一根甲之余银既三倍于乙则以乙丙相减之余三十四两少一根三因之得一百零二两少三根是爲七十两少一根与一百零二两少三根相等少一根与少三根各加三根得七十两多二根与一百零二两相等七十两与一百零二两各减七十两则余二根与三十二两相等二根既与三十二两相等则一根必与十六两相等即丙银数与甲银七十两相减余五十四两与乙银三十四两相减余十八两是甲余银爲乙余银之三倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙丙三人各有银不言数但知将乙银十两与甲则甲乙二人之银相等若将丙银十四两与乙则乙丙二人之银相等若将甲银十八两与丙则丙银比甲银爲五倍问三人各银若干
法借一根爲甲原银数则乙之原银必爲一根多二十两【以十两与甲则皆爲一根多十两其数相等】丙之原银必爲一根多四十八两【乙之原银既爲一根多二十两再加十四两俱爲一根多三十四两其数相等】又甲之原银既爲一根以十八两与丙计之则爲一根少十八两丙之原银既爲一根多四十八两今再加十八两则爲一根多六十六两此丙之一根多六十六两比甲之一根少十八两既爲五倍则以甲之一根少十八两五因之得五根少九十两而与丙之一根多六十六两爲相等少九十两与多六十六两各加九十两得五根与一根多一百五十六两相等五根与一根各减一根则余四根与一百五十六两相等四根既与一百五十六两相等则一根必与三十九两相等即甲原银之数甲原银既爲三十九两则乙原银必爲五十九两以十两与甲则皆得四十九两乙原银既爲五十九两则丙原银必爲八十七两以十四两与乙则皆得七十三两丙原银既爲八十七两甲原银既爲三十九两甲以十八两与丙则丙爲一百零五两而甲爲二十一两是丙银比甲银爲五倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙丙三人有银但知甲银二万五千两乙得甲丙共银二分之一丙得甲乙共银八分之一问乙丙二人各银几何
法借二根爲丙银数则甲乙共银数爲十六根乙银数爲十六根少二万五千两甲丙共银数爲二根多二万五千两半之又得乙银数爲一根多一万二千五百两十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两既同爲乙银数则爲相等十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两各加二万五千两得十六根与一根多三万七千五百两相等十六根与一根各减一根则余十五根与三万七千五百两相等十五根既与三万七千五百两相等则二根必与五千两相等即丙银数与甲银二万五千两相加得三万两半之得一万五千两即乙银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如一商贸易不言本银若干但知第一次所得利银比本银爲四分之一用去银二十两第二次所得利银比第二次本银爲五分之二用去银十四两第三次所得利银比第三次本银爲三分之一用去银十五两合计所余利银共八十两问原本银及每次所得利银各几何
法借十二根爲原本银数则第一次利银爲三根本利相加得十五根内减用去银二十两得十五根少二十两爲第二次本银数取其五分之二得六根少八两爲第二次利银数本利相加得二十一根少二十八两又减用去银十四两得二十一根少四十二两爲第三次本银数取其三分之一得七根少十四两爲第三次利银数以第三次本利相加得二十八根少五十六两又减用去银十五两则爲二十八根少七十一两而原借十二根与所余利银八十两遂爲十二根多八十两是爲二十八根少七十一两与十二根多八十两相等少七十一两与多八十两各加七十一两得二十八根与十二根多一百五十一两相等二十八根与十二根各减十二根得十六根与一百五十一两相等十六根既与一百五十一两相等则十二根必与一百一十三两二钱五分相等即原本银数四归之得二十八两三钱一分二厘五毫即第一次所得利银数本利相加减用去二十两得一百二十一两五钱六分二厘五毫即第二次本银数取其五分之二得四十八两六钱
一 二分五厘即第二次所得利银数本利
一 相加又减用去十四两得一百五十六两一钱八分七厘五毫即第三次本银数三归之得五十二两零六分二厘五毫即第三次所得利银数本利相加又减用去十五两得一百九十三两二钱五分即原本银与三次所余共利银相加之数盖原本银一百一十三两二钱五分又加所余共利银八十两即一百九十三两二钱五分两数相等也【此叠借互征法】
设如有人贸易四次第一次所得利银比原本银爲九分之一用去银比原本银爲十二分之一第二次所得利银比原本银爲六分之一用去银比原本银爲九分之四第三次所得利银比原本银爲四分之一用去银比原本银爲二分之一第四次所得利银比原本银爲三分之一用去银比原本银爲三分之二合四次利银已用尽仍用本银六百两问本利银各若干
法借三十六根爲本银数【借三十六者以九与十二与六皆系用三可以度尽之数独四与九不能度尽故借四九相乘之数则各分母皆可以度尽也】则第一次利银爲四根第二次利银爲六根第三次利银爲九根第四次利银爲十二根四数相加共得三十一根爲四次利银之共数第一次用去爲三根第二次用去爲十六根第三次用去爲十八根第四次用去爲二十四根四数相加共得六十一根爲四次用去银之共数以四次利银皆用尽仍用本银六百两计之则四次利银之共数三十一根仍如本银六百两乃与四次用去银之共数六十一根相等也三十一根与六十一根各减去三十一根则余三十根与六百两相等三十根既与六百两相等则一根必与二十两相等而三十六根必与七百二十两相等即本银数三十一根又与六百二十两相等即利银数六十一根又与一千二百二十两相等即用去银数也【此叠借互征法】
设如甲乙丙丁四人同出银作生理内甲丙丁三人所出银不言数但知乙出银五两若将甲所出银二分之一与乙又将乙所出银五分之一与丙又将丙所出银七分之一与丁又将丁所出银九分之一与甲则四人所出之银皆相等问四人各出银若干
法借二根爲甲出银数则甲将一根【二分之一】与乙乙将一两【五分之一】与丙是甲爲一根乙爲一根多四两今以甲与乙相较则数不相等盖因甲尚当得丁银九分之一也甲因未得丁银九分之一故比乙银少四两是四两即丁银之九分之一也九分之一既爲四两则三十六两即爲丁原银数丁既以四两与甲则丁所余止三十二两以丁三十二两与乙一根多四两相较其数又不相等盖因丁尚当得丙银七分之一也丁因未得丙银七分之一故比乙银差一根少二十八两【于乙一根多四两内减去三十二两即余一根少二十八两也】是一根少二十八两即丙银之七分之一也七分之一既爲一根少二十八两则七根少一百九十六两即爲丙原银数丙既以一根少二十八两与丁则丙所余爲六根少一百六十八两再加乙所与之一两则丙得六根少一百六十七两矣夫四人既按分各与之则乙爲一根多四两甲余一根又得丁四两亦爲一根多四两丁余三十二两又得丙一根少二十八两亦爲一根多四两其数皆相等则丙之六根少一百六十七两亦必与一根多四两爲相等矣少一百六十七两与多四两各加一百六十七两得六根与一根多一百七十一两相等六根与一根各减一根则余五根与一百七十一两相等五根既与一百七十一两相等则一根必与三十四两二钱相等而二根必与六十八两四钱相等即甲所出银数又七根必与二百三十九两四钱相等内减去一百九十六两【丙原爲七根少一百九十六两】余四十三两四钱爲丙所出银数乃于丁所出银内减九分之一【余三十二两】加丙银之七分之一【六两二钱】得三十八两二钱于丙所出银内减七分之一【余三十七两二钱】加乙银之五分之一【一两】亦得银三十八两二钱于乙所出银内减五分之一【余四两】加甲银之二分之一【三十四两二钱】亦得银三十八两二钱于甲所出银内减二分之一【余三十四两二钱】加丁银之九分之一【四两】亦得银三十八两二钱也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如甲乙丙丁戊五人各出银不言数但知甲乙共银二百四十两丙银爲甲银三分之一丁银爲乙银四分之一戊银七十二两与丙丁共数相等问五人各银若干
法借十二根爲甲银数则乙银爲二百四十两少十二根丙银爲四根丁银爲六十两少三根以丙丁二数相加得六十两多一根而与戊银七十二两相等七十二两与六十两各减六十两得十二两与一根相等十二两既与一根相等则十二根必与一百四十四两相等即甲银数甲乙共银二百四十两内减甲银数余九十六两即乙银数将甲银数三归之得四十八两即丙银数将乙银数四归之得二十四两即丁银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙共得二百两丙丁共得二百两戊己共得二百两丙所得银比甲所得银爲四分之一戊所得银比丁所得银爲三分之一乙所得银比己所得银爲二分之一问六人各分银几何
法借十二根爲甲所得银数则乙所得银爲二百两少十二根丙所得银爲三根丁所得银爲二百两少三根戊所得银爲六十六两又三分两之二少一根【戊比丁爲三分之一以三除丁数即是】己所得银爲四百两少二十四根【乙比己爲二分之一以二乗乙数即是】以戊己两数相加得四百六十六两又三分两之二少二十五根是爲二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根相等二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根各加二十五根得二百两多二十五根与四百六十六两又三分两之二相等二百两与四百六十六两又三分两之二各减二百两则余二十五根与二百六十六两又三分两之二相等二十五根既与二百六十六两又三分两之二相等则一根必与十两又三分两之二相等三根必与三十二两相等即丙所得银数四因之得一百二十八两爲甲所得银数甲乙共得二百两内减甲所得银数余七十二两爲乙所得银数丙丁共得二百两内减丙所得银数余一百六十八两爲丁所得银数乙所得银七十二两二因之得一百四十四两爲己所得银数丁所得银一百六十八两三归之得五十六两爲戊所得银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如有驼一羣七十二个马一羣不知数牛一羣与驼马相并之数等羊一羣与驼马相乗之数等又爲牛数之六十倍问马牛羊各几何
法借一根爲马数则一根多七十二爲牛数以驼数七十二与马数一根相乗得七十二根爲羊数再以牛数一根多七十二与六十相乗得六十根多四千三百二十亦爲羊数此两数既同爲羊数则爲相等七十二根与六十根各减六十根则余十二根与四千三百二十相等十二根既与四千三百二十相等则一根必与三百六十相等即马一羣之数与驼数相加得四百三十二即牛一羣之数再与六十相乗得二万五千九百二十即羊一羣之数以驼七十二与马三百六十相乘亦得二万五千九百二十爲相等也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如有大小二石不知重数有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条之端离提系五分而以小石作砣称之离提系六分始平又将小石挂于铜条之端离提系五分而以大石作砣称之离提系四分始平问二石各重若干
法先以五分加一倍与十二分相减余二分折半得一分与五分相加爲六分乃以五分爲一率六分爲二率余二分之重二两爲三率求得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也今大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五分而大石多二两四钱则小石爲大石六分之五而少二两也【铜条五分之端应加二两四钱而平今大石在五分之一头是大石多二两四钱也将二两四钱以大石之六分除之每分得四钱是大石比小石每分多四钱以小石五分计之则大石比小石多二两故小石爲大石之六分之五而少二两也】又小石离提系五分大石离提系四分而平是小石重四分大石重五分而小石多二两四钱则小石爲大石五分之四而多二两四钱也【铜条五分之端应加二两四钱而平今小石在五分之一头是小石多二两四钱也将二两四钱以小石之四分除之每分得六钱是小石比大石每分多六钱以小石四分计之则小石比大石多二两四钱故小石爲大石之五分之四而多二两四钱也】乃借三十根【六分五分相乗之数】爲大石之重数以小石爲大石六分之五而少二两计之则小石之重爲二十五根少二两以小石爲大石五分之四而多二两四钱计之则小石之重又爲二十四根多二两四钱此两数爲相等两边各加二两得二十五根与二十四根多四两四钱相等两边再各减去二十四根余一根与四两四钱相等一根既与四两四钱相等则三十根必与一百三十二两相等即大石之重数六归之得二十二两五因之得一百一十两减去二两得一百零八两即小石之重数或以大石之重数五归之得二十六两四钱四因之得一百零五两六钱加二两四钱亦得一百零八两爲小石之重数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如有银买马牛二色马四匹牛八头共价五十六两又马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价若干
法借一根爲牛一头之价则前牛八头之共价爲八根前马四匹之共价爲五十六两少八根而后牛五头之共价爲五根乃以前马四匹爲一率共价五十六两少八根爲二率后马三匹爲三率求得四率四十二两少六根爲后马三匹之共价内加后牛五头之共价五根得四十二两少一根爲后马三匹牛五头之共价与后共价三十八两相等四十二两少一根与三十八两各加一根得四十二两与三十八两多一根相等四十二两与三十八两多一根再各减去三十八两则余四两与一根相等即牛一头之价八因之得三十二两爲前牛八头之共价于前共价五十六两内减之余二十四两爲前马四匹之共价四归之得六两爲马一匹之价又以后马三匹因之得十八两爲后马三匹之共价于后共价三十八两内减之余二十两爲后牛五头之共价五归之亦得四两爲牛一头之价也【此二色和数方程法】
设如有钱买桃梨二色桃四个比梨八个少钱十二文桃九个比梨六个多钱二十一文问桃梨多价若干
法借一根爲桃一个之价则前桃四个之共价爲四根前梨八个之共价爲十二文多四根而后桃九个之共价爲九根乃以前梨八个爲一率共价十二文多四根爲二率后梨六个爲三率求得四率九文多三根爲后梨六个之共价加后桃比梨多钱二十一文得三十文多三根与后桃九个之共价九根相等【九桃比六梨多二十一文故以二十一文与六梨之价相加即与九桃之价等也】三十文多三根与九根各减去三根则余三十文与六根相等三十文既与六根相等则五文必与一根相等即桃一个之价四因之得二十文爲前桃四个之共价加入桃比梨少钱十二文得三十二文爲前梨八个之共价八归之得四文爲梨一个之价又以后梨六个因之得二十四文爲后梨六个之共价加入桃比梨多钱二十一文得四十五文爲后桃九个之共价九归之亦得五文爲桃一个之价也【此二色较数方程法】
设如有银买缎纱防三色初次买缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两二次买缎一疋纱四疋防七疋共价六十两三次买缎三疋纱五疋防九疋共价九十两问缎纱防每疋各价若干
法借一根爲防每疋之价则初次防之共价爲八根二次防之共价爲七根三次防之共价爲九根而初次缎之共价爲八十四两少八根仍少纱六疋乃以初次缎二疋爲一率缎价八十四两少八根仍少纱六疋爲二率二次缎一疋爲三率求得四率四十二两少四根仍少纱三疋爲二次缎价加入二次防价七根纱四疋得四十二两多三根仍多纱一疋爲二次缎一疋纱四疋防七疋之共价与二次共价六十两相等四十二两多三根多纱一疋与六十两各减去四十二两余三根多纱一疋与十八两相等三根多纱一疋与十八两再各减去三根余纱一疋与十八两少三根相等即纱一疋之价爲十八两少三根也又以二次缎一疋爲一率缎价四十二两少四根仍少纱三疋爲二率三次缎三疋爲三率求得四率一百二十六两少十二根仍少纱九疋爲三次缎价加入三次防价九根纱五疋得一百二十六两少三根仍少纱四疋爲三次缎三疋纱五疋防九疋之共价与三次共价九十两相等一百二十六两少三根少纱四疋与九十两各加纱四疋得一百二十六两少三根与九十两多纱四疋相等一百二十六两少三根与九十两多纱四疋再各减去九十两余三十六两少三根与纱四疋相等即纱四疋之价爲三十六两少三根也前所得纱一疋之价爲十八两少三根今又得纱四疋之价爲三十六两少三根此二分虽同而疋数不一故又以纱一疋爲一率前所得之纱一疋之价十八两少三根爲二率今纱四疋爲三率求得四率七十二两少十二根爲纱四疋之价乃与后所得纱四疋之价三十六两少三根相等三十六两少三根与七十二两少十二根各加十二根得三十六两多九根与七十二两相等三十六两多九根与七十二两再各减去三十六两余九根与三十六两相等九根既与三十六两相等则一根必与四两相等即防一疋之价也纱一疋之价既爲十八两少三根则于十八两内减去三根之共数十二两余六两即纱一疋之价初次纱六疋以纱价六两乘之得三十六两初次防八疋以防价四两乘之得三十二两两数相加得六十八两与初次共银八十四两相减余十六两爲缎二疋之价二归之得八两即缎一疋之价也其二次缎之共价爲八两纱之共价爲二十四两防之共价爲二十八两相加共得六十两三次缎之共价爲二十四两纱之共价爲三十两防之共价爲三十六两相加共得九十两皆合原数也【此三色和数方程法】
设如甲乙丙三人各有银买铜铁锡三色甲买铜二斤铁二斤锡一斤共银九钱乙买铜三斤比铁六斤锡二斤之价多二钱丙买铜二斤铁四斤与锡四斤之价相等问铜铁锡每斤各价若干
法借一根爲锡每斤之价则甲锡之价即爲一根乙锡之价爲二根丙锡之价爲四根而甲铜之共价爲九钱少一根仍少铁二斤乃以甲铜二斤爲一率铜价九钱少一根仍少铁二斤爲二率乙铜三斤爲三率求得四率一两三钱五分少一根半仍少铁三斤爲乙铜三斤之价内减比锡二斤铁六斤所多之二钱余一两一钱五分少一根半仍少铁三斤与乙锡二斤之共价二根多铁六斤相等一两一钱五分少一根半少铁三斤与二根多铁六斤各加铁三斤得一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤相等一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤再各减去二根余一两一钱五分少三根半与铁九斤相等即铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半也又以甲铜二斤之共价九钱少一根仍少铁二斤即爲丙铜二斤之共价【丙铜与甲铜俱爲二斤故其共价相等省一四率也】加铁四斤得九钱少一根多铁二斤与丙锡四斤之共价四根相等九钱少一根多铁二斤与四根各加一根得九钱多铁二斤与五根相等九钱多铁二斤与五根再各减去九钱余铁二斤与五根少九钱相等即铁二斤之价爲五根少九钱也前所得铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半今又得铁二斤之价爲五根少九钱此二分虽同而斤数不一故又以铁二斤爲一率今所得之铁二斤之价五根少九钱爲二率前所得之铁九斤爲三率求得四率二十二根半少四两零五分爲铁九斤之价乃与前所得铁九斤之价一两一钱五分少三根半相等二十二根半少四两零五分与一两一钱五分少三根半各加四两零五分得二十二根半与五两二钱少三根半相等二十二根半与五两二钱少三根半再各加三根半得二十六根与五两二钱相等二十六根既与五两二钱相等则一根必与二钱相等即锡每斤之价也铁二斤之价既爲五根少九钱则以五根之共数一两内减去九钱余一
钱爲铁二斤之共价半之得五分即铁
每斤之价于甲共银九钱内减去铁二
斤之价一钱又减去锡一斤之价二钱
余六钱爲铜二斤之共价半之得三钱
爲铜每斤之价也其乙铜三斤之共价
爲九钱乙铁六斤之共价爲三钱乙锡
二斤之共价爲四钱是铜三斤比锡二
斤铁六斤之价多二钱也丙铜二斤之
共价爲六钱丙铁四斤之共价爲二钱
丙锡四斤之共价爲八钱是铜二斤铁
四斤与锡四斤之价等也【此三色和较兼用方程法】
御制数理精蕴下编卷三十四
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十五
末部五