御制数理精蕴 - 第 42 页/共 595 页

例以定率之　　　　　　　　　　　　　【外】圆球径一○○○○○ 　　○○○为一　　　　　　　　　　　　　【切】率圆球外切八面体之一边一二二四七四四八七为二率今 　　所　　　　　　　　　【八】设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺四寸六分九厘六豪九丝 　　三忽八防　　　　　　　　　　　　【面】有余即圆球外切八面 　　体之一　　　　　　　　　　　【体】边也又用求球外各形之体 　　积之定率比　　　　　　　　　　　　　【之】例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○ 　　【积】○○○为一率圆球外切八面体积 　　八六六○二五四○三　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六厘有余即圆 　　又用圆　　　　　　　　　　　【○】球积之定率比例以定率之 　　【○】圆球积一○○○○○○○○○为 　　一率圆球外切八面体积一六五三九 　　八六六八六为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】之圆球 　　径一尺二寸　　　　　　　　　　　　　【○】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七厘有余即圆球外切八面 　　体之积　　　　　　【○】也设如圆球径一尺二寸求外切十二面体之每一边 　　及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六 　　一八○三三九九为二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】今所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝零【为】三防有余为圆球外切十二面体每一面中心至边之垂线又以全分一○○一率倍小分七六三九三二○二为二 　　率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　【球】球半径六寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二防有余为每一面中心至角之分角线乃以每一面之分角线为每一面中心至边之垂线为股求得勾二寸六分九厘四豪一丝六忽八防有余倍之得五寸三分八厘八豪三丝三忽六 　　防有余即　　　　　　　　　　　　【外】圆球外切十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边与每一面中心至边之垂线相乘得数折半五因之得四十九寸九十五分二十六 　　厘零九豪有余　　　　　　　　　　　　　　【切】为圆球外切十二面 　　体之每一面之　　　　　　　　　　　　　　【十】积与圆球半径六寸相乘三归之得九十九寸九百零五分二百一十八厘有余为每一五角尖体积十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六厘有余即圆 　　二面体之总积也盖圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】球外切十二 　　面体其　　　　　　　　　　　【分】圆球之外面皆切于各面之中心圆球之半径即外切十二面体中 　　心至每一面中心之立垂线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【角】以圆球半径为理分中末线之全分则外切十二面体之每一面中心至边【即五等边形内容圜半径】之垂线为大分每一面中心至角之【即五等边形外切圆半径】分角线为倍小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面体按其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与子癸皆十二面体之每一边辛壬壬癸子丑丑丙皆为十二面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为十二面体中心至每边正中之垂线寅辰为十二面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角线今以寅辰为全分则辰丑为大分辰丙为倍小分何以知之寅卯既为十二面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为小分【盖十二面体中心至每边正中之垂线为全分则其每一面两角相对斜线之一半为大分而毎边之半即为小分见球内容十二面体法】试依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形则丑巳与已卯亦皆为全分巳卯既为全分而丙卯又为小分则巳丙即为大分丑已丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形【寅辰丑勾股形之丑角与寅角并之共九十度而寅长丑勾股形之丑角与丑已丙勾股形之丑角并之亦共九十度故此二勾股形之已丑丙角与丑寅辰角为相等辰角与巳角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】丑已丙勾股形之丑巳股为全分则己丙勾为大分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾亦即为大分故以寅辰圆球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与大分之比也又凡五等边形自心至边之垂线为大分则自心至角之分角线即为倍小分如丙午未申酉五等边形其辰丑垂线为大分则辰申分角线为倍小分何以知之盖丙未两角相对斜线为全分则未甲一边为大分而酉未与丙申两两角相对斜线相交所截戌申一段即为小分成连比例三率故丙戌与戌未亦皆为大分与未申等试自戌至亥作戌亥垂线平分丙未两角相对斜线于亥则成丙亥戌勾股形与辰丑申勾股形为同式形【辰丑申勾股形之辰角当丑申半边所对之弧为未申边所对之弧之一半故辰丑申勾股形之辰角与丙戌亥勾股形之丙角等丑角与亥角又同为直角其余一角亦必等故为同式形】夫丙未为全分则丙戌为大分丙未为大分则丙戌为小分若以丙未之半丙亥为大分则丙戌即为倍小分故以辰丑垂线为大分则辰 　　申分角线亦即为倍小分今圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【定】球半径与每面中心至边之垂线之比既同于全分与大分之比则圆球半径与每面分角线之比亦即同于全分与倍小分之比也既得辰丑垂线又得辰申分角线则用股求勾法求得丑申勾倍 　　之得未申即　　　　　　　　　　　　　【率】圆球外切十二面体之每一边既得每一边又得每面中心至边之垂线则以辰丑每面中心至边之垂线与未申一边相乘折半五因之得 　　丙午未申酉五等边形面积与寅　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【比】辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未申酉一五角尖体积十二因之即得丙丁戊己庚十二面体之总积也如有十二 　　面体之一边求　　　　　　　　　　　　　　【例】内容圆球径则求得十二面体中心至每面中心之立垂线即内容圆球 　　之半径也又用求球外各形之一边之 　　以定率之圆　　　　　　　　　　　　　【面】球径一○○○○○○ 　　○○为一率　　　　　　　　　　　　　【体】圆球外切十二面体之每一边四四九○二七九七为二率今 　　所设　　　　　　　　　　【积】之圆球径一尺二寸为三率求得四率五寸三分八厘八豪三丝三忽 　　五防有　　　　　　　　　　　【一】余即圆球外切十二面体 　　之一边　　　　　　　　　　　【三】也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○ 　　【二】○为一率圆球外切十二面体积六 　　九三七八六三六七为二　　　　　　　　　　　　　　　　　　【五】率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百【○】四十厘有余即圆球外 　　切十二　　　　　　　　　　　【三】面礼之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切十二 　　四三五八为二率今所设之圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【豪】球径 　　一尺二寸求得　　　　　　　　　　　　　　【零】圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺一百九十八寸八 　　百六十二分八百四十二厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【一】即圆球外切十二面体 　　之积也　　　　　　【忽】设如圆球径一尺二寸求外切二十面体之每一边及 　　体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八 　　一九六六○一为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率二寸二分九厘一豪七丝九忽 　　六　　　　　　　　　【防】防有余为圆球外切二十面体每一面中心至边之垂线三因之得六寸八分七厘五豪三丝八忽八防有余为每一面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方得七寸九分三厘九 　　有余即圆　　　　　　　　　　　　【庚】球外切二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积二十 　　七寸二十九分一十九厘有余与　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】圆球半径六寸相乘三归之得五十四寸五百八十三分八百厘有余为一三角尖体积二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有余即圆球外切二十面 　　体之总积也　　　　　　　　　　　　　【十】盖圆球外切二十面【面】 　　体其圆球之外面皆切于各面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】之中心圆球之半径即外切二十面体中心 　　至每一面中心之　　　　　　　　　　　　　　　【按】立垂线以圆球半径为理分中末线之全分则外切二十面体之每一面中【即三等边形内容圜半径】心至边之垂线为小分每一面中心【即三等边形外切圜半径】至角之分角线为倍小分其每一面自一角至对边之中垂线为三小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与癸子皆二十面体之每一边丑丙辛壬壬癸子丑皆为二十面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为二十面体中心至每边正中之垂线寅辰为二十面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角之分角线今以寅辰为全分则辰丑为小分辰丙为倍小分丙丑即为三小分也何以知之寅卯既为二十面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为大分【盖二十面体中心至毎边正中之垂线为全分则每边之半为大分见球内容二十面体法】试依寅卯全分度作已卯寅丑正方形则丑巳与已卯亦皆为全分已卯既为全分而丙卯又为大分则已丙即为小分丑巳丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形丑已丙勾股形之丑巳股为全分则巳丙勾为小分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾为小 　　分故以寅辰圆　　　　　　　　　　　　　　【得】球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与小分之比也既得辰丑每面中心至边之垂线则以三因之即得丙丑每面自一角至对边之中垂线而每面自一角至对边之中垂线自乘方为每边自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方即得午未为【丙】圆球外切二十面体之每一边既得午未一边与丙丑每面自一角至对边之中垂线相乘折半得丙午未一三角形面积与寅辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未一三角尖体积二十因之即丁戊己庚二十面体之总积也如有二 　　十面体之每一边求内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【四】球径则求得二十面体中心至每面中心之立 　　垂线即内容　　　　　　　　　　　　　【率】圆球之半 　　径也又　　　　　　　　　　　【一】用求球外各形之一边之定 　　率比例以定　　　　　　　　　　　　　【尺】率之圆球径○○○ 　　○○○○○　　　　　　　　　　　　　【九】为一率圆球外切二十面体之每一边六六一五八四五三为 　　二率　　　　　　　　　　【十】今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率七寸九分三厘九豪零 　　一忽　　　　　　　　　　【一】四防有余即圆球外切二 　　十面体　　　　　　　　　　　【寸】之一边也又用求球外各形 　　之体积之定　　　　　　　　　　　　　【六】率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○ 　　【百】○○○○○为一率圆球外切二十 　　面体积六三一七五六九　　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】九九为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得 　　十六分零九十四厘有余即圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【下】球外切二十面体之积 　　也又用圆球积之定率比例以定率之 　　【编】圆球积一○○○○○○○○○为 　　一　　　　　　　　　　　【卷】率圆球外切二十面体积一二○ 　　六五六六九九一为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】设之 　　圆球径一尺二　　　　　　　　　　　　　　　　【十】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺零九十一 　　寸六百七十六分零九十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】厘有余即圆球外切二 　　十面体之积也御制数理精蕴 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷二十九 　　体部七 　　各等面体互容 　　更体形 　　各等面体互容 　　设如正方体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何 　　法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余即正方体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容丁甲戊己四面体以四面体之六棱切于正方体之六面则四面体之每一边即为正方体之每一面之对角斜线故用方边求斜之法以一边自乗倍之开平方即得内容四面体之每一边也如有四面体之一边求外切正方体之一边则用斜求方边法以四面体之一边自乗折半开平方即得外切正方体之每一边也 　　设如正方体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何 　　法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一微有余即正方体内容八面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于正方体之六面则正方体之每一边即与内容八面体之对角斜线等【甲乙与戊庚等】故用斜求方边之法以一边自乗折半开平方即得内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切正方体之一边则用方边求斜法以八面体之一边自乗加倍开平方即得外切正方体之每一边也 　　设如正方体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何 　　法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二微有余即正方体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸十二面体以十二面体之六棱切于正方体之六面则方正体之每边与十二面体之两边相对之线等【即十二面体中心至每边正中之斜线之倍】而正方体之每边之半即为十二面体中心至每边正中之斜线试将十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之子丑等线亦为戊己两角相对斜线之一半而为十等边形之一边其子寅外切圜之半径为中心至每边正中之斜线即正方体每边之一半子寅即如理分中末线之全分子丑即如理分中末线之大分而戊子每边之半即如理分中末线之小分【见球内容十二面体法】故全分与小分之比同于今所设之正方体每边之半与内容十二面体每边之半之比即同于今所设之正方体之一边与内容十二面体之一边之比也如有十二面体之一边求外切正方体之一边则以十二面体之一边为理分中末线之小分比例得全分即外切正方体之每一边也 　　设如正方体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何 　　法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率七寸四分一厘六豪四丝零七微有余即正方体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之六棱切于正方体之六面则正方体之每边与二十面体之两边相对之线等即二十面体戊庚两角相对之斜线试自二十面体之戊庚二角类对角平截之则所截之面成戊己庚子丑五等边之面形戊庚两角相对斜线即如理分中末线之全分庚子【与己庚等】一边即如理分中末线之大分【见球内容二十面体法】故全分与大分之比即同于今所设之正方体之毎一边与内容二十面体之每一边之比也如有二十面体之一边求外切正方体之一边则以二十面体之一边为理分中末线之大分比例得全分即外切正方体之每一边也 　　设如四面体毎边一尺二寸求内容正方体之每一边几何