御制数理精蕴 - 第 39 页/共 595 页

半径六寸七　　　　　　　　　　　　　【一】分六厘内减去截球体 　　之髙二寸余　　　　　　　　　　　　　【寸】四寸七分六厘与截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘有余为自圎球中心至截球体底径所分平面尖圎体积与球面尖四百一十七分五百一十二厘有余相 　　减余七十　　　　　　　　　　　　【丑】六寸五百七十一分八【寅】十八厘有余即截球体一段之积也如 　　圗甲乙　　　　　　　　　　　【邜】丙截球体一段其乙丙底径即如弧矢形之长其甲丁髙即如弧 　　矢形之矢濶故甲丁为首率乙丙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【平】底 　　径折半　　　　　　　　　　　【圎】得乙丁为中率求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【面积】丁【之四倍若甲辛壬半球体】戊末率为截球径与甲丁 　　【其见】髙相加得甲戊为圎球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【各】全径折 　　半得甲巳为圎球　　　　　　　　　　　　　　　【面】半径又以甲丁为 　　勾乙丁为股　　　　　　　　　　　　　【形】求得甲乙乃以甲乙 　　为半径求　　　　　　　　　　　　　【】得　　　　　　　　　　　　　　　【矢】庚乙丙平圎面积 　　即与甲乙丙截球　　　　　　　　　　　　　　　【求】体一段之外面积 　　等葢圎　　　　　　　　　　　【圎】面半径与球体半径等者其 　　圎面积为　　　　　　　　　　　　【径】球体外面积之四分之一 　　【法】而圎面半径【见防何原本十卷第八节】与球体全 　　径等者其圎面积与球体外面积等故甲辛戊壬圎球体其外面积为同径子外面积必为子丑寅邜平圎面积之二倍然则甲己半径求得平圎面积又辛己半径亦求得平圎面积两面积相并 　　必与甲辛壬半　　　　　　　　　　　　　　【体】球体之外面积等矣 　　今甲乙丙　　　　　　　　　　　　【底】截球体一段若以甲丁为半径求得平圎面积又以乙丁为半径求得平圎面积两面积相并亦必与甲乙丙截球体一段之外面积等而甲乙自乗之正方与甲丁勾自乗之正方乙丁股自乗之正方相并之积等则甲乙为半径所得之圎面积亦必与甲丁勾为半径所得之圎面积乙丁股为半径所得之圎面积相并之积等故以甲乙为半径所得之庚乙丙平圎面 　　积即与甲乙　　　　　　　　　　　　　【径】丙截球体一段之外面 　　积相等也　　　　　　　　　　　　【求】既得截球体一段之外面积与甲巳圎球半径相乗三归之得己丙甲乙球面尖圎体积又以乙丙截球得乙丙底面积与丁巳截半径相乗三归之得己丙丁乙平面尖圎体积与己丙甲乙球面尖圎体积相减所余即甲 　　乙丙截　　　　　　　　　　　【减】球体一段之积 　　也又法先求得　　　　　　　　　　　　　　【去】圎球径一尺三寸五分二厘用径求周法求得圎周四尺二 　　寸四分七厘四豪三丝三忽有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【截】与截球体一段之髙二寸相乗得八十四 　　寸九十四分八十六厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】即为截 　　球一段之外　　　　　　　　　　　　　【体】面积与圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘三归之得一百九十一寸四百一十七分五百一十 　　二厘　　　　　　　　　　【之】有余为自　　　　　　　　　　　　　　　【髙】圎球中心所分球 　　面　　　　　　　　　【二】尖圎体积又以截球体底径九寸 　　六分用求　　　　　　　　　　　　【寸】平圎面积法求得截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余于圎球半径六寸七分六厘内 　　余四寸七分六厘与截　　　　　　　　　　　　　　　　　【则】球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘 　　有余为自　　　　　　　　　　　　【与】圎球中心　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】至截球径所 　　分平面尖圎　　　　　　　　　　　　　【巳】体积与球面尖圎体积一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余相减余七十六寸五百七 　　十一分八十八厘　　　　　　　　　　　　　　　【半】有余即截球体一 　　段之积也如　　　　　　　　　　　　　【径】圗甲乙丙截球体一段先求得甲戊全径与庚辛等又求得壬庚癸辛全周与甲丁髙相乗得庚子丑 　　辛截长圎体一段之外面　　　　　　　　　　　　　　　　　　【相】积与甲乙 　　丙截球体一　　　　　　　　　　　　　【乗】段之外面积等葢球体全径与长圎体底径髙度相等者其相当每【见防何原本十卷第十一节】段之外面积皆相等既得甲乙丙截球体一段之外面积 　　三归之而得己丙甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　【厘】球面尖圎体 　　积又以乙丙　　　　　　　　　　　　　【相】截球体底面积与丁己截半径相乗三归之而得己丙丁乙平 　　面尖圎体积与己丙　　　　　　　　　　　　　　　　【减】甲乙球面尖圎 　　体积相减余即得甲　　　　　　　　　　　　　　　　【余】乙丙截球体一 　　段之积也设　　　　　　　　【三】如空心圎球积二千寸厚三寸问内外 　　径数各防何法用球径方邉相等球积 　　方积不同之　　　　　　　　　　　　　【尺】定率比例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九 　　○九八五九三一七为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】所设之空心圎球积二千寸为三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四百零三寸七百一十八分六百三十四厘有余六归之得六百寸六百一十九分七百七十二厘有余用厚三寸除之得三尺零二十分六十五厘九十豪为内径与外径相乗长方面积乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九 　　丝七忽有余即空心圎　　　　　　　　　　　　　　　　　【心】球外径也此 　　法盖以空心　　　　　　　　　　　　　【正】圎球体与空心正方体 　　为比例即　　　　　　　　　　　　【方】如用球积与方积定率为 　　比例也如圗甲乙丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】空心圎球体其甲丙外径与壬癸外方邉等其戊庚内径与寅邜内方邉等是以 　　甲　　　　　　　　　【之】乙丙丁大球体与壬癸子丑大正方体为比戊己庚辛小球体与寅邜辰已小正方体为比而空心圎球体与空 　　比即如　　　　　　　　　　　【十】球体积与方体积之比也既得空心正方体积则用算空心正方体法以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未申类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面酉戌坎未类六长方扁体六归之得酉戌坎未一长方扁体用厚三寸除之得酉戌亥干一长方面积其酉戌濶与戊庚等即内径其酉干长与壬丑等即外径其酉寅巳干皆与壬酉厚度等酉寅巳干并之即长濶之较故以厚三寸倍之为带縦求得濶为内径长为外径 　　也又法用定率比例求得空心正方体积以厚三寸倍之得六寸为内方邉与外方邉之较自乗再乗得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余相减余三尺六百零三寸七百一八分六百三十四厘有余三归之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四厘有余以内外方邉之较六寸除之得二尺零二十分六十五厘九十豪有余为长方面积以内外方邉之较六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得阔一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余 　　即空心圎　　　　　　　　　　　　【度】球外径也如圗甲乙丙丁 　　戊己庚辛空心　　　　　　　　　　　　　　【自】圎球体用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方体将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅则空心正方体变为壬寅己辰子申未午罄折体形其壬寅即罄折体之厚为甲丙外径与戊庚内径之较依开立方法分之得酉戌亥三方亷体干坎艮三长亷体震一小隅体以壬寅厚乗再乗得震一小隅体与空心正方体积相减余三方亷体三长亷体三归之则余酉一方亷体干一长亷体共成巽壬癸辰坤离一扁方体其巽壬厚与壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤离扁方体则得壬癸辰坤长方面壬寅即长濶之较故用带縦较数开平方法算之得邜辰濶与寅癸等即空心圎球之内径以壬寅与寅癸相加得壬癸与甲丙等 　　即空心圎　　　　　　　　　　　　【十】球之外径 　　也设如圎窖一座周二十四尺髙十尺问盛米防何法以周二十四尺用圎周求面积法求得圎面积四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余与髙一丈相乗得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为圎窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圎窖体积四百五十八尺三百六六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米数也此法与求长圎体积之法同如甲乙丙丁长圎窖以甲戊丁巳圎周求得平圎面积用甲乙髙乗之即得甲乙丙丁长圎体积既得体积则以一石积数二千五百寸与一石之比同于今所得之体积与今所求之米数之比也 　　设如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各防何 　　法以米一石为一率一石积数定率二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圎窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圎窖之面积乃用圎积方积之定率比例以圎积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之圎窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十豪有余开平方得七尺一寸三分六厘四豪九丝有余即圎窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九豪四丝有余即圎窖之周数也 　　设如积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何法以底周十四尺用圎周求面积法求得圎面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二豪有余为尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之尖圎堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一抄有余即所堆之米数也此法与尖圎体求积之法同既得尖圎堆之积而以一石之积数定率为比例即得米数也 　　设如倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数防何法以底周六尺为半周倍之得一十二尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖圎堆之底面积以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁尖圎堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七抄有余即倚壁所堆之米数也葢倚壁尖圎堆即尖圎体之一半故求得平圎面积折半与髙数相乗又以三归之得倚壁尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也 　　设如倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数防何 　　法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁内角尖圎堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也盖倚壁内角尖圎堆即尖圎体之四分之一故求得平圎面积四归之与髙数相乗又以三归之得倚壁内角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也 　　设如倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数防何 　　法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二豪有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八厘四十四豪有余为倚壁外角尖圎堆之底面积以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余即倚壁外角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁外角尖圎堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有余即倚壁外角所堆之米数也盖倚壁外角尖圎堆即尖圎体四分之三故求得平圎面积四归三因与髙数相乗又以三归之得倚壁外角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也 　　御制数理精蕴下编卷二十六 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷二十七 　　体部五 　　各等面体 　　各等面体 　　设如四面体每边一尺二寸求积几何 　　法以每边一尺二寸为每边折半得六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半得六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余为每一面之面积又以毎边一尺二寸为每一面之中垂线取其三分之二得六寸九分二厘八豪二丝零二防有余为勾求得股九寸七分九厘七豪九丝五忽九微有余为四面体自尖至底中心之立垂线或以毎一面之中垂线一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线取其三分之一得三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾亦得股九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底之中之立垂线以此立垂线与每一面之面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也如圗甲乙丙丁四面体其棱六角四平铺之则面亦四各成一等边三角形试以乙丙丁之一面为底以乙丙一边为丁丙一边折半得戊丙为勾求得乙戊股与甲戊等即每一面之中垂线与丁丙一边相乗折半得乙丙丁底面积又以甲丙一边为己丙中垂线之三分之二为勾求得甲己股为自尖至底中心之立垂线或以甲戊每一面之中垂线为己戊中垂线之三分之一为勾亦得甲己股为自尖至底中心之立垂线乃以甲己立垂线与乙丙丁底面积相乗三归之即得甲乙丙丁四面体之积也又求自尖至底中心之立垂线防法以毎边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即自尖至底中心之立垂线也此法葢因甲丙为戊丙为勾求得甲戊股则甲戊自乗方为甲丙自乗方之四分之三【见等边三角形求中垂线法】又甲戊为己戊为勾求得甲己股则甲己自乗方为甲戊自乗方之九分之八【己戊为甲戊三分之一则甲戊自乗方为九分己戊自乗方为一分甲己自乗方为八分】甲戊自乗方既为甲丙自乗方四分之三今命甲戊自乗方为甲丙自乗方十二分之九而甲己自乗方又为甲戊自乗方九分之八则甲己自乗方必为甲丙自乗方十二分之八即三分之二故以一边自乗三归二因得甲己自乗方积而开方得甲己为立垂线之髙数也 　　又用知一边求髙数之定率比例求自尖至底中心之立垂线以定率之四面体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之立垂线八一六四九六五八为二率今所设之四面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即四面体自尖至底中心之立垂线也 　　又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余即四面体之积也葢四面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而四面体之每一边一○○○所得之四面体积为一一七八五一一二九故以子丑寅卯四面体之每边一尺自乗再乗之辰巳午未正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余之比也 　　又用体积相等边线不同之定率比例以定率之四面体之每边二○三九六四八九○为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之四面体之毎边一尺二寸为三率求得四率五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为与四面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百厘有余即四面体之积也葢四面体之每边为二○三九六四八九○正方体之每边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯四面体之毎边二○三九六四八九○与辰巳午未正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛正方体之每边五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余之比既得一边自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲乙丙丁四面体之积为相等也 　　如有四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之四面体积一一七八五一一二九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体之每边与正方体之每边相等四面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也 　　又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之毎边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体积与正方体积相等四面体之每边与正方体之每边不同故以四面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也 　　设如八面体每边一尺二寸求积几何 　　法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也如图甲乙丙丁戊己八面体其棱十二角六平铺之则面为八各成一等边三角形自体正中对四角平分截之则成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方体甲丙为二尖方体之共髙即甲乙丙丁正方形之对角斜线故以戊乙一边自乗得戊乙己丁正方面积为二尖方体之共底又以戊乙己丁正方面积倍之开平方即如甲乙为勾乙丙为股各自乗相并开方得甲丙为八面体之对角斜线即二尖方体之共髙以此共髙与戊乙己丁二尖方体之底面积相乗三归之得二尖方体积即八面体之总积也 　　又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率今所设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也葢八面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而八面体之每一边一○○○所得之八面体积为四七一四○四五二一故以子丑寅卯辰已八面体之每边一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯辰己八面体积四七一四○四五二一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余之比也 　　又用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为与八面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得八百一十四寸五百八十六分八百五十六厘有余即八面体之积也葢八面体之每边为一二八四八九八二九正方体之毎边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯辰己八面体之每边一二八四八九八二九与午未申酉正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每边九寸三分三厘九豪二丝六忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己八面体之积为相等也 　　如有八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体之每边与正方体之每边相等八面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也 　　又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体积与正方体积相等八面体之每边与正方体之每边不同故以八面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也 　　设如十二面体每边一尺二寸求积几何 　　法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七豪八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八豪二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也如图甲乙丙丁戊十二面体其棱三十角二十平铺之则面十二各成一等边五角形先求得己庚辛壬癸五等边形之子已类分角线又求得子丑自中心至每边之垂线复求得己庚辛壬癸五等边形之面积次以辛壬一边为大分己辛两角相对斜线为全分故辛壬与己辛之比同于理分中末线之大分与全分之比而得两角相对之斜线又自十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之寅卯等线亦为乙丙两角相对斜线【与己辛等】之一半而为十等边形之一边故寅卯与辰寅之比又同于理分中末线之大分与全分之比而得十二面体之中心至每边正中之斜线乃以辰寅斜线为每面中心至每邉之子丑垂线为勾求得辰子股即十二面体中心至每面中心之立垂线以此辰子立垂线与己庚辛壬癸一面积相乗三归之得辰巳庚辛壬癸一五角尖体积十二因之即得甲乙丙丁戊十二面体之总积也又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也盖十二面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而十二面体之每一邉一○○○所得之十二面体积为七六六三一一八九○三故以子丑寅邜辰十二面体之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰十二面体积七六六三一一八九○三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余之比也 　　又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之十二面体之每邉五○七二二三○七为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸为三率求得四率二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为与十二面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八厘有余即十二面体之积也葢十二面体之每邉为五○七二二二○七正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰十二面体之每邉五○七二二二○七与巳午未申正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方体之每邉二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余之比既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方体积即与甲乙丙丁戊十二面体之积为相等也 　　如有十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每邉之数则用邉线相等体积不同之定率比例以定率之十二面体积七六六三一一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体之每邉与正方体之每邉相等十二面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率十二面体之每邉五○七二二二○七为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘开立方得二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为三率求得四率一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体积与正方体积相等十二面体之每邉与正方体之每邉不同故以十二面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也