御制数理精蕴 - 第 176 页/共 595 页

【一率七七一○二五三四　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一五五六三六九】设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边数几何 　　法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也 　　【一率二一八一六九四九六九　二率一○○○○○○○○　三率三七六九九六八九○六　四率一七二八】 　　又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率现设之二十面体积开立方得数为三率求得四率即二十面体之每一边也 　　【一率一○○○○○○○○　二率七七一○二五三四　三率一五五六三六九　四率一二】 　　庄氏算学卷四 　　钦定四库全书 　　庄氏算学卷五 　　淮徐海道庄亨阳撰 　　中西笔算 　　度量权衡 　　度法 　　丈　尺　寸　分　厘　毫　丝　忽　微　纎　沙尘埃　　漠　模糊　逡巡　须防　瞬息　弹指刹那　六徳　虚空　清浄【俱逓以十析】 　　量法 　　石　斗　升　合　勺　撮　抄　圭【俱逓以十析】　粟【六粟为圭】 　　权衡 　　两　钱　分　厘　毫　丝　忽【俱逓以十析忽以下并与度法同】凡丈　石　两以上则为十　百　千　万【逓増十倍】　亿兆　京　垓　秭　穰　沟　涧　正　载　极 　　恒河沙　阿僧秖　那由他【不可思议无量数亿以下俱逓増万倍】 　　田法 　　顷【百畆为顷】畆【二百四十步为一畆】分【二十四步为分】步【方五尺为步】 　　斤法 　　斤【十六两为一斤】两【以下俱与权衡同】 　　里法 　　里【三百六十步为一里计一百八十丈】 　　厯法 　　周天【十二宫为周】宫【三十度为宫】度【六十分为度】分　秒　微　纎忽　芒　尘【俱逓以六十析】 　　日时 　　日【十二时又为二十四小时】时【八刻又为二小时】刻【十五分】分以下俱与前同 　　石法 　　石【积二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此系旧法如以尺度较仓积先将现用斗较准然后用为比例方得宻合也】 　　命位 　　凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘毫皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至于厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常列一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之列焉此又命位之最要者也 　　加法 　　加者命众数而总成也葢数始于一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之数则不以十进必足所命之分始进一位 　　减法 　　减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然数相减必先辩其多寡首位必大于减数始可其定位亦然原列之次为减余位 　　因乗 　　因乗者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于繁而无统此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乗数为法实列于上法列于下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乗实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乗者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位纪之】法实相乗再以法乗者【即自乗再乗也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三竒零有二位则截得数之六位向前为单位纪之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乗之类以三位论者则为自乗再乗之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左 　　开平方法 　　平方积者两数相乗所得之数也开之之法每方积二位得方边一位 　　法以自乗数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乗之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商亷隅之共积乃以初商之数倍之为亷法以除余积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与亷法数相加得数为亷隅共法书于余积之左以次商数乗之得数与次商亷隅共积相减减尽则已如有余数又为第三位以后积数商开之法与次商同 　　开带纵平方法 　　较法 　　法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也 　　又法以纵多折半自乗与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得濶于半和加半较得长也 　　较数纵平方有较无长濶和故四因积数与较自乗数相加得长濶和积开方为长濶和 　　和数纵平方有长濶和无长濶较故用和自乗得和积与四因积相减余数为较积开平方为长濶较 　　总之有长濶和有较者于和内加较折半为长减较折半为濶其理同也 　　和法 　　法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长濶相较之数以较数与和数相加折半为长减较即濶也 　　又法以和数折半为半和自乗与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为濶于半和加半较为长 　　开立方法 　　立方者自乗再乗所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方【此为自一至九自乗再乗数】为首位用各数自乗再乗为首位积以减通积余数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平亷其边与大方等其厚与次商数等有三长亷其长与大方等其寛厚皆与次商数等有一小隅系次商自乗再乗之数法以初商数自乗相因为三平廉面积与余积相商约得几倍【用为少之数】即定次位为几数然后以次商数与初商数相乗三因为三长亷面积又以次商自乗为小隅面积三数相并为平亷长亷小隅之共面积再以次商数乗之为磬折形通积以减余积减尽则止如有余数又为第三位以后积数开之之法与次商同 　　开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乗之数除首位积其余数为第二位以后积数次以首位数加倍为亷法以商余积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与亷法隅法相乗以减余积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同 　　田地顷畆分法 　　纵横方五尺为一步二百四十步为一畆一百畆为一顷凡地纵横相乗得积步得积步以二百四十步除之得畆数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得畆数【每边数一丈得积四步】再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺 　　正比例 　　以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乗一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类 　　庄氏算学卷五 　　钦定四库全书 　　庄氏算学卷六 　　淮徐海道庄亨阳撰 　　比例十法 　　一法正方 　　边求积【设正方边五十步问积数若干】 　　法以方边五十步自乗得二千五百步即正方积如系田地则以畆法二百四十除之得畆数二十四步为一分满一百畆为顷凡面积皆同 　　积求边 　　即开平方法 　　方求斜【设正方边五十尺求对角斜线】 　　法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分○六毫有余即对角斜线又倍积求边与此法同 　　斜求方【设对角斜线五十尺求正方边】 　　法以对角斜线五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺开平方得三十五尺三十五分五厘三毫有余即正方边○又正方积折半求方边与此法同 　　四倍积求边 　　法以方边数加倍即得 　　二法长方 　　边求积【设濶八尺长十二尺求长方积】 　　法以濶八尺与长十二尺相乗得九十六尺即长方面积 　　积求边 　　有长濶较或长濶和者用开带纵平方法算之有濶边者以濶数除积得长边有长边者以长数除积得濶边 　　更面【设长方形长十二尺濶八尺今将长积倍之仍与原长方同式问得长濶各几何】 　　法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘有余即所求之濶乃以原濶八尺为一率原长十二尺为二率今濶一十一尺三寸一分三厘为三率得四率一十六尺九寸七分有余即所求之长 　　三法斜方形【有两直角】 　　有边求积 　　法以上濶二十丈与下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形积数 　　有积数有长有上下两濶较求上下濶