御制数理精蕴 - 第 178 页/共 595 页

为内周圆面 <子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学> 　　钦定四库全书 　　庄氏算学卷七 　　淮徐海道庄亨阳撰 　　正方体 　　边求积 　　法以边数自乗得平方面积再以边数乗之得立方体积如系米糓则用石法除之得石斗各数【二千五百寸为一石二百五十寸为】 　　【一斗二十五寸为一升】凡筭积糓法皆同 　　倍积求边【设正边二尺】 　　法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求边数 　　八倍积求边 　　将边数加倍即得 　　长方体 　　边求积 　　法以长边与濶边相乗得长方面积再与髙数相乗得长方体积○如系米糓则用石法除之得石斗各数 　　倍积求边【设长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形同式问长濶髙】 　　法用正立方比例先以长一尺二寸自乗再乗得立方积一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长再用比例以求濶与髙以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶又以原长一尺二寸为一率原髙四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙 　　长圆体 　　圆周及髙求积【设圆周二十四尺髙十尺】 　　法用圆周求面积法求得圆径七尺六十三寸九十五分有余又求得圆面积四十五尺八十三寸六十六分有余为圆面积再与髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有余即所求之长圆体积○如系米糓或米窖问盛米几何俱以石法除体积得石斗各数有径求积法同 　　积及髙求周径【设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径】 　　法以石法二千五百寸与米数相乗得四百尺为圆窖积以髙十尺除之得四十尺为圆窖面积乃用圆面积求径法【用圆周三五五方周四五二比例开平方】求得圆径七尺一寸三分六厘有余即所求之圆径再用径求周法【径二三周三五五比例】求得二十二尺四寸一分九厘有余即所求之圆周 　　带纵较数立方 　　带纵立方者两两等边长方体积也髙与濶相等惟长不同者为带一纵立方长与濶相等而皆比髙多者则为带两纵相同之立方至于长与濶与髙皆不同者则为带两纵不同之立方开之之法大槩与立方同止有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与濶相等惟长不同为问者则以初商为髙与濶以之自乗又以初商加縦数为长以之再乗得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两縦相同之法如以长与濶相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乗又以初商为髙以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一縦也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者即各带一纵也其带两纵不同之法如以濶比髙多长比濶又多为问者则以初商为髙又以初商加濶纵为濶与髙相乗又加长縦为长以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两縦其二方亷附于初商积之旁面者则一带濶纵一带长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者则各带一纵也惟小隅则无论带一纵两纵皆各以所商之数自乗再乗成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之濶与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例逓析推之法虽不一要皆本于正方而后加带纵故商出之数皆为小边方体共十二面边若带一縦或带两縦相同者则八边相等四边相等若带两縦不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也 　　带一纵立方 　　设带一纵立方积一百一十二尺其髙与濶相等长比髙濶多三尺问髙濶长各几何 　　法列积如开立方法商之其 　　积一百一十二尺止可商四 　　尺乃以四尺书于原积二尺 　　之上而以所商四尺为髙与濶【因髙与濶等故四尺即方之髙与濶也】加纵多三尺得七尺为长即以髙与濶四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与濶俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲己为濶己戊为长甲乙甲己俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所带之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也 　　设如带一纵立方积二千四百四十八尺其髙濶相等长比髙濶多五尺问髙濶长各几何 　　法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙濶加縦多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为初商积乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之 　　髙濶加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙濶俱十二尺其长为十七尺也设带两纵相同立方积五百六十七尺其长濶俱比髙多二尺问长濶髙各几何 　　法以共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为髙加纵多二 　　尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与濶也 　　设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其濶比髙多二尺其长比濶又多四尺问髙濶长各几何 　　法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺为初商之濶再加长比濶多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之长十六尺再乗得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之濶十二尺与初商之长 　　十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方亷面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺为初商次商之濶再加长 　　比濶多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之髙十二尺与初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乗得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙十二尺其濶为十四尺其长为十八尺也 　　直线体 　　设正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何 　　法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六 　　尺即如戊己庚辛正方体积 　　每边二尺五寸一分有余 　　设长方体长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长濶髙各几何 　　法以长一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之开立方亦得一尺零一厘有余为所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之髙也如图甲乙丙丁长方体甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即如相当二界各作两正方体积之比例也 　　设堑堵体形濶五尺长十二尺髙七尺问积几何 　　法以濶五尺与长十二尺相乗得六十尺 　　又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得 　　二百一十尺即堑堵体形之积也 　　又法以濶五尺与髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乗得二百一十尺即堑堵体形之积也如图甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙髙与乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也 　　设刍甍体形濶四尺长十二尺髙四尺问积几何 　　法以濶四尺与长十二尺相乗得四十八尺又与髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即刍甍体形之积也 　　又法以濶四尺与髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乗得九十六尺即刍甍体形之积也 　　如甲乙丙丁戊己刍甍体形以乙丙濶与甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己刍甍体形之积也 　　设方底尖体形底方每边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问尖至底中垂线之髙几何 　　法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五毫三丝有余为勾以自尖至底四角斜线六尺为用勾求股法求得股四尺八寸四分七厘六毫八丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙己为勾以自尖至角之甲乙斜线为求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也 　　又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰角平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三毫五丝为以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六毫七丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线以甲庚为底边折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也设方底尖体形底方每边六尺髙三尺问积几何 　　法以下方每边六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其髙又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等也 　　设阳马体形底方每边六尺髙亦六尺问积几何 　　法以底方每边六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳 　　马体形与尖方体形虽不一而法 　　则同也葢尖方体形尖在正中阳 　　马体形尖在一隅凡体形其底面 　　积等髙度又等其体积必相等也 　　设如鼈臑体形长与濶俱四尺髙九尺问积几何 　　法以长与濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲丙乙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑 　　体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积 　　之一半阳马体为长方体三分之一 　　则鼈臑体又为长方体六分之一矣 　　设上下不等正方体形上方每边四尺下方每边六尺髙八尺问积几何 　　法以上方每边四尺自乗得一十六尺下方每边六尺自乗得三十六尺又以上方每边四尺与下方每边六尺相乗得二十四尺三数相并得七十六尺与髙八尺相乗得六百零八尺三归之得三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也