几何原本 - 第 5 页/共 22 页
两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大
解曰甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁戊甲丙与丁巳各两腰等若乙丙底大于戊巳底题言乙甲丙角大于戊丁巳角
论曰如云不然令言或小或等若言等则两
形之两腰各等腰间角又等宜两底亦等【本篇四】何设乙丙底大也若言乙甲丙角小则对乙甲丙角之乙丙线宜亦小【本篇廿四】何设乙丙底大也
第二十六题【二支】
两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
先解一边在两角之内者曰甲乙丙角形之甲乙丙甲丙乙两角与丁戊己角形之丁戊巳丁巳戊两角各等在两角内之乙丙边与
戊巳边又等题言甲乙与丁戊两边甲丙与丁巳两边各等而乙甲丙角与戊丁巳角亦等
论曰如云两边不等而丁戊大于甲乙令于丁戊线截取庚戊与甲乙等【本篇三】次自庚至己作直线即庚戊巳角形之庚戊戊巳两边宜与甲乙乙丙两边等矣夫乙角与戊角元等则甲丙与庚巳宜等【本篇四】而庚巳戊角与甲丙乙角宜亦等也【本篇四】既设丁己戊与甲丙乙两角等今又言庚己戊与甲丙乙两角等是庚己戊与丁己戊亦等全与其分等矣【公论九】以此见两边必等两边既等则余一角亦等
后解相等边不在两角之内而在一角之对者曰甲乙丙角形之乙角丙角与丁戊己角形之戊角丁己戊角各等而对丙之甲乙边
与对己之丁戊边又等题言甲丙与丁己两边丙乙与己戊两边各等而甲角与戊丁己角亦等
论曰如云两边不等而戊己大于乙丙令于戊己线截取戊庚与乙丙等【本篇三】次自丁至庚作直线即丁戊庚角形之丁戊戊庚两边宜与甲乙乙丙两边等矣夫乙角与戊角元等则甲丙与丁庚宜等【本篇四】而丁庚戊角与甲丙乙角宜亦等也既设丁巳戊与甲丙乙两角等今又言丁庚戊与甲丙乙两角等是丁庚戊外角与相对之丁巳戊内角等矣【本篇十六】可乎以此见两边必等两边既等则余一角亦等
第二十七题
两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行
解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行
论曰如云不然则甲乙丙丁两直线必至相
遇于壬而庚辛壬成三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角矣【本篇十六】乃先设相等乎若设乙庚辛角与丙辛庚角等亦依此论若言甲乙丙丁两直线相遇于癸亦依此论
第二十八题【二支】
两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行先解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛其戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等题言甲乙丙丁两线必平行论曰乙庚辛角与相对之内角丙辛庚等【本篇】
【卄七】戊庚甲与乙庚辛两交角亦等【本篇十五】即两直线必平行
后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等题言甲乙丙丁两线必平行
论曰甲庚辛丙辛庚两角与两直角等而甲庚戊甲庚辛两角亦与两直角等【本篇十三】试减同用之甲庚辛即所存甲庚戊与丙辛庚等矣既外角与同方相对之内角等即甲乙丙丁必平行【本题】
第二十九题【三支】
两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等先解曰此反前二题故同前图有甲乙丙丁二平行线加他直线戊巳交于庚于辛题言甲庚辛与丁辛庚内相对两角必等
论曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚则丁辛庚加辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣【公论四】夫辛庚甲辛庚乙元与两直角等【本篇十三】据如彼论则丁辛庚辛庚乙两角小于两直角而甲乙丙丁两直线向乙丁行必相遇也【公论十一】可谓平行线乎
次解曰戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等论曰乙庚辛与相对之丙辛庚两内角等【本题】则乙庚辛交角相等之戊庚甲【本篇十五】与丙辛庚必等【公论一】后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等
论曰戊庚甲与庚辛丙两角既等【本题】而每加一甲庚辛角则庚辛丙甲庚辛两角与甲庚辛戊庚甲两角必等【公论二】夫甲庚辛戊庚甲本与两直角等【本篇十三】则甲庚辛丙辛庚两内角亦与两直角等
第三十题
两直线与他直线平行则元两线亦平行
解曰此题所指线在同面者不同面线后别有论如甲乙丙丁两直线各与他线戊巳平行题言甲乙与丙丁亦平行
论曰试作庚辛直线交加于三直线甲乙于壬戊巳
于子丙丁于癸其甲乙与戊巳既平
行即甲壬子与相对之己子壬两内
角等【本篇廿九】丙丁与戊巳既平行即丁
癸子内角与己子壬外角亦等【本篇廿九】
丁癸子与甲壬子亦为相对之内角亦等【公论一】而甲乙丙丁为平行线【本篇廿七】
第三十一题
一防上求作直线与所设直线平行
法曰甲防上求作直线与乙丙平行先从甲防向乙丙线任指一处作直线为甲丁即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本篇】
【廿三】为戊甲丁从戊甲线引之至己即己戊与乙丙平行论曰戊己乙丙两线有甲丁线联之其所作戊甲丁与甲丁乙相对之两内角等即平行线【本篇廿七】
増从此题生一用法设一角两线求作有法四边形有角与所设角等两两边线与所设线等法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊线与甲等己丁线与乙等末依丁戊平行作己庚依己丁平行作庚戊即所求
本题用法于甲防求作直线与乙丙平行先作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于
戊己次取戊己圜界为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线各引长之即所求
又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任指一防作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙上向丙截取一分作短界线为
戊次用元度以戊为心向上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲平处作短界线后两界线交处为己自甲至己作直线各引长之即所求
第三十二题【二支】
凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等
先解曰甲乙丙角形试从乙丙边引至丁题言甲丙
丁外角与相对之内两角甲乙并等
论曰试作戊丙线与甲乙平行【本篇三一】令甲丙为甲乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对
之甲丙戊角等【本篇卄九】又乙丁线与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之甲乙丙内角等【本篇廿九】既甲丙戊与乙甲丙等而戊丙丁与甲乙丙又等则甲丙丁外角与内两角甲乙并等矣
后解曰甲乙丙三角并与两直角等
论曰既甲丙丁角与甲乙两角并等更于甲丙丁加甲丙乙则甲丙丁甲丙乙两角并与甲乙丙内三角并等矣【公论二】夫甲丙丁甲丙乙并元与两直角等【本篇十三】则甲乙丙内三角并亦与两直角等
増从此推知凡第一形当两直角第二形当四直角第三形当六直角自此以上至于无穷每命形之数倍之为所当直角之数【凡一线二线不能为形故三边为第一形四边为第二形五边为第三形六边为第四形仿此以至无穷】又视每形边数减二边即所存边数是本形之数论曰如上四图第一形三边减二边存一边即是本形一数倍之当两直角【本题】第二形四边减二边存二边即是本形二数倍之当四
直角欲显此理试以第二形作一对角线成两三角形每形当两直角并之则当四直角矣第三形五边减二边存三边即是本形三数倍之当六直角欲显此理试以第三形作两对角线成三三角形每形当两直角并之亦当六直角矣其余依此推显以至无穷
又一法每形视其边数每边当两直角而减四直角其存者即本形所当直角
论曰欲显此理试于形中任作一防从此防向各角俱作直线令每形所分角形之数如其边数每一分形三角当二直角【本题】其近防之处不论几角皆当四直角【本篇十五之系】次减近防诸角即是减四直角其存者则本形所当直角如上第四形六边中间任指一防从防向各角分为六三角形每一分形三角六形共十八角今于近防处减当四直角之六角所存近边
十二角当八直角余仿此
一系凡诸种角形之三角并俱相等【本题増】
二系凡两腰等角形若腰间直角则余两角每当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角
三系平边角形每角当直角三分之二
四系平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线之下两旁则垂线之上两旁角每当直角三分之一其余两角每当直角三分之二
増从三系可分一直角为三平分其法任于一边立平边角形次分对直角一边为
两平分从此边对角作垂线即所求如上图甲乙丙直角求三分之先于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本篇一】次平分甲丁于戊【本篇九】末作乙戊直线
第三十三题
两平行相等线之界有两线联之其两线亦平行亦相等
解曰甲乙丙丁两平行相等线有甲丙乙丁两线联之题言甲丙乙丁亦平行相等线论曰试作甲丁对角线为甲乙丙丁之交加
线即乙甲丁丙丁甲相对两内角等【本篇卄九】又甲丁线上下两角形之甲乙丙丁两边既等甲丁同边则对乙甲丁角之乙丁线与对丙丁甲角之甲丙线亦等【本篇卄九】而乙丁甲与丙甲丁两角亦等也【本篇四】此两角者甲丙乙丁之内相对角也两角既等则甲丙乙丁两线必平行【本篇廿七】
第三十四题
凡平行线方形每相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分
解曰甲乙丁丙平行方形【界説三五】题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角乙甲丙与丙丁乙两角各等又言若
作甲丁对角线即分本形为两平分
论曰甲乙与丙丁既平行则乙甲丁与丙丁甲相对之两内角等【本篇廿九】甲丙与乙丁既平行则乙丁甲与丙甲丁相对之两内角等【本篇廿九】甲乙丁角形之乙甲丁乙丁甲两角与甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁两角既各等甲丁同边则甲乙与丙丁甲丙与乙丁俱等也而丙角与相对之乙角亦等矣【本篇廿六】又乙丁甲角加丙丁甲角与丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙甲丙与丙丁乙相对两角亦等也【公论二】又甲乙丁甲丁丙两角形之甲乙乙丁两边与丁丙丙甲两边各等腰间之乙角与丙角亦等则两角形必等【本篇四】而甲丁线分本形为两平分
第三十五题
两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙巳两平行方形同丙丁底题言此两形等等者不谓腰等角等谓所函之地等后
言形等者多仿此
先论曰设己在甲戊之内其丙丁戊甲与丙丁乙己皆平行方形丙丁同底则甲戊与丙丁巳乙与丙丁各相对之两边各等【本篇三四】而甲戊与己乙亦等【公论一】试于甲戊己乙两线各减己戊即甲己与戊乙亦等【公论三】而甲丙与戊丁元等【本篇三四】乙戊丁外角与己甲丙内角又等【本篇廿九】则乙戊丁与己甲丙两角形必等矣【本篇四】次于两角形每加一丙丁戊己无法四边形则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形等也【公论二】次论曰设己戊同防依前甲戊与戊乙等乙戊丁与戊甲丙两角形等【本篇四】而每加一戊丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁乙戊两平行方形必等【公论二】
后论曰设己防在戊之外而丙己与戊丁两线交于庚依前甲戊与己乙两线等而每加一戊己线即戊乙与甲己两线亦等【公论二】因显己甲丙与乙戊丁两角形亦等【本篇四】次每减一己戊庚角形则所存戊庚丙甲与乙己庚丁两无法四边形亦等【公论三】次于两无法形每加一庚丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁
乙己两平行方形必等【公论二】
第三十六题
两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底等题言两形亦等
论曰试自丙至庚戊至乙各作直线相联其
丙戊庚乙各与辛丁等则丙戊与庚乙亦等【本篇卅四】庚乙与丙戊既平行线则庚丙与乙戊亦平行线【本篇卅三】而甲丙戊己与庚丙戊乙两平行方形同丙戊底者等矣【本篇三五】庚辛丁乙与庚丙戊乙两平行方形同庚乙底者亦等矣【本篇三五】既尔则庚辛丁乙与甲丙戊己亦等【公论一】
第三十七题
两平行线内有两三角形若同底则两形必等
解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两角形同丙丁底题言两形必等
论曰试自丁至戊作直线与甲丙平行次自
丁至己作直线与乙丙平行【本篇三一】夫甲丙丁戊乙丙丁己两平行方形在甲乙丙丁两平行线内同丙丁底既等【本篇三五】则甲丙丁角形为甲丙丁戊方形之半与乙丙丁角形为乙丙丁己方形之半者【甲丁乙丁两对角线平分两方形见本篇卅四】亦等【公论七】
第三十八题
两平行线内有两三角形若底等则两形必等
解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊与乙己丁两角形而丙戊与己丁两底等题言两形必等
论曰试自庚至戊辛至丁各作直线与甲丙乙己平行【本篇卅一】其甲丙戊庚与乙己丁辛两平行方形既等【本篇卅六】则甲丙戊与乙己丁两角形为两方形之半者【本篇卅四】亦等【公论七】
増凡角形任于一边两平分之向对角作直线即分本形为两平分
论曰甲乙丙角形试以乙丙边两平分于丁【本篇十】自丁至甲作直线即甲丁线分本形为两平分何者试于甲角上作直线与乙丙平行【本篇卅一】则甲乙丁甲丁丙两角形在两平行线内两底等两形亦等【本题】
二増题凡角形任于一边任作一防求从防分本形为两平分
法曰甲乙丙角形从丁防求两平分先自
丁至相对甲角作甲丁直线次平分乙丙线于戊【本篇十】作戊己线与甲丁平行【本篇卅一】末作己丁直线即分本形为两平分
论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在两平行线内同己戊底者等而每加一己戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等【公论二】夫甲戊丙为甲乙丙之半【本题増】则己丁丙亦甲乙丙之半
第三十九题