几何原本 - 第 9 页/共 22 页

两圜相交止于两防 　　论曰若言甲乙丙丁戊己圜与甲庚乙丁辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙乙丁两直线相联此两线各两平分于壬于癸次从壬癸作子壬子癸两垂线其子 　　壬分甲乙子癸分乙丁既皆两平分而各为两直角即子壬子癸两线俱为甲庚乙丁辛戊圜之函心线【本篇一之系】而子为其心矣依显甲乙丙丁戊己圜亦以子为心也夫两交之圜尚不得同心【本篇五】何縁得有三交 　　又论曰若言两圜三相交于甲于乙于丁令先寻甲庚乙丁辛戊圜之心于壬【本篇一】次从心至三交界作壬甲壬乙壬丁三线此三线等也【一卷界説十五】又甲乙丙丁戊己圜内有从壬出之壬甲壬乙壬丁三相等线 　　则壬又为甲乙丙丁戊己圜之心【本篇九】不亦交圜同心乎【本篇五】 　　第十一题 　　两圜内相切作直线联两心引出之必至切界 　　解曰甲乙丙甲丁戊两圜内相切于甲而己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心题言作直线聨庚己两心引抵圜界必至甲 　　论曰如云不至甲而截两圜界于乙丁及丙戊令从甲作甲己甲庚两线其甲己庚角形之庚己己甲两邉并大于庚甲一邉【一卷二十】而同圜心所出之庚甲庚丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各减同用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲与己乙是内圜同心所出等线则己乙亦大于己丁而分大于全也可乎若曰庚为甲乙丙心己为甲丁戊心亦依前转説之甲己庚角形之己庚庚甲两邉并大于甲己一邉【一卷二十】而同圜心所出之己甲己戊宜等即己庚庚甲大于己戊矣此二率者各减同用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲与庚丙是内圜同心所出等线则庚丙 　　亦大于庚戊而分大子全也可乎 　　第十二题 　　两圜外相切以直线联两心必过切界 　　解曰甲乙丙丁乙戊两圜外相切于乙其甲乙丙心为己丁乙戊心为庚题言作己庚直线必过乙论曰如云不然而己庚线截两圜界于戊于丙令于切界作乙己乙庚两线其乙己庚角形之己乙乙庚两边并大于己庚一边而乙 　　庚与庚戊乙己与己丙俱同心所出线宜各等即庚戊丙己两线并亦大于庚己一线矣【一卷二十】夫庚己线分为庚戊丙己尚余丙戊而云庚戊丙己大于庚己则分大于全也故直线聨己庚必过乙 　　第十三题【二支】 　　圜相切不论内外止以一防 　　先论曰甲乙丙丁与甲戊丙己两圜内相切若云有两防相切于甲又于丙令作直线函两圜心庚辛引出之如前图宜至相切之甲之丙【本篇十一】则甲丙为两圜之同径矣而此径线者两平分于庚又两平分于辛何也【一直线止以一防两平分】若云庚辛引出直线 　　一抵甲一截两圜之界于癸于壬即如后图令从两心各作直线至又相切之丙次问之甲乙丙丁圜之心为庚邪辛邪如曰庚也而辛为甲戊内己之心则丙庚辛角形之庚辛辛丙两边并大于庚丙一边【一卷二十】而庚辛辛丙与庚癸宜等【辛癸辛丙同圜心所出故】即庚癸亦大于庚丙矣夫庚丙与庚壬者外圜同心所出等线也将庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚为甲戊丙己之心则丙庚辛角形之辛庚庚丙两边并大于辛丙一边【一卷二十】而辛丙与辛甲宜等即辛庚庚丙亦大于辛甲矣此二率者各减同用之辛庚即庚丙亦大于庚甲也夫庚甲与庚丙者亦同圜心所出等线也而安有大小 　　后论曰甲乙与乙丙两圜外相切于已从甲乙之丁心丙乙之戊心作直线相聨必过已【本篇十三】若云又相切于乙令自乙至丁至戊各 　　作直线其丁乙乙戊并宜与丁戊等而为角形之两腰又宜大于丁戊【一卷二十】则两圜相切安得两防又后论曰更令于两相切之乙之己作直线相聨其直线当在甲乙圜内【本篇二】又当在乙丙圜内何所置之 　　第十四题【二支】 　　圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等 　　先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距戊心逺近亦等 　　论曰试从戊心向甲乙作戊己向丁丙作戊庚各垂线次自丁自甲至戊各作直线其戊己戊庚既各分甲乙丁丙线为两平 　　分【本篇三】而甲乙丁丙等则平分之甲己丁庚亦等夫甲戊上直角方形与甲己己戊上两直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两直角方形并等而甲己丁庚上两直角方形既等即戊己戊庚上两直角方形亦等则戊己戊庚两线亦等是甲乙丁丙两线距心之度等【本卷界説四】 　　后解曰甲乙丁丙两线距戊心逺近等题言甲乙丁丙两线亦等 　　论曰依前论从戊作戊己戊庚两垂线既等【本卷界説四】而分甲乙丁丙各为两平分【本篇三】其甲戊上直角方形与甲己己戊上两 　　直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两直角方形并等即甲己己戊上两直角方形并与丁庚庚戊上两直角方形并亦等此二率者每减一相等之己戊戊庚上直角方形即所存甲己丁庚上两直角方形亦等是甲己丁庚两线等也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等第十五题 　　径为圜内之大线其余线者近心大于逺心 　　解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其径甲己其近心线为辛壬逺心线为丙丁题言甲乙最大辛壬近心大 　　于丙丁逺心 　　论曰试从庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚子各垂线其丙丁距心逺于辛壬即庚癸 　　大于庚子【本卷界説四】次于庚癸线截庚丑与庚子等次从丑作乙戊为庚癸之垂线末于庚乙庚丙庚丁庚戊各作直线相联其庚丑既等于庚子即乙戊与辛壬各以垂线距心逺近等【本卷界説四】而两线亦等【本篇十四】夫庚乙庚戊并大于乙戊【一卷二十】而与甲己等即甲己大于乙戊亦大于辛壬矣依显甲己大于他线则甲己最大又乙庚戊角形之乙庚庚戊两腰与丙庚丁角形之丙庚庚丁两 　　腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角则乙戊底大于丙丁底【一卷廿四】故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心线大于逺心线也 　　第十六题【三支】 　　圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角 　　先解曰甲乙丙圜丁为心甲丙为径从甲作甲丙之垂线题言此线全在圜外论曰若言在内如甲乙令自丁至乙作 　　直线即丁甲乙与丁乙甲两角等【一卷五】丁甲既为直角丁乙又为直角乎夫角形三角并等两直角【一卷十七】岂得形内自有两直角也则垂线必在圜外若己戊必不在圜内若甲乙又不在圜界之上【如云在界亦依此论】故曰全在圜外 　　次解曰题又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角不得更作一直线入其内 　　论曰若云可作如庚甲令从丁心向庚甲作丁辛为庚甲之垂线【一卷十二】夫丁甲辛角形之丁甲辛丁辛甲两角并小于 　　两直角【一卷十七】而丁辛甲为直角即对小角之丁辛线小于对大角之甲丁线矣【一卷十九】甲丁者与丁壬为同圜相等者也将丁壬亦大于丁辛乎则戊甲乙角之内不得更作一直线而戊甲之下但有直线必入本圜之内也 　　后解曰题又言丁甲垂线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线鋭角 　　论曰依前论甲戊下有直线既云必入圜内即此直线偕戊甲所作各直线鋭角皆小于圜分角而切边角小于各直线鋭角 　　系己甲线必切圜以一防 　　増先解曰甲乙丙圜其心丁其径甲 　　丙从甲作戊甲为甲丙之垂线题言 　　戊甲全在圜外 　　増正论曰试于甲戊线内任取一防为庚自庚至丁作直线其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲两角小于两直角【一卷十七】而丁甲庚为直角即丁庚甲小于直角对大角之丁庚线大于对小角之丁甲线矣【一卷十九】则庚防在圜之外也凡戊甲以内作防皆 　　依此论故戊甲线全在圜外 　　増次解曰从甲作甲辛线在戊甲之 　　下题言甲辛必割圜为分 　　増正论曰试作甲丁壬角与戊甲辛角等其甲丁壬辛甲丁两角并等于戊甲丁直角必小于两直角而丁壬甲辛两线必相遇【分论十一】其相遇又必在圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲两角既与一直角等即甲壬丁必为直角【一卷卅二】而对大角之甲丁线必大于对小角之丁壬线矣【一卷十九】夫甲丁线仅至圜界则丁壬不能抵圜界必在圜之内也后支前已正论 　　或难曰切边角有大有小何以毕不得两分向者闻几何之分不可穷尽如庄子尺棰之义深着明矣今切边之内有角非几何乎此几何何独不可分邪又十卷第一题言设一小几何又设一大几何若从大者半减之减之又减必至一处小于所设小率此题最明无可疑者今言切边之角小于直线鋭角是亦小几何也彼直线鋭角是亦大几何也若从直线鋭角半减之减之又减何以终竟不得小于切边角邪既本题推显切边角中不得容一直线如此着明便当并无切边角无角则无几何此则不可得分耳且几何原本书中无有至大不可加之率无有至小不可减之率若切边角不可分岂非至小不可减乎答曰谬矣子之言也有圜有线安得无切边角且既言直线鋭角大于切边角即有切边角矣苟无角安所较大小哉且 　　子言直线与圜界并无切边角 　　则两圜外相切亦无角乎曰然 　　曰试如作甲己乙圜其心丙而 　　丁戊为切线即丁甲己为切边角次移心于庚又作甲辛癸圜即丁甲辛为切边角而小于丁甲己次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑为切边角而又小于丁甲辛如是小之又小疑无角焉次又于切线之外以辰为心作甲己午圜而与前圜外相切于甲依子所説疑无角焉然两圜外相切而以丁戊线分之不可分乎更自辰至寅作直线截两圜之界而分丁戊为两平分不可分乎两圜两直线交罗相遇于甲也能不皆以一防乎如以一防也即此一防之外不能无空即不能不为四切边角矣子所据尺棰之分无尽又言几何原本书中无至小不可减之率也是也夫切边角但不可以直线分之耳若用圜线则可分矣如甲乙庚圜与丙甲丁直线相切于甲作丁甲庚切边大角若移一心作甲戊辛 　　圜又得丁甲辛切边角即小于丁甲庚也又移一心作甲己壬圜又得丁甲壬切边小角即又小于丁甲辛也如此以至无穷则切边角分之无尽何谓不可减邪若十卷第一题所言元无可疑但以圜角分圜角则与其説合矣彼所言大小两几何者谓夫能相较为大能相较为小者也如以直线分直线角以圜线分圜线角是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉 　　増题有两种几何一大一小以小率半増之递増至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小 　　解曰戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大如前论别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小然直线角恒大切 　　边角恒小乃至终古不得相比 　　又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论也若用以律本题即不可得故今斥不为公论解曰甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向已其所经丁戊己及中间逐线所经无 　　数然依本题论则甲丙所经凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论也 　　第十七题 　　设一防一圜求从防作切线 　　法曰甲防求作直线切乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截乙丙圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁 　　之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁直线而截乙丙圜于丙末作甲丙直线即切乙丙圜于丙 　　论曰乙戊丁角形之戊丁丁乙两腰与甲丙丁角形之甲丁丁丙两腰各等【一卷界説十五】丁角同即甲丙乙戊两底亦等【一卷四】而戊 　　乙丁为直角即甲丙丁亦直角则甲丙偕乙丙圜之半径丁丙为一直角矣岂非圜之切线【本篇十六之系】第十八题 　　直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙直线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线论曰如云不然令从戊别作垂线如至已 　　而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既为直角即宜大于己丙戊角【一卷十七】而对大角之戊丙边宜大于对小角之戊己边矣【一卷十九】夫戊丙与戊丁等也戊丙大于戊已则戊丁亦大于戊己乎 　　又论曰若云丙非直角即其两旁角一鋭一钝令乙丙戊为鋭角则鋭角乃大于半圜分角乎【本篇十六】第十九题 　　直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙为甲乙 　　之垂线题言圜心在戊丙线内 　　论曰如云不然心在于已令从已作己丙直线即己丙亦为甲乙之垂线【本篇十八】而已 　　丙甲与戊丙甲等为直角是全与其分等矣 　　第二十题 　　负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角 　　解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言乙丁丙角倍大于乙甲丙角 　　先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其甲丁乙角形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角 　　等【一卷五】而乙丁戊外角与内相对两角并等【一卷卅二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角 　　次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰如上图依前论推显乙丁丙外角等于内相对之丁甲丙丁丙甲两 　　角并【一卷卅二】而丁甲丁丙两腰等即甲丙两角亦等【一卷五】则乙丁丙角倍大于乙甲丙角 　　后论分圜角在负圜角线之外而甲乙截丁丙者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其戊丁丙分圜角与戊甲丙负圜角同 　　以戊乙两圜分为底如前次论戊丁丙角倍大于戊甲丙角依显戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角戊甲丙角减戊甲乙角则所存乙丁丙角必倍大于乙甲丙角 　　増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或小于半圜则丁心外余地亦倍大于同底之负圜角 　　论曰试从甲过丁心作甲戊线即丁心外余地分为乙丁戊戊丁丙两角依前论推显此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角 　　第二十一题 　　凡同圜分内所作负圜角俱等 　　解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜分内任作丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等 　　先论函心大分所作曰试从戊作戊丁戊丙线其丁戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角【本篇十二】即 　　甲乙两角自相等【公论七】 　　后论半圜分不函心小分所作曰丁甲乙丙或为半圜分或为不函心小分俱从甲从乙过戊作甲己乙庚两线若不函心更从戊作戊丁戊丙两线其丁戊己分圜角既倍大于丁甲己负圜角【本篇二十】依显丙戊 　　己分圜角亦倍大于丙甲己负圜角而丁戊庚庚戊己两角与丁戊己一角等则丁戊庚庚戊己己戊丙三角必倍大于丁甲丙依显此三角亦倍大于丁乙丙则丁甲丙丁乙丙两角自相等 　　又后论曰二十题増言分圜不作角其心外余地倍 　　大于同底各负圜角即各角自相等又后论曰甲丙乙丁线交罗相遇为已试作甲乙线相联其甲丁己角形之三角并与乙丙己角形之三角并等【一卷卅二】次每减一交角相等之甲己丁乙己丙【一卷十五】即己甲丁己丁甲两角并与己丙乙己乙丙两角并等矣而甲丁乙乙丙甲两角同在甲丁丙乙函心大分内又等【本题第一论】则丁甲丙与丙乙丁亦等 　　又后论曰丁丙之外任取一界为已作丁己丙己两线令俱函心而丁甲乙丙己与丙乙甲丁己俱为大分次于甲己乙己各作直线相聨其丁甲已与丁乙己两角同负于甲乙丙己圜界即等【本题第一论】依显丙乙己与丙甲已两角同负丙乙甲丁己圜界又等此二相等率并之则丁甲丙丁乙丙两全角亦等 　　第二十二题 　　圜内切界四边形每相对两角并与两直角等 　　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等