几何原本 - 第 3 页/共 22 页

有二横直线或正或偏任加一纵线若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直线任意作一戊己纵线或正或偏若戊己线同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁线愈长 　　愈相近必有相遇之处 　　欲明此理宜察平行线不得相遇者【界说卅四】加一垂线即三线之间定为直角便知此论两角小于直角者其行不得不相遇矣 　　第十二论 　　两直线不能为有界之形 　　第十三论 　　两直线止能于一防相遇 　　如云线长界近相交不止一防试于丙乙二界各出直线交于丁假令其交不止一防当引至甲则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径而甲丁 　　丙亦如之【界说十七】夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也【界说十七】甲丁乙为全甲丁丙为其分而俱称右半是全与其分等也【本篇九】 　　第十四论 　　有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等 　　甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊于丙丁加丁己则甲戊大于丙己者庚戊线也而乙戊大 　　于丁己亦如之 　　第十五论 　　有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与元所赢之度等 　　如上图反说之戊乙己丁线不等于戊乙加乙甲于己丁加丁丙则戊甲大于己丙者戊庚线也而戊乙大于己丁亦如之 　　第十六论 　　有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等 　　甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙于丙丁减己丁则乙戊大于丁己者庚戊也而丙己大于甲戊亦如之 　　第十七论 　　有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与元所赢之度等 　　如十四论反说之甲戊丙己线不等于甲戊减甲乙于丙己减丙丁则乙戊长于丁己者亦庚戊也与甲戊长于丙己者等矣 　　第十八论 　　全与诸分之并等 　　第十九论 　　有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较【相减之余曰较】 　　如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七 　　几何原本卷一之首 　　钦定四库全书 　　几何原本卷一 　　西洋利玛窦撰 　　第一题 　　于有界直线上求立平边三角形 　　法曰甲乙直线上求立平边三角形先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲 　　至丙丙至乙各作直线即甲乙丙为平边三角形论曰以甲为心至圜之界其甲乙线与甲丙甲丁线等以乙为心则乙甲线与乙丙乙丁线亦等何者凡为圜自心至界各线俱等故【界説十五】既乙丙等于乙甲而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙丙【公论一】三边等如所求【凡论有二种此以是为论者正论也下仿此】 　　其用法不必作两圜但以甲为心乙为界作近丙一短界线乙为心甲为界亦如之 　　两短界线交处即得丙 　　诸三角形俱推前用法作之【详本篇卄二】 　　第二题 　　一直线线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等 　　法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界【乙为心丙为界亦可作】作丙乙圜【第三求】次观甲防若在丙乙之外则自甲至丙作甲丙线【第一求】如上前图或甲在丙乙之内则截取甲至丙一分线如上后图两法俱以甲丙线为底任于 　　上下作甲丁丙平边三角形【本篇一】次自三角形两腰线引长之【第二求】其丁丙引至丙乙圜界而止为丙戊线其丁甲引之出丙乙圜外稍长为甲己线末以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等 　　论曰丁戊丁庚线同以丁为心戊庚为界故等【界説十五】于丁戊线减丁丙丁庚线减丁甲其所减两腰线等则所存亦等【公论三】夫丙戊与丙乙同以丙为心戊乙为界亦等【界説十五】即甲庚与丙乙等【公论一】 　　若所设甲防即在丙乙线之一界其法尤易假如防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求第三题 　　两直线一长一短求于长线减去短线之度 　　法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先以甲为度从乙引至别界作乙丁线【本篇二】次以乙为心丁为界作圜【第三求】圜界与乙丙交于 　　戊即乙戊与等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜故【界説十五】 　　第四题 　　两三角形若相当之两腰线各等各两腰线间之角等则两底线必等而两形亦等其余各两角相当者俱等 　　解曰甲乙丙丁戊己两三角形之甲与丁两角等甲丙与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底线必等而两三角形亦等甲乙丙与丁戊己两角甲丙乙与丁己戊两角俱等 　　论曰如云乙丙与戊己不等即令将甲角置 　　丁角之上两角必相合无大小甲丙与丁己甲乙与丁戊亦必相合无大小【公论八】此二俱等而云乙丙与戊己不等必乙丙底或在戊己之上为庚或在其下为辛矣戊己既为直线而戊庚己又为直线则两线当别作一形是两线能相合为形也辛仿此【公论十二　此以非为论者驳论也下仿此】 　　第五题 　　三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等 　　解曰甲乙丙三角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又自甲丙线任引至戊甲乙线任引至丁 　　其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等 　　论曰试如甲戊线稍长即从甲戊截取一分与甲丁等为甲己【本篇三】次自丙至丁乙至己各作直线【第一求】即甲己乙甲丁丙两三角形必等何者此两形之甲角同甲己与甲丁两腰又等甲乙与甲丙两腰又等则其底丙丁与乙己必等而底线两端相当之各两角亦等矣【本篇四】又乙丙己与丙乙丁两三角形亦等何者此两形之丙丁乙与乙己丙两角既等【本论】而甲己甲丁两腰 　　各减相等之甲丙甲乙线即所存丙己乙丁两腰又等【公论三】丙丁与乙己两底又等【本论】又乙丙同腰即乙丙丁与丙乙己两角亦等也则丙之外乙丙己角与乙之外丙乙丁角必等矣【本篇四】次观甲乙己与甲丙丁两角既等于甲乙己减丙乙己角甲丙丁减乙丙丁角则所存甲丙乙与甲乙丙两角必等【公论三】 　　増从前形知三边等形其三角俱等 　　第六题 　　三角形若底线两端之两角等则两腰亦等 　　解曰甲乙丙三角形其甲乙丙与甲丙乙两角等题言甲乙与甲丙两腰亦等 　　论曰如云两腰线不等而一长一短试辩之若甲乙为长线即令比甲丙线截去所长之度为乙丁线而乙丁与甲丙等【本篇三】次自丁至丙作直线则本形成两三角形其一为甲乙丙其一为丁乙丙而甲乙丙全形与丁乙丙分形同也是全与其分等也【公论九】何者彼言丁乙丙分形之乙丁与甲乙丙全形之甲丙两线既等丁乙丙分形之乙丙与甲乙丙全形之乙丙又同线而元设丁乙丙与甲丙乙两角等则丁乙丙与甲乙丙两形亦等也【本篇四】 　　是全与其分等也故底线两端之两角等者两腰必等也 　　第七题 　　一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇 　　解曰甲乙线为底于甲于乙各出一线至丙防相遇题言此为一定之处不得于甲上更出一线与甲丙等乙上更出一线与乙丙等 　　而不于丙相遇 　　论曰若言有别相遇于丁者即问丁当在丙内邪丙外邪若言丁在丙内则有二説俱不可通何者若言丁在甲丙元线之内则如第一图丁在甲丙两界之间矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙与甲丁等也是全与其分等也【公论九】若言丁在甲丙乙三角顶间则如第二图丁在甲丙乙之间矣即令自丙至丁作丙丁线而乙丁丙甲丁丙又成两三角形次从乙丁引出至己从乙丙引出至戊则乙丁丙形之乙丁乙丙两腰等者其底线两端之两角乙丁丙乙丙丁宜亦等也其底之外两角己丁丙戊丙丁宜亦等也【本篇五】而甲丁丙形之甲丁甲丙两腰等者其底线两端之两角甲丙丁甲丁丙宜亦等也【本篇五】夫甲丙丁角本小于戊丙丁角而为其分今言甲丁丙与甲丙丁两角等则甲丁丙亦小于戊丙丁矣何况己丁丙又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外两角等乎若言丁在丙外又有三説俱不可通 　　何者若言丁在甲丙元线外是丁甲即在丙甲元线之上则甲丙与甲丁等矣即如上第一説驳之若言丁在甲丙乙三角顶外即如上第二説驳之若言丁在丙外而后出二线一在三角形内一在其外甲丁线与乙丙线相交如第五图即令将丙丁相联作直线是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜与甲丁丙两角等也【本篇五】夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而为其分据如彼论则甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜与丁丙乙两角等也【本篇五】夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而为其分据如彼论则丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二説者岂不自相戾乎 　　第八题 　　两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等 　　解曰甲乙丙丁戊己两三角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙与戊己两底亦等题言甲与丁两角必等 　　论曰试以丁戊己形加于甲乙丙形之上问丁角在甲角上邪否邪若在上即两角等矣【公论八】或谓不然乃在于庚即问庚当在丁戊 　　线之内邪或在三角顶之内邪或在三角顶之外邪皆依前论驳之【本篇七】 　　系本题止论甲丁角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等则角必等不可疑也 　　第九题 　　有直线角求两平分之 　　法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁【本篇三】次于甲丙亦 　　截甲戊与甲丁等次自丁至戊作直线次以丁戊为底立平边三角形【本篇一】为丁戊己形末自己至甲作直线即乙甲丙角为两平分 　　论曰丁甲己与戊甲己两三角形之甲丁与甲戊两线等甲己同是一线戊己与丁己两底又等【何言两底等初从戊丁底作此三角平形此二线为腰各等戊丁故】则丁甲己与戊甲己两角必等【本篇八】 　　用法如上截取甲丁甲戊即以丁为 　　心向乙丙间任作一短界线次用元