几何原本 - 第 20 页/共 22 页
两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等法曰甲乙两直线形求作他直线形与甲相似与乙相等先于求相似之甲形任取一边如丙丁于丙丁边上作平行方形与甲等为丙戊【一卷四四四五】次于丁戊边上作平行方形与乙等而戊丁庚角
与丁丙己角等为丁辛其丙丁庚己戊辛俱为直线也【一卷四五可推】次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率【本篇十三】末于壬癸上作子形与甲相似而体势等【本篇十八】即子形与乙等
论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例即依本篇二十题之系可显一丙丁与三丁庚之比例若一丙丁上之甲与二壬癸上之子两形相似而体势等者之比例也又丙丁与丁庚之比例若丙戊与丁辛两等髙平行方形之比例也【本篇一】则丙戊与丁辛若甲与子矣夫丙戊与丁辛元若甲与乙也【丙戊与甲等丁辛与乙等】则甲与乙之比例若甲与子也【五卷十一】而乙形与子形等矣【五卷九】
第二十六题
平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线解曰乙丁平行方形之内减戊庚平行方形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角题言戊庚形必依乙丁形之对角线
论曰试作甲己己丙对角两线若两线为一直线即显戊庚形依甲丙对角线矣如云甲己己丙非一直线令别作元
形之对角线而分戊己邉于辛即作辛壬线与己庚平行其乙丁戊壬两平行方形既同依甲辛丙一直对角线则宜相似而体势等矣【本篇廿四】是乙甲与甲丁之比例宜若戊甲与甲壬也夫乙甲与甲丁元若戊甲与甲庚【元设形相似而体势等】今若所云则戊甲与甲庚亦若戊甲与甲壬矣【五卷十一】而甲壬分与甲庚全亦等矣【五卷九】可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬与己戊平行依前论驳之
第二十七题
凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形
解曰甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形其对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半
线上之阙形【本卷界说六】此两形相等相似势体又等题言甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形
论曰试于乙丁对角线上任取一防为庚从庚作己庚壬线庚癸线与甲乙乙戊各平行即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形而癸壬为其阙形此癸壬阙形既依乙丁对角线则与丙戊阙形相似而体势等【本篇廿四】夫丙庚庚戊两余方形既等【一卷四三】若每加一癸壬角线方形即丙壬与癸戊亦等也又丙壬与丙己俱在两平行线内底等即两形等【一卷三六】而丙己与癸戊两形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方形与子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬折形之外尚有庚丁形则丙戊形必大于子丑磬折形而等丙戊之甲丁形【丙戊甲丁同在两平行线内又等底故见一卷三六】必大于等磬折形之甲庚形矣依显凡依乙丁对角线作形与丙戊相形者其有阙依形俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也
又论甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬两平行方形同在两平行线内又底等即两形
等【一卷卅六】而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较余一庚丁形其大于丙庚亦如之【庚戊丙庚两余方形等故见一卷四三】即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦较余一庚丁形也次每加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚防在丙戊形外即引乙丁对角线至庚从庚作辛丑线与癸戊平行次引甲癸线至辛引乙戊线至丑而与辛丑线遇于辛于丑末作庚己线与辛甲平行
即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形又得己丑与丙戊相似而体势等者【两形同依乙庚对角线故见本篇廿四】为其阙形也题言甲丁形亦大于甲庚形
论曰试于丙丁线引出之至子即辛子子丑两线等【一卷卅四】而辛丁丁丑两形亦等【一卷卅六】其丁丑己丁两余方形既等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既较余一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较余一庚丁形也此两率者每加一甲壬平行方形则甲丁大于甲庚者亦较余一庚丁形矣依显凡乙丁对角线引出丙戊形外依而作形与丙戊相似者其有阙依形俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也
第二十八题
一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者
法曰甲乙线求作依线之有阙平行方形与所设直线形丙等而其阙形与所设平行方形丁相似先以
甲乙线两平分于戊次于戊乙半线
上作戊己庚乙平行方形与丁相似
而体势等【本篇十八】次作甲辛庚乙满元
线平行方形若甲己平行方形与丙
等者【本篇廿五】即得所求矣若甲己大于
丙者【题言甲己小即不可作见本篇廿七】即等甲己之
戊庚亦大于丙也则寻戊庚之大于丙几何假令其较为壬【两直线形不等相减之较法见一卷四五増】即作癸子丑寅平行方形与壬等又与戊庚形相似而体势【本篇廿五】则戊庚平行方形与丙直线形及癸丑平行方形并等而戊庚必大于癸丑矣夫戊庚与癸丑既相似即戊己与巳庚两边之比例若寅癸与癸子也而戊庚既大于癸丑即戊己己庚两邉亦大于寅癸癸子也次截取己巳己夘与癸子癸寅等而作己己辰夘平行方形必与
癸丑形相等相似而体势等矣又夘
己形既与戊庚相似而体势等必同
依乙己对角线也【本篇廿六】次于己辰线
引出抵甲乙元线于夘辰两界各引
出作午未线即甲辰为依甲乙线之
有阙平行方形与丙等而其阙形乙
辰与戊庚相似【本篇廿四】即亦与丁相似
论曰辰庚与辰戊两余方形既等【一卷四三】每加一乙辰角线方形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未亦等【戊午戊未同在平行线内又底等故见一卷卅六】乙己与戊未既等又每加一申辰方形即甲辰平行方形与申酉罄折形亦等矣夫申酉罄折形为戊庚形之分而戊庚与丙及癸丑等戊庚所截去之夘己又与癸丑等则申酉罄折形与丙等也而甲辰亦与丙等也
第二十九题
一直线求作依线之带余平行方形与所设直线形等而其余形与所设平行方形相似
法曰甲乙线求作依线之带余平行
方形与所设直线形丙等而其余形
与所设平行方形丁相似先以甲乙
线两平分于戊次于戊乙半线上作
戊己庚乙平行方形与丁相似而体
势等【本篇十八】次别作一平行方形与丙及
戊庚并等为辛【二卷十四】次别作一平行方形与辛等又与丁相似而体势等为壬癸子丑【本篇廿五】其丑癸既与辛等即大于戊庚而丑癸既与戊庚相似即丑壬与壬癸两邉之比例若戊己与己庚也而丑壬与壬癸两线必大于戊巳与巳庚也【若等或小即丑癸不大于戊庚】次于巳戊引之至卯与壬丑等于巳庚引之至寅与壬癸等而作卯寅平行方形即卯寅与丑癸同依辰巳对角线而等【本篇廿六】又与戊庚相似而体势等矣次于甲乙引之至巳庚乙引之至午于午卯引之至未末作甲未线与己夘平行即得甲辰带余平行方形依甲乙线与丙等而己午为其余形与戊庚形相似而体势等【本篇廿四】即与丁相似而体势等
论曰甲夘戊午两形既等【一卷卅六】戊午与乙寅两余方形又等【一卷四三】则甲夘与乙寅亦等矣而每加一夘己形则甲辰平行方形与戊辰寅罄折形亦等矣夫戊辰寅罄折形元与丙等【丑癸即夘寅与丙及戊庚并等每减一戊庚即罄折形与丙等】即甲辰亦与丙等
第三十题
一直线求作理分中末线
法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲乙丙丁直角方形次依丁甲邉作丁己带
余平行方形与甲丙直角方形等而甲己为其余形又与甲丙形相似【本篇廿九】即甲己亦直角方形矣【惟直角方形恒与直角方形相似】则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也【本卷界说三】
论曰丁己与甲丙两形既等每减一甲戊形即所存甲己辛丙两形亦等矣此两形之甲辛己戊辛乙两角既等【两皆直角故】即两角旁之各两邉线为互相视之线也【本篇十四】而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线其为比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙线为理分中末也
又论曰甲乙甲辛辛乙凡三线而第一第三矩内之辛丙直角形与第二甲辛上直角方形等即三线为连比例【本篇十七】而甲乙与甲辛若甲辛与辛乙矣又法曰甲乙线求分于丙而甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等【二卷十一】即甲乙之分于丙为理分中末线盖甲乙甲丙丙乙三线
为连比例故【本篇廿七】
第三十一题
三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形若相似而体势等则一形与两形并等
解曰甲乙丙三邉直角形乙甲丙为直角于乙丙上任作直线形为乙丙丁戊次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙壬辛两形与乙丁形相似而体势等【本篇】
【十八】题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
论曰试从甲作甲癸为乙丙之垂线依本篇第八题之系即乙丙与丙甲两邉之比例若丙甲与丙癸两邉则一乙丙邉与三丙癸邉之比例若一乙丙上之乙丁形与二甲丙上之丙辛形也【本篇十九或二十之系】反之则丙癸与乙丙两邉之比例若丙辛与乙丁两形也依显乙癸与乙丙两邉之比例若乙庚与乙丁两形也【乙丙乙甲乙癸三邉为连比例故见本篇八之系】夫一丙癸与二乙丙之比例既若三丙辛与四乙丁而五乙癸与二乙丙之比例亦若六乙庚与四乙丁则一丙癸五乙癸并与二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也既一丙癸五乙癸并与二乙丙等则三丙辛六乙庚并与四乙丁亦等【五卷廿四】
又论曰甲乙丙与癸甲丙两角形既相似而甲乙丙角形其乙丙与丙甲之比例若癸甲丙角形之丙甲与丙癸【本篇八】即乙丙与丙甲两邉相似则癸甲丙与
甲乙丙两角形之比例为丙甲与乙丙再加之比例【本篇十九】而丙辛与乙丁两形之比例亦为丙甲与乙丙再加之比例【本篇十九二十】则癸甲丙与甲乙丙两角形之比例若丙辛与乙丁两形也【五卷十一】依显癸乙甲与甲乙丙两角形之比例若乙庚与乙丁两形也是一甲癸丙与二甲乙丙之比例若三丙辛与四乙丁也而五癸乙甲与二甲乙丙之比例若六乙庚与四乙丁也即一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也【五卷廿四】既一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙等则三丙辛六乙庚并与四乙丁亦等
又论曰一甲丙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例若三丙辛形与四乙丁形【此两率之比例皆甲丙与乙丙再加之比例见本篇十九二十】又五甲乙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例若六乙庚形与四乙丁形即一甲丙上五甲乙上两直角方形并与二乙丙上直角方形之比例若三丙辛六乙庚两形并与四乙丁形【五卷廿四】旣甲丙甲乙上两直角方形并与乙丙上直角方形等【一卷四十】则丙
辛乙庚两形并与乙丁形等
増题角形之一邉上一形与余两邉上两形相似而体势等者其一形与两形并等则余两邉内角必直角
解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直线形与甲乙甲丙上两形相似而体势等其一形与两形并等题言乙甲丙必直角
论曰试作甲丁为甲丙之垂线与甲乙等次作丁丙线其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形与乙丙上形相似其丁丙上形与丁甲甲丙上相似而体势等之两形并等矣【本题】又甲丁与甲乙等其上两形亦等即丁丙上形与甲乙甲丙上两形并亦等而乙丙上形元与甲乙甲丙上两形并等则丁丙乙丙上两形亦等而丁丙与乙丙两线亦等【本篇廿二补论】夫甲丙丁角形之甲丁与甲乙丙角形之甲乙等甲丙同邉其底乙丙丁丙又等即丁甲丙与乙甲丙两角必等丁甲丙既直角则乙甲丙亦直角
第三十二题
两三角形此形之两邉与彼形之两邉相似而平置两形成一外角若各相似之各两邉各平行则其余各一邉相聨为一直线
解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙甲丙邉
与丁丙丁戊邉相似者谓甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戌各相似之两邉各平行题言乙丙丙戊为一直线
论曰甲乙与丁丙既平行即甲角与内相对之甲丙丁等【一卷廿九】依显丁角亦与内相对之甲丙丁等则甲丁两角等而甲乙丙与丁丙戊两角形之甲丁两角旁各两邉比例又等即两形为等角形而乙角与丁丙戊角必等【本篇六】次于乙角加甲角于丁丙戊角加等甲之甲丙丁角即乙甲两角并与等甲丙丁丁丙戊两角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲乙丙形之内三角并与甲丙乙甲丙戊两角并等夫甲乙丙形之内三角等两直角【一卷卅二】则甲丙乙甲丙戊并亦等两直角而为一直线【一卷十四】
第三十三题【三支】
等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例
解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心为丁为辛两圜各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙
丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分先论曰试作乙丙己庚两线次作丙壬合圜线与乙丙等作庚癸癸子两合圜线各与己庚等【四卷一】其丙壬既与乙丙等即乙丙与丙壬两圜分亦等【三卷十八】而乙丁丙与丙丁壬两角亦等【三卷廿七】依显己庚庚癸癸子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等则乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数如在心乙丁壬角或乙丁壬内地倍乙丁丙角之数而己庚癸子圜分倍己庚圜分之数如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛庚角之数何者乙丁壬己辛子两角或两地内之分数与乙丙壬己庚癸子两圜分内之分数各等故也然则乙丁壬角与地若等于己辛子角与地即乙丙壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等大小皆同类也则一乙丙与二己庚之比例若三乙丁丙与四己辛庚也【五卷界说六】
次论曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦倍大于己戊庚【三卷二十】即乙丁丙与己辛庚两角之比例若乙甲丙与己戊庚两角矣【五卷廿五】则乙甲丙与己戊庚在界乗圜之两角亦若乙丙与己庚两圜分也【五卷十一】若作甲壬戊癸直线亦可用先论推显【用地当角说见三卷廿増题】
后论曰试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜分内作丙寅壬角此两角所乗之乙甲壬丙与丙乙甲壬两圜分既等【三卷廿七】即两角亦等而乙丑丙与丙寅壬两圜小分亦相似亦相等【乙丙与丙壬两合圜线等故见三卷廿四】次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙丁壬两分圜形等【一卷四】则乙丁壬分圜形倍乙丁丙分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数亦如己庚癸子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小矣【五卷界说六】是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小
皆同类也则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例若三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也【五卷界说六】一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分
丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线竟不及有比例之靣故因其义类増益数题用补阙如左云窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也
今増题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲
乙丙与丁戊己为甲丙与丁
己再加之比例
论曰如云不然当言甲乙丙
圜与小于丁戊己之庚辛壬
圜或大于丁戊己之癸子丑
圜为甲丙与丁己再加之比
例也【五卷界说二十増】若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未己申酉戌多邉切形其多邉为偶数又等而全不至内圜也【四卷十六补题】次于甲乙丙圜内作甲午乙寅丙夘辰己多邉切形与丁戊己圜内切形相似【四卷十六补题可推】其两圜内两径上有丁亥戊未己与甲午乙寅丙相似之两多邉形则为两相似邉再加之比例也【本篇二十】而甲丙与丁己两线为两形之相似邉据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与癸子丑两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与
甲乙丙两圜之比例为丁己
与甲丙两径再加之比例也
设他圜干兊离令癸子丑与
甲乙丙之比例若丁戊己与
干兊离【五卷界说増】则丁戊己与
干兊离两圜亦宜为丁己与
甲丙两径再加之比例也癸子丑既大于丁戊己即甲乙丙亦大于干兊离而丁戊己与小于甲乙丙之干兊离两圜能为丁己与甲丙两径再加之比例乎【前己驳有两圜其第一与他圜之小于第二者不得为元圜两径再加之比例】夫甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为其元两径再加之比例
一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等葢诸比例皆两径再加之比例故二系三边直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等【本篇卅一可推】
三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者【本篇十九二十之系可推】
一増题直线形求减所命分其所减所存各作形
与所设形相似而体势等
法曰如甲直线形求减三分之一其所减所存各作形与所设乙形相似而体势等先作丙丁形与甲等与乙相似而体势等【本篇廿五】次任于其一邉如丙戊上
作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚戊次从庚作己庚为丙戊之垂线【本篇九】次作己丙己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各与丙丁相似而体势等【本篇十八】即所求