几何原本 - 第 18 页/共 22 页

论曰甲己乙甲庚丁两角形既相似【本系】即甲己与己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五卷十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五卷十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷十六】又论曰甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与庚甲也【本系】依显甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷廿二】 　　第五题 　　两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等 　　觧曰甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲角等【一卷三二】是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲 　　乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】又乙丙与甲丙之比例若戊己与庚己【本篇四】而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊己与庚己亦若戊己与丁己也【五卷十一】而丁己与庚己两线必等【五卷九】夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己同底即丁角与庚角亦等【一卷八】其余庚戊己与丁戊己庚己戊与丁己戊各相当之角俱等【一卷四】而庚角与甲角既等即丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等第六题 　　两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等 　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言余角丙与己甲与丁俱等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁 　　戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】夫丁戊庚戊两边既等戊己同边庚戊己角与丁戊己角又等【丁戊己角与乙角等而己戊庚亦与乙等故】即其余各相当之角俱等【一卷四】而庚角既与甲角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣 　　第七题 　　两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等解曰甲乙丙丁戊己两角形其一甲角与一丁角等而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙乙两邉偕丁己戊两旁之丁己己戊两邉比例等其第三相当角如乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形等角者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然 　　而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙角宜与戊等【一卷卅二】甲庚丙与丁戊己为等角形矣即甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊【本篇四】而先设甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若甲丙与丙乙也【五卷十一】是庚丙与乙丙两线等也【五卷九】丙庚乙与丙乙庚两角亦等也【一卷五】夫乙既小于直角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚甲必大于直角也【丙庚甲丙庚乙两角等于两直角见一卷十三】而丙庚甲既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角何由得小于直角也 　　后论乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角【一卷十七】何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其余乙与戊角等矣【一卷卅二】 　　第八题 　　直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似 　　解曰甲乙丙直角三邉形从乙甲丙直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两三邉形皆与全形相似亦自相似 　　论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同即其余甲乙丙丁甲丙两角必等【一卷三】则甲乙丙甲丁丙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等等者谓乙丙与甲丙若甲丙与丙丁也甲丙与甲乙若丙丁与甲丁也乙丙与甲乙若甲丙与甲丁也即甲丁丙角形与甲乙丙全形相似矣【本篇四】依显甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其余甲丙乙丁甲乙两角必等【一卷卅二】甲乙丙甲丁乙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等故也依显甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各与全形相似即两形自相似【五卷十一】 　　系从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与丁甲之比例若丁甲与丁乙也故丁甲为丙丁丁乙两分邉比例之中率也又乙丙与丙甲之比例若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率也乙丙与乙甲之比例若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率也 　　第九题 　　一直线求截所取之分 　　法曰甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即 　　甲庚为甲乙三分之一 　　论曰甲乙己角形内之丁庚线既与乙己邉平行即己丁与丁甲之比例若乙庚与庚甲也【本篇二】合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也【五卷十八】而甲丁既为己甲三分之一即庚甲亦为乙甲三分之一也 　　注曰甲乙线欲截取十一分之四先作甲丙线为丙甲乙角从甲向丙任平分十一分至丁次作丁乙线末从甲取四分得戊作戊己线与丁乙平行即甲己为十一分甲乙之四何者依上论丁甲与戊甲之比 　　例若乙甲与己甲也反之甲戊与甲丁若甲己与甲乙也【五卷四】甲戊为甲丁十一分之四则甲己亦甲乙十一分之四矣依此可推不尽分之数葢四不为十一之尽分故 　　第十题 　　一直线求截各分如所设之截分 　　法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聮 　　于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聮末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之分于丁于戊 　　论曰甲丁与丁戊之比例既若甲己与己庚【本篇二】即甲己与己庚亦若甲丁与丁戊也更作丁辛线与甲乙平行而分戊庚于壬即丁戊与戊丙若丁壬与壬辛也亦若等丁壬之己庚【一卷卅四】与等壬辛之庚乙也【本篇二】则己庚与庚乙亦若丁戊与戊丙也 　　从此题作一用法平分一直线为若干分如甲乙线求五平分即从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平分为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线相聨末作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即 　　壬癸子丑分甲乙为五平分其理依前论推显又一简法如甲乙线求五平分即从丙任作丙乙线为丙乙甲角次于乙丙任取一防为丁作丁戊线与 　　甲乙平行次从丁向戊任作五平分 　　为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸 　　线令小于甲乙次从甲过癸作甲子 　　线遇乙丙于子末从子作子壬子辛 　　子庚子己四线各引长之而分甲乙 　　于丑于寅于夘于辰为五平分 　　论曰丁戊与甲乙既平行即子壬癸与子丑甲两角子癸壬与子甲丑两角各等【一卷廿九】而甲子丑同角即甲子丑癸子壬两角形相似矣则子癸与癸壬之比例若子甲与甲丑也【本篇四】依显子壬与壬辛若子丑与丑寅也又癸壬与壬辛等即子壬与壬癸若子壬与壬辛也【五卷七】则子丑与丑甲亦若子丑与丑寅也而甲丑丑寅两线等矣【五卷十一】依显寅夘夘辰辰乙俱与甲丑等则甲乙线为五平分又一简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分 　　次用元度从甲作壬癸子丑四平分 　　末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨 　　即分甲乙于己于辰于夘于寅为五 　　平分 　　论曰辛庚与壬癸既平行相等即辛 　　壬与庚癸亦平行【一卷卅三】依显己子戊 　　丑俱平行而甲丑既为四平分则甲 　　己亦四平分【本题】依显乙辛既为四平 　　分则乙寅亦四平分而通甲乙为五平分 　　又用法先作一器丙丁戊己为 　　平行线任平分为若干格每分 　　作平行线相聨今欲分甲乙为 　　五平分即规取甲乙之度以一 　　角抵戊丙线而一角抵庚辛线如不在庚辛者即渐移之令至也既至壬即戊壬之分为甲乙之分论曰庚癸与子辛既平行相等即癸子庚辛亦平行相等【一卷卅三】而丙丁戊己内诸线俱平行相等戊庚为五平分即戊壬亦五平分矣【本题】戊壬之度既与甲乙等即自戊至壬诸格分甲乙为五平分也如戊丙线上取丑防而甲乙度抵庚辛之外若丑寅即从庚辛线引长之为庚寅而癸子诸线俱引长之其丑寅仍为五平分如前论若所欲分之线极小则制器宜宻令相称焉 　　増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例 　　法曰甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲戊线而为甲角次截取甲己与丙等己庚与丁 　　等次作庚乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁说见本篇二 　　又増题两直线各三分之各互为两前后率比例等即两中率与两前两后率各为比例亦等 　　解曰甲乙丙丁两线各三分之于戊 　　于己于庚于辛各互为两前两后率 　　比例等者甲戊与戊乙若丙庚与庚 　　丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也题言中率戊己庚辛各与其前后率为比例亦等者甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己若辛丁与庚辛也论曰甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即合之甲乙与戊乙若丙丁与庚丁也而甲己与己乙既若丙辛与辛丁即合之甲乙与己乙若丙丁与辛丁也又反之己乙与甲乙若辛丁与丙丁也夫己乙与甲乙既若辛丁与丙丁而甲乙与戊乙又 　　若丙丁与庚丁即平之己乙与戊乙 　　亦若辛丁与庚丁也【五卷廿二】又转之戊 　　乙与戊己若庚丁与庚辛也又分之 　　己乙与戊己若辛丁与庚辛也此后解也又甲戊与戊乙既若丙庚与庚丁而戊乙与戊己又若庚丁与庚辛即平之甲戊与戊己若丙庚与庚辛也此前觧也 　　又简论曰如后圗聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行【本篇二】甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行【本篇二】而庚戊与辛己亦平行【一卷三十】是甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也【本篇二】 　　第十一题 　　两直线求别作一线相与为连比例 　　法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者合两线任作甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先于甲乙引长之为乙 　　丁与甲丙等次作丙乙线相聨次从丁作丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求 　　线【如以甲丙为前率仿此】 　　论曰甲丁戊角形内之丙乙线既与戊丁邉平行即甲乙与乙丁之比例若甲丙与丙戊 　　也【本篇二】而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与 　　丙戊也【五卷七】 　　注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长 　　之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求线 　　论曰甲丙丁角形之甲丙丁既为直角而从直角至甲丁底有丙乙垂线即丙乙为甲乙乙丁比例之中率【本篇八之系】则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也既从一二得三即从二三求四以上至于无穷俱仿此 　　第十二题 　　三直线求别作一线相与为断比例 　　法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙 　　次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊于戊即丁戊为所求线 　　论曰甲丙戊角形内之丁乙线既与丙戊边平行即甲丁与丁戊之比例若甲乙与乙丙【本篇二】 　　第十三题 　　两直线求别作一线为连比例之中率 　　法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平 　　分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率论曰试从丁作丁甲丁丙两线即甲丁丙为直角【三卷卅一】而直角所下乙丁垂线两分对邉线甲丙其甲乙与乙丁若乙丁与乙丙也【本篇八之系】则乙丁为甲乙乙丙之中率 　　注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为分径线之中率线如甲乙丙半圜其乙丁为甲丁丁丙之中率己戊为甲戊戊丙之 　　中率辛庚为甲庚庚丙之中率也何者半圜之内从垂线作角皆为直角【三卷卅一】故依前论推显各为中率也 　　増题一直线有他直线大于元线二倍以上求分他线为两分而以元线为中率 　　法曰甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以 　　丁为心甲乙为界作甲戊乙半圜次从丙作丙戊线与甲乙平行而遇半圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率 　　论曰试作戊甲戊乙两线依本题论即戊己为甲己己乙之中率而甲丙戊己为平行方形即丙甲与戊己等【一卷卅四】则丙甲亦甲己己乙之中率也 　　第十四题【二支】 　　两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等 　　先解曰甲乙丙辛乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角各两旁之两邉为互相视之邉者 　　甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也 　　论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚为一直线其甲乙丙与戊乙庚既等角卽戊乙乙丙亦一直线【一卷十五增题】次从辛丙己庚各引长之遇于丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛乙与乙丁两形之比例若乙己与乙丁 　　也【五卷七】而辛乙与乙丁俱在两平行线之内等髙即辛乙与乙丁两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本篇一】依显乙己与乙丁两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也 　　后觧曰甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两邉为互相视之邉者甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也题言辛乙乙己两平行方形等 　　论曰依上论以两等角相聨其甲乙与乙庚之比例既若戊乙与乙丙而甲乙与乙庚两底之比例若平行等髙之辛乙与乙丁两形【本篇一】戊乙与乙丙两底之比例若平行等髙之乙己与乙丁两形则辛乙与乙丁若乙己与乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等【五卷九】 　　第十五题【二支】