几何原本 - 第 19 页/共 22 页

相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等 　　先解曰甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视者谓甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙也 　　论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊为 　　一直线其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一直线【一卷十五増题】次作丙戊线相聨其甲乙丙乙丁戊两角形既等即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊也【五卷七】夫甲乙丙与乙丙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而乙丁戊与乙丙戊两等髙形亦若其底丁乙与乙丙也则甲乙与乙戊若丁乙与乙丙 　　后解曰两乙角等而乙旁各两边甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙题言甲乙丙乙丁戊两角形等论曰依前列两形令等角旁两邉各为一直线其甲乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙而甲乙与乙戊两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等髙角形丁乙与乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等髙角形则甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣而甲乙丙与乙丁戊岂不相等【五卷九】 　　第十六题【二支】 　　四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例 　　先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直线为断比例者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾两线矩内直角形戊己庚辛为戊己己庚 　　中两线矩内直角形题言甲丙戊庚两形等 　　论曰两形之乙与己既等为直角而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙是乙己等角旁之各两邉互相视而甲丙戊庚两直角形必等【本篇十四】 　　后解曰甲丙戊庚两直角形等题言四线之比例等者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也 　　论曰甲丙戊庚两形之乙与己既等为直角即等角旁之各两邉互相视而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙也【本篇十四】则四线为断比例矣 　　注曰若平行斜方形而等 　　角亦同此论如上圗 　　以上二题即筭家句股法三数筭法所頼也 　　第十七题【二支】 　　三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例 　　先解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例者甲乙与戊己若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾线矩内直角形戊己庚辛为戊己上直角方形题言甲丙戊庚两形等 　　论曰试作己庚线与戊己等即甲乙乙丙己庚戊己为比例等等者谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也则戊己己庚矩内直角形【即戊己上直角方形】与甲乙乙丙首尾线矩内之甲丙形等矣【本篇十六】 　　后解曰甲丙直角形与戊庚直角方形等题言甲乙与戊己之比例若戊己与乙丙 　　论曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙与戊己之比例若己庚与乙丙也【本篇十六】而己庚与乙丙亦若等己庚之戊己与乙丙【五卷七】则甲乙与戊己若戊己与乙丙矣 　　注曰若平行斜方形而等 　　角亦同此论如上圗 　　系凡直线上直角方形与他两线所作矩内直角形等即此线为他两线之中率何者依上后论甲乙乙丙矩内直角形与戊己上直角方形等即可推甲乙与戊己若戊己与乙丙而戊己为甲乙乙丙之中率故 　　第十八题 　　直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于设形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如上设形则从己向丙向丁作两直线而分为丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也 　　次于元线上作乙甲壬甲乙壬两角与丁丙己丙丁己两角各等其甲壬乙壬两线遇于壬即甲壬乙与丙己丁两角亦等而甲壬乙与丙己丁两形为等角形矣【一卷卅二】次作乙壬辛壬乙辛两角与丁己戊己丁戊两角各等其壬辛乙辛两线遇于辛即乙辛壬与丁戊己两角亦等而乙壬辛与丁己戊两形为等角形矣末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形即甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角则相似而体势等凡设多角形俱仿此 　　论曰壬甲乙角与己丙丁角既等而壬甲癸角与己丙庚角又等即乙甲癸全角与丁丙庚全角等依显甲乙辛与丙丁戊两全角亦等而其余各全角俱等则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚为等角形矣又甲乙与乙壬之比例既若丙丁与丁己而乙壬与乙辛亦若丁己与丁戊【本篇四】平之即甲乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也【五卷廿二】则甲乙辛丙丁戊两等角旁各两边之比例等 　　也而辛戊两等角旁各两边之比例亦等也【两形等角即等角旁各两边之比例等见本篇四】又辛壬与壬乙之比例既若戊己与己丁而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙壬甲与壬癸亦若己丙与己庚平之即辛壬与壬癸亦若戊己与巳庚也【五卷廿二】则辛壬癸戊己庚两等角旁各两边之比例等也依显余角俱如是则两形为等角形而各等角旁各两边之比例俱等是两形相似而体势等注曰凡线上形相当之各角等即形相似而体势等如上甲乙丙丁戊己两角形其乙丙戊己线上之乙角丙角与戊角己角相当相等者是也若两形在乙丙丁戊两线上则虽相似而体势不等又如上甲丙戊庚两直角形其甲丁与丁丙之比例若戊辛与辛庚而余邉之比例俱等亦形相似而体势等若甲丙壬庚两直 　　角形虽角旁比例等而在丁丙庚 　　辛线上不相当则体势不等 　　増作本题别有一简法如设甲乙 　　丙丁戊己直线形求于庚线上作 　　直线形与相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲己两线任引出之为甲辛甲丑次从甲向各角各任作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线末从辛作辛壬线与乙丙平行作壬癸与丙丁癸子与丁戊子丑与戊己各平行即所求 　　论曰两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角与甲辛壬甲丑子两角各等【一卷廿九】而甲丙乙甲丙丁两角与甲壬辛甲壬癸两角各等即乙丙丁与辛壬癸两全角亦等依显丙丁戊丁戊己与壬癸子癸子丑各全角各等则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸子丑两直线形为等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲癸子甲子丑四三角形与甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形各相似【本篇四之系】即甲乙与乙丙之比例若甲辛与辛壬也而乙丙与丙甲若辛壬与壬甲也丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也平之则乙丙与丙丁亦若辛壬与壬癸也依显余邉俱如是则两形相似而体势等也 　　第十九题 　　相似三角形之比例为其相似邉再加之比例 　　解曰如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己两邉再加之比例 　　先论曰若两角形等即乙丙与戊己两邉亦等而各两等邉为相同之比例即两形亦相同之比例就令作再加之比例亦未免为相同之比例则相等之两形即可为 　　两等邉再加之比例矣 　　后论曰若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙线上截取乙庚为连比例之第三率令乙丙与戊己之比例若戊己与乙庚也【本篇十一】次作甲庚直线其甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也而乙丙与戊己若戊己与乙庚则甲乙与丁戊若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两角形有乙戊两 　　等角而各两旁之两邉又互相视【本篇十五】即两形等则甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙庚形矣【五卷七】又甲乙丙与甲乙庚两等髙角形之比例若乙丙底与乙庚底【本篇一】则甲乙丙形与丁戊己形之比例亦若乙丙底与乙庚底也既乙丙戊己乙庚三线为连比例则一乙丙与三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加之比例矣是甲乙丙与丁戊己两形之比 　　例为乙丙与戊己再加之比例也 　　系依本题可显凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例如上甲乙丙三直线为连比例 　　其甲与乙上各有角形相似而体势等则一甲线与三丙线之比例若甲形与乙形也何者甲线与丙线之比例为甲线与乙线再加之比例而甲形与乙形之比例亦甲线与乙线再加之比例则甲形与乙形之比例若甲线与丙线矣依显二乙上角形与三丙上角形相似而体势等则二乙形与三丙形之比例若一甲线与三丙线 　　第二十题【三支】 　　以三角形分相似之多邉直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例其元形之比例为两相似邉再加之比例 　　先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多邉直线形其乙甲戊庚己癸两角等余相当之各角俱等而各等角旁各两邉之比例各等题先言各以角形分之其角形之分数必等而相当之各角形各相似 　　论曰试从乙甲戊庚己癸两角向各对角俱作直线为甲丙甲丁己辛己壬其元形 　　既相似即角数等而所分角形之数亦等又乙角既与庚角等而角旁各两邉之比例亦等即甲乙丙与己庚辛两角形必相似【本篇六】乙甲丙与庚己辛两角甲丙乙与己辛庚两角各等而各等角旁各两邉之比例各等【本篇四】依显甲戊丁己癸壬两角形亦相似又甲丙与丙乙之比例既若己辛与辛庚而丙乙与丙丁若辛庚与辛壬【两元形相似故】平之即甲丙与丙丁若己辛与辛壬也【五卷廿二】又乙丙丁角既与庚辛壬角等而各减一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙丁角与己辛壬角必等则甲丙丁与己辛壬两角形亦等角形亦相似矣【本篇六】 　　次解曰题又言各相当角形之比例若两元形之比例 　　论曰甲乙丙己庚辛两角形既相似即两形之比例为甲丙己辛两相似邉再加之比例【本篇十九】依显甲丙丁己辛壬之比例亦为甲丙己辛再加之比例则甲乙丙与己庚辛两角形之比例若甲丙丁与己辛壬两角形之比例依显甲丁戊与己壬癸之比例亦若甲丙丁与己辛壬之比例则此形中诸角形之比例若彼形中诸角形之比例此诸形为前率彼诸形为 　　后率而一前与一后之比例又若并前与并后之比例【五卷十二】即此一角形与相当彼一角形之比例若此元形与彼元形之比例矣 　　后解曰题又言两多邉元形之比例为两相似邉再加之比例 　　论曰甲乙丙与己庚辛两角形之比例既若甲乙丙丁戊与己庚辛壬癸两多邉形之比例而甲乙丙与己庚辛两形之比例为甲乙己庚两相似邉再加之比例【本篇十九】则两元形亦为甲乙己庚再加之比例増题此直线倍大于彼直线则此线上方形与彼线上方形为四倍大之比例若此方形与彼方形为四倍大之比例则此方形邉与彼方形邉为二倍大之比例 　　先解曰甲线倍乙线题言甲上方形与乙上方形为四倍大之比例 　　论曰凡直角方形俱相似【本卷界说一】依本题 　　论则甲方形与乙方形之比例为甲线与乙线再加之比例甲线与乙线既为倍大之比例则两方形为四倍大之比例矣何者四倍大之比例为二倍大再加之比例若一二四为连比例故也 　　后解曰若甲上方形与乙上方形为四倍大之比例题言甲邉与乙邉为二倍大之比例 　　论曰两方形四倍大之比例既为两邉再加之比 　　例则甲邉二倍大于乙邉 　　系依此题可显三直线为连比例如甲乙丙则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形之比例若第一线与第三线之比 　　例 　　此系与本篇第十九题之系同论 　　第二十一题 　　两直线形各与他直线形相似则自相似 　　解曰甲乙丙丁戊己两直线形各与庚辛壬形相似题言两形亦自相似 　　论曰甲乙丙形之各角既与庚辛壬形之各角等而丁戊己形之各角亦与庚辛壬形之各角等即两形之各角自相等【公论】两形之各角既等则甲乙丙形与庚辛壬形各等角旁各邉之比例等【五卷十一】而丁戊己形与庚壬辛形各等角旁各邉之比例亦等也是甲乙丙 　　形与丁戊己形各等角旁各邉之比例亦等也各角既等各邉之比例又等即两形定相似矣【本卷界说一】第二十二题【二支】 　　四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例 　　先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直线为断比例者甲乙与丙丁若戊己与庚辛也今于甲乙丙丁上各任 　　作直线形自相似如甲乙壬丙丁癸 　　于戊己庚辛上各任作直线形自相 　　似如戊己丑子庚辛夘寅题言四形 　　亦为断比例者谓甲乙壬与丙丁癸 　　若戊丑与庚夘也 　　论曰试以甲乙丙丁两线求其连比 　　例之末率线为辰【本篇十一】次以戊己庚辛两线求其连比例之末率线为己平之即甲乙与辰之比例若戊己与己也【五卷廿二】夫甲乙壬与丙丁癸两相似形之比例若甲乙线与辰线【本篇十九及廿之系】而戊丑与庚夘两相似形之比例若戊己线与己线则甲乙壬与丙丁癸之比例亦若戊丑与庚夘矣【五卷十一】 　　后解曰如前四形为断比例题言甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断比例论曰试以甲乙丙丁戊己三线求其断 　　比例之末率线为午未【本篇十二】次于午未上作直线形与戊丑相似而体势等为午未酉申【本篇十八】午酉与戊丑相似即与庚夘亦相似而甲乙与丙丁之比例既若戊己与午未依上论即甲乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑与午酉矣夫甲乙壬与丙丁癸之比例元若戊丑与庚夘则戊丑与午酉亦若戊丑与庚夘也【五卷十一】而午酉与庚夘等也【五卷九】午酉与庚夘既等又相似而体势等即两形必在等线之上而庚辛与午未必等【见下方补论】则戊己与午未之比例若戊己与庚辛也而戊己与午未元若甲乙与丙丁则甲乙与丙丁亦若戊己与庚辛也 　　补论曰庚夘午酉两直线形相等相似而体势等即在等线之上者何也盖庚辛与午未若云不等者或言庚辛大于午未也则辛夘宜亦大于未酉矣【五卷十四】而庚夘形宜亦大于午酉形矣何先设两形等也言小仿此【补论者前此未着而论中无他论可徴故别作一论以足未备】 　　又补论曰甲乙丙丁戊己两直线形相等相似而体势等即相似邉如甲乙与丁戊必等者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也即令以甲乙丁戊两线求其连比例之末率线为庚【本篇十一】其甲乙与丁戊既若丁戊与庚 　　而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大于庚矣然甲乙与庚之比例若甲乙丙形与丁戊己形【本篇十九及廿之系】甲乙既大于庚则甲乙丙宜大于丁戊己何先设两形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小仿此 　　増论曰本题别有简论今先显四线之比例等而甲 　　乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑 　　与庚夘两形者盖甲乙与丙丁之比 　　例若戊己与庚辛而甲乙壬与丙丁 　　癸之比例为甲乙与丙丁再加之比 　　例【本篇十九】戊丑与庚卯之比例亦为戊己与庚辛再加之比例是甲乙壬与丙丁癸若戊丑与庚夘也次増论曰今显四形之比例等而甲乙与丙丁两线之比例若戊己与庚辛两线者盖甲乙壬与丙丁癸之比例若戊丑与庚夘而甲乙壬与丙丁癸之比例为甲乙与丙丁再加之比例若戊丑与庚夘为戊己与庚辛再加之比例【本篇十九】则甲乙与丙丁之比例若戊己与庚辛矣 　　第二十三题 　　等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结 　　解曰甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等题言两形之比例以各等角旁各两邉之比例相结者谓两比例之前率在此形两比例之后率在 　　彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结也 　　论曰试以两等相聨于丙而乙丙丙庚作一直线其乙丙丁角既与戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直线【一卷十五増】次于甲丁己庚各引长之遇于辛次任作一壬线次以乙丙丙庚壬三线求其断比例之末率线为癸【本篇十二】末以丁丙丙戊癸三线求其断比例之末率线为子其乙丙与丙庚两底之比例既若甲丙与丙辛两形【本篇一】而乙丙与丙庚亦若壬与癸则甲丙与丙辛亦若壬与癸也【五卷十一】依显丙辛与丙己亦若癸与子也平之即甲丙与丙己若壬与子也【五卷廿二】夫壬与子之比例元以壬与癸癸与子两比例相结【本卷界说五】而壬与癸癸与子元若乙丙与丙庚丁丙与丙戊则甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊两比例相结也其以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结则先以乙丙丙戊为一直线可依上推显 　　后注曰此不同理之比例也两形不相似【本篇十九】又不相等之形也等角旁各两邉不互相视【本篇十四】故必用相结之理必湏借象之术其法假虚形实所以通比例之穷也以数明之乙丙六十丙庚二十壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子二即甲丙之实二千四百与丙己之实一千六百若壬三与子二为等带半之比例也其曰壬与癸癸与子两比例相结者壬三倍大于癸癸反二倍大于子【反二倍者癸得子之半】三乗半得一五则壬与子为等带半之比例也其曰借象者乙丙与丙庚丁丙与丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与子同中率而不同理之二比例以为象【本卷界说五】初作壬与癸若乙丙与丙庚次作癸与子若丁丙与丙戊【本篇十二】则癸为前率之后又为后率之前是为壬子首尾两率之枢纽令相象之丙庚丁丙亦化两率为一率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相结为首尾两率之比例虽不能使三率为同理之两比例而合为一连比例亦能使两不同理之比例首尾合而为一比例矣自三以上可仿此相借以至无穷也【本卷界说五】 　　第二十四题 　　平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角线交相遇于壬题言戊庚己辛两 　　角线方形自相似亦与全形相似 　　论曰试依一卷廿九题推显两角线形等角又庚甲戊与乙甲丁同角而甲戊壬外角与甲丁丙内角等甲庚壬外角与甲乙丙内角等戊壬庚外角与乙己壬内角等乙己壬外角又与乙丙丁内角等则戊庚形与甲丙全形等角矣依显己辛形亦与全形等角矣今欲显两形与全形相似者试观甲庚壬与甲乙丙两角形甲戊壬与甲丁丙两角形既各等角【一卷廿九可推仍见本篇四之系】即甲乙与乙丙之比例若甲庚与庚壬而庚乙两角旁各两边之比例等也【六卷四】又乙丙与丙甲之比例若庚壬与壬甲丙甲与丙丁之比例若壬甲与壬戊平之即乙丙与丙丁若庚壬与壬戊也【五卷廿二】则乙丙丁庚壬戊两角旁各两边之比例等也依显各角旁各両边之比例皆等是两角线方形自相似亦与全形相似 　　第二十五题