几何原本 - 第 16 页/共 22 页

推之甲与丙之比例亦若丁与己 　　论曰试以甲乙丁同任倍之为庚辛壬别以丙戊己同任倍之为癸子丑即甲与乙若所自倍之庚与辛 　　【本篇十五】而甲与乙既若戊与己 　　即庚与辛亦若戊与己【本篇十一】戊与己又若所自倍之子与 　　丑即庚与辛亦若子与丑【本篇】 　　【十一】依显一乙与二丙既若三丁与四戊即倍一乙之辛与倍二丙之癸若倍三丁之壬与倍四戊之子也【本篇四】是庚辛癸三几何壬子丑三几何又相为连比例而错矣次三试之若庚大于癸即壬亦大于丑若等亦等若小亦小【本篇廿一】则一甲三丁所倍之庚壬与二丙四己所倍之癸丑等大小皆同类也是一甲与二丙若三丁与四己【本卷界说六】如三以上既有甲与乙若己与夘乙与丙若戊与己又有丙与寅若丁与戊亦显甲与寅若丁与卯何者依上论先显甲与丙若戊与夘次丙与寅又若丁与戊即以甲丙寅作三几何丁戊夘作又三几何相为连比例而错依上论亦得甲与寅若丁与夘四以上悉依此推显 　　第二十四题 　　凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四 　　解曰一甲乙与二丙之比例若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己论曰乙庚与丙既若戊辛与己反之丙与乙庚若己与戊辛也【本篇四】又甲乙与丙既若丁戊与 　　己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若丁戊与戊辛也【本篇廿二】又合之甲庚全与乙庚若丁辛全与戊辛也【本篇十八】夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛与己矣【本篇廿二】 　　注曰依本题论可推广第六题之义作后増题【第六题言几倍后增题不止言倍其义稍广矣】 　　増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何每截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等 　　解曰如上圗甲庚丁辛此两几何与丙己彼两几何比例等者甲庚与丙若丁辛与己也题言截取之甲乙与丙若丁戊与己则分余之乙庚与丙亦若戊辛与己 　　论曰甲乙与丙既若丁戊与己即反之丙与甲乙若己与丁戊也【本篇四】又甲庚与丙既若丁辛与己而丙与甲乙亦若己与丁戊即平之甲庚与甲乙若丁辛与丁戊也【本篇廿二】又分之乙庚与甲乙若戊辛与丁戊也【本篇十七】夫乙庚与甲乙既若戊辛与丁戊而甲乙与丙若丁戊与己 　　即平之若戊辛与己也【本篇廿三】 　　第二十五题 　　四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并 　　解曰甲乙与丙丁之比例若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并 　　论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等即甲庚与丙辛之比例若戊与己也亦若甲乙与丙丁也夫甲乙全与丙丁全既若截取之甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本篇十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣又甲庚与戊丙辛与己既等即于戊加丙 　　辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并 　　第二十六题 　　第一与二几何之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例 　　解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四丁与三丙 　　论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与 　　乙之比例大于戊与乙而甲几何大于戊【本篇十】则乙与戊之比例大于乙与甲也【本篇八】反之则乙与戊之比例若丁与丙【本篇四】而乙与甲之比例小于丁与丙第二十七题 　　第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例 　　解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言更之则一甲与三丙之比例亦大于二乙与四丁 　　论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙 　　之比例大于戊与乙而甲防何大于戊【本篇十】则甲与丙之比例大于戊与丙也【本篇八】夫戊与乙之比例既若丙与丁更之则戊与丙之比例亦若乙与丁【本篇十六】而甲与丙之比例大于乙与丁矣 　　第二十八题 　　第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例 　　解曰一甲乙与二乙丙之比例大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙之比例亦大于丁己与戊己 　　论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊 　　己即甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙而甲乙几何大于庚乙矣【本篇十】此二率者每加一乙丙即甲丙亦大于庚丙而甲丙与乙丙之比例大于庚丙与乙丙也【本篇八】夫庚乙与乙丙之比例既若丁戊与戊己合之则庚丙与乙丙之比例亦若丁己与戊己也【本篇十八】而甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己矣第二十九题 　　第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己 　　论曰试作庚丙与乙丙之比例若丁己与戊 　　己即甲丙与乙丙之比例亦大于庚丙与乙丙而甲丙几何大于庚丙矣【本篇十】此二率者每减一同用之乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙也【本篇八】夫庚丙与乙丙之比例既若丁己与戊己分之则庚乙与乙丙之比例亦若丁戊与戊己也【本篇十七】而甲乙与乙丙之比例大于丁戊与戊己矣 　　第三十题 　　第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例 　　解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙之比例小于丁己与丁戊 　　论曰甲丙与乙丙之比例既大于丁己与戊己分之即甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己也【本篇廿九】又反之乙丙与甲乙之比例小于戊 　　己与丁戊矣【本篇廿六】又合之甲丙与甲乙之比例亦小于丁己与丁戊也【本篇廿八】 　　第三十一题 　　此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例 　　解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己 　　论曰试作庚与丙之比例若戊与己即乙与丙之比例大于庚与丙而乙几何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例大于甲与大 　　乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例元大于丁与戊即甲与庚之比例更大于丁与戊也次作辛与庚之比例若丁与戊即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也【本篇廿二】则甲与丙之比例大于丁与己也 　　第三十二题 　　此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例 　　解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己 　　论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙之比例大于庚与丙而乙防何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例大于 　　甲与大乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例既大于戊与己即甲与庚之比例更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也【本篇廿三】则甲与丙之比例大于丁与己也 　　第三十三题 　　此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例 　　解曰甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己题言两分余戊乙与己丁之比例大于甲乙与丙丁 　　论曰甲乙与丙丁之比例既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊之比例亦大于丙丁与丙己也【本篇廿七】又转之甲乙与戊乙之比例小于丙丁与己丁也【本篇三十】又更之甲乙与丙丁之比例小于戊乙与己丁也【本篇廿七】戊乙与己丁分余也则分余之比例大于甲乙全与丙丁全矣依显两全之比例小于截分则分余之比例小于 　　两全 　　第三十四题【三支】 　　若干几何又有若干防何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例 　　解曰如甲乙丙三几何又有丁戊己三几何其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小于甲与丁 　　论曰甲与丁之比例既大于乙与戊更之即甲与乙之比例大于丁与戊也【本篇廿七】又合之甲乙并与乙之比例大于丁戊并与戊也【本篇】 　　【廿八】又更之甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也【本篇廿七】是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁之比例大于甲乙全与丁戊全也【本篇卅三】依显乙与戊之比例亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁之比例更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并之比例大于丁与戊己并也【本篇廿七】又合之甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全 　　与戊己并也【本篇廿八】又更之甲乙丙全与丁戊己全之比例大于乙丙并与戊己并也【本篇廿七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙全与丁戊己全也【本篇卅三】则得后解也又乙与戊之比例既大于丙与己更之即乙与丙之比例大于戊与己也【本篇卄七】又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全与己也【本篇卄八】又更之乙丙并与戊己并之比例大于丙与己也【本篇卄七】而甲乙丙并与丁戊己并之比例既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也 　　若两率各有四几何而丙与己之比 　　例亦大于庚与辛即与前论同理 　　盖依上文论乙与戊之比例大于乙丙庚 　　并与戊己辛并即甲与丁之比例更 　　大于乙丙庚并与戊己辛并也更之 　　即甲与乙丙庚并之比例大于丁与 　　戊己辛并也【本篇十八】又合之甲乙丙庚 　　全与乙丙庚并之比例大于丁戊 　　己辛全与戊己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也【本篇廿七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本篇卅三】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并之比例既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上至于无穷俱仿此论可显全题之防 　　几何原本卷五 　　钦定四库全书 　　几何原本卷六之首 　　西洋利玛窦译 　　界说六则 　　第一界 　　凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形 　　甲乙丙丁戊己两角形之甲角与丁角等乙与戊丙 　　与己各等其甲角旁之甲乙与甲丙 　　两线之比例若丁角旁之丁戊与 　　丁己两线而甲乙与乙丙若丁戊与 　　戊己甲丙与丙乙若丁己与己戊则 　　此两角形为相似之形依显凡平邉 　　形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱 　　平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也四邉五邉以上诸形俱仿此 　　第二界 　　两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形 　　甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙 　　乙丙邉与戊己己庚邉相与为比例 　　等而彼此互为前后如甲乙与戊己 　　若己庚与乙丙也则此两形为互相 　　视之形依显壬癸子丑寅卯两角形 　　之壬子与丑寅若丑夘与壬癸或壬癸与丑寅若丑夘与壬子亦互相视之形也