九章算经 - 第 9 页/共 21 页

〔一七〕今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田各几何？ 　　　　　　　荅曰：善田一十二亩半， 　　　　　　　恶田八十七亩半。 　　　　　术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱、七分钱之三。 〔一八〕今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？ 　　　　　　　荅曰：金重二斤三两一十八铢， 　　　　　　　银重一斤十三两六铢。 　　　　　术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于左行。以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。 〔一九〕今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？ 　　　　　　　荅曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。 　　　　　　　良马行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。 　　　　　　　驽马行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。 　　　　　术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分。 〔二０〕今有人持钱之蜀，贾利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？ 　　　　　　　荅曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。 　　　　　术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半。令之四万，多三万五千三百九十钱八分。 　　　九章算术卷第八 　　方程 〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　上禾一秉，九斗、四分斗之一， 　　　　　　　中禾一秉，四斗、四分斗之一， 　　　　　　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。 　　　　　方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。 〔二〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八， 　　　　　　　下禾一秉实五十二分斗之四十一。 　　　　　术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。 〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　上禾一秉实二十五分斗之九， 　　　　　　　中禾一秉实二十五分斗之七， 　　　　　　　下禾一秉实二十五分斗之四。 　　　　　术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。 　　　　　正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。 〔四〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　上禾一秉五升， 　　　　　　　下禾一秉二升。 　　　　　术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。 〔五〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　上禾一秉实八升， 　　　　　　　下禾一秉实三升。 　　　　　术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。 〔六〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　上禾一秉实八斗， 　　　　　　　下禾一秉实三斗。 　　　　　术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。 〔七〕今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　牛一，直金一两、二十一分两之一十三， 　　　　　　　羊一，直金二十一分两之二十。 　　　　　术曰：如方程。 〔八〕今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　牛价一千二百， 　　　　　　　羊价五百， 　　　　　　　豕价三百。 　　　　　术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。 〔九〕今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　雀重一两、一十九分两之十三， 　　　　　　　燕重一两、一十九分两之五。 　　　　　术曰：如方程，交易质之，各重八两。 〔一０〕今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　甲持三十七钱半， 　　　　　　　乙持二十五钱。 　　　　　术曰：如方程，损益之。 〔一一〕今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六， 　　　　　　　牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。 　　　　　术曰：如方程，损益之。 〔一二〕今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　武马一匹力引二十二石、七分石之六， 　　　　　　　中马一匹力引十七石、七分石之一， 　　　　　　　下马一匹力引五石、七分石之五。 　　　　　术曰：如方程各置所借，以正负术入之。 〔一三〕今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？ 　　　　　　　荅曰：井深七丈二尺一寸。 　　　　　　　甲绠长二丈六尺五寸， 　　　　　　　乙绠长一丈九尺一寸， 　　　　　　　丙绠长一丈四尺八寸， 　　　　　　　丁绠长一丈二尺九寸， 　　　　　　　戊绠长七尺六寸。 　　　　　术曰：如方程，以正负术入之。 〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何？ 　　　　　　　荅曰： 　　　　　　　白禾一步实一百一十一分斗之三十三， 　　　　　　　青禾一步实一百一十一分斗之二十八， 　　　　　　　黄禾一步实一百一十一分斗之一十七， 　　　　　　　黑禾一步实一百一十一分斗之一十。