测圆海镜分类释术 - 第 9 页/共 10 页

术曰二数相减半之又自之得三千一百三十六为实　以四十九为法除之得平勾六十四 　　又曰二数相减余自之得一万二千五百四十四为实如四十九而一得平股和二百五十六 　　勾自之和除之得平股较一十六加和半之为减和半之为股 　　城心上南有大石塔城南门往东有榆一株东门往南有大槐一株与城中石塔东西相对东门直东有栁一株城外东北艮隅往东有小石塔与城东栁树南北相对甲从城中塔下起程穿城出城直往南不知步数而立乙从东门起程直行至柳树下折而北往小石塔下又往东亦不知步数望甲与柳槐榆俱与城相参直甲复斜行向东北直至柳树下问其行步则曰甲从大石塔穿城南行立处多于大石塔与槐相去步数乙从栁树北行至小石塔多于从石塔东行步数二较相并共一百六十一步甲从南起程至立处多于南门距榆树步数东门南至槐多于东至栁步数二较相并共七十七步斜行至栁下多于城径四十九步问城径 　　释曰此髙较平较和与明较□较和并皇极与城径较立法测望甲从城中石塔下穿城往南而立乃日之朱下髙股也大石塔与城外槐树相距乃朱之山下髙勾也多步乃下髙勾股较也乙从城东门栁树下折而往北至小石塔下乃川之夕下平股也复往东乃夕之地下平勾也多步乃下平勾股较也二较相并共一百六十一步乃平差髙差和也又名角差甲自南门往南立处乃日之南明股也南门往东至榆树乃南之月明勾也多步明勾股较也东门往南至槐乃山之东□股也直东门至栁乃东之川□勾也多步□勾股较也二较相并七十七步明差□差和也甲从直南立处斜行至栁树下乃日之川皇极也多城径四十九步为皇极与城径较即皇极黄广勾较也 　　术曰二和相并半之得一百十九为平率副置平率一加四十九一减四十九相乘得一万一千七百六十为实　四十九为法实如法而一得城径 　　城心往南有大石塔一座东门外往南有大槐一株与塔相对南门外往东有榆树一株东门外正东有栁树一株城外东北艮隅往东有小石塔一座甲从城中石塔下穿城直往南不知步数而立乙从东门直行至栁树下转往北至石塔复往东亦不知步数而立丙从城外东南巽隅往西至榆树下立三人遥相望与槐树俱与城相叅直既而丙又斜行至槐树下复南行回还巽隅讫问其行步则曰甲从大石塔穿城往南立处多于槐距塔步数乙从东门外栁树下北至小石塔多于复东行歩数二较相并共一百六十一步甲自南门起至立处多于南门距榆步数东门外往南至槐多于往东至栁步数二较相并共七十七步丙从巽隅西至榆步数与从栁南还步又少于斜行六十步问城径 　　释曰此髙差平差和明差□差和与太虚较较立法测望甲从城中石塔穿城往南而立为下高股石塔距槐为下高勾勾股相较为下高较亦曰高差乙从东门外栁树下北至小石塔为下平股又东行至立处为下平勾勾股相减为下平较亦曰平差共一百六十一步高差平差和也南门至甲立处为明股南门东至榆树为明勾勾股相减为明较即明差东门南至槐为□股东至栁为□勾勾股相减为□较即□差共七十七步明差□差和也丙从巽隅西至榆乃巽之月与泛之山同为太虚勾斜行至槐树下为太虚复南行还巽地与月之泛同为太虚股西行不及南行为太虚勾股较较步不及斜行六十为太虚较较也 　　术曰二和相减余八十四加太虚较较半之得七十二为泛率自之得五千一百八十四为实　角差内减二泛率余一十七为从作带从开平方法除之得六十四为平勾　角差即高差平差并也 　　甲丙二人俱在城中心丙望南门直行出城不知步数而立甲望东门出城亦不知步数望见之丙复斜行与甲相会问其行步则曰甲丙直斜共行了六百八十步又曰甲东直行少于丙南直行一百一十九步问城径 　　释曰此皇极和和与勾股较立法测望甲从城中心东行为皇极勾丙从中心南行为皇极股斜行与甲会为皇极共行六百八十步为皇极和和也甲东行不及丙南一百一十九步为皇极勾较也术曰二数相减余五百六十一为差差自之得三十一万四千七百二十一为差筭　较自之得一万四千一百六十一为较　二筭相减余三十○万○五百六十为平实　四其差二其较相并得二千四百八十二为从方　二为隅筭　作负隅开减从开平方法除之得一百三十六为皇极勾 　　负隅减从开平方曰置所得平实以从方隅筭约之初商一百　置一于左上为法　置一乘隅筭得二百以从减方余二千二百八十二为下法与上法相乘除实二十三万八千二百　余实七万二千三百六十　从方内再减二百余二千○八十二次商三十置一于左上为法置一隅因得六十以减从方余二千○二十二为下法与上法相乘除实六万○六百六十余实一万一千七百为实　余从内再减六十余一千九百六十二　次商六　置一于左上为法　置一隅因得一十二以减余从余一千九百五十为下法与上法相乘除实尽 　　此法已见二卷通勾□勾条因有三位故重出 　　圆城南门往东有槐东门往南有栁甲乙二人俱在城中心甲出南门直行乙出东门各不知步数而立丙丁二人俱在城外东南巽隅丙西行至槐下丁北行至栁下四人遥相望俱与城叅直既而甲复斜行与乙会丙复斜行与丁会问其行步则甲一直一斜与乙直行共六百八十步丙西丁北二直行较丙斜行多三十六步问城径 　　释曰此皇极和和与太虚和较立法测望乙从城中心东行为皇极勾甲从城中心南行为皇极股斜行与乙会为皇极共步为皇极和和也丙从巽隅西至槐树下即太虚勾丁从巽隅北至栁树下即太虚股丙斜行与丁会为太虚丙西丁北相并即太虚勾股和多于斜行为太虚和较也 　　术曰和较相乘得二万四千四百八十为实半较得一十八为从　半步为隅筭　作以从添积负隅开平方法除之得全径 　　以从添积负隅开平方曰置所得平实以从约之初商二百置一于左上为法　置一乘益从得三千六百为益实添入积内共二万八千○八十为实　置一以隅因之得一百为下法与上法相乘除实一万余八千○八十为实倍下法得二百为亷法　次商四十置一于左上为法　置一乘益从得七百二十为益实添入余积得八千八百为实　置一以隅因得二十并亷法共二百二十与上法相乘除实尽 　　又为负隅以从减法开平方法 　　法见四卷大差勾黄长条下 　　测圆海镜分类释术卷八 　　钦定四库全书 　　测圆海镜分类释术卷九 　　元　李　冶　撰 　　明　顾应祥　释术 　　诸较参互立法 　　丙出南门直行甲出东门直行各不知步数相望与城相叅直问其行步甲云我东行少于城径二百二十四步丙云我南行少于城径一百○五步问城径释曰此明股城径较与□勾城径较立法测望甲出东门直行□勾也丙出南门直行明股也 　　术曰二少步相乘又自之得五亿五千三百一十九万○四百为三乘方实　二少步相乘得二万三千五百二十六之共步得一千九百七十四二数相乘得四千六百四十二万八千四百八十为从方　以五十六万二千五百二十为从一亷　四十八之共步得一万五千七百九十二为从二亷六十三为隅法作带从亷隅添积开三乘方法除之得半城径带从方一亷添积以二亷为法开三乘方曰置所得三乘方实以从方从亷隅法约之　初商一百置一于左上为法　置一乘从一亷得五千六百二十五万二千为益亷置一自乘再乘以隅算因得六千三百万为隅法并从方益亷得一亿六千五百六十八万○四百八十以初商因之得一百六十五亿六千八百○四万八千为益积　添入原积共一百七十一亿二千一百二十三万八千四百为通实　置一自之以乘从二亷得一亿五千七百九十二万为下法　与上法相乘除实一百五十七亿九千二百万　余一十三亿二千九百二十三万八千四百为次商之实　二因益亷得一亿一千二百五十○万四千为从一亷之方三因从二亷得四亿七千三百七十六万为从 　　二亷之方　三之初商以乘元从二亷得四百七十三万七千六百为从二亷之亷　四因隅法得二亿五千二百万并从方共二亿九千八百四十二万八千四百八十为方法　初商自之六因又隅因之得三百七十八万为上亷　初商四之隅因得二万五千二百为下亷　次商二十　置一于左上为法　置一乘原从一亷得一千一百二十五万○四百为从一亷之亷并从一亷之方共一亿二千三百七十五万四千四百为益亷之实置一乘上亷得七千五百六十万　置一自之 　　以乘下亷得一千○○八万　置一自乘再乘得八千隅因得五十○万四千为隅法　并方上下亷隅共三亿八千四百六十一万二千四百八十又加益亷之实得五亿○八百三十六万六千八百八十以次商因之得一百○一亿六千七百三十三万七千六百为益实　加入次实得一百一十四亿九千六百五十七万六千为通实　置一乘从二亷之亷得九千四百七十五万二千　置一自之以乘从二亷得六百三十一万六千八百为从二亷之隅　并从二亷之方亷隅共五亿七千四百八十二万八千八百为下法与上法相乘除实尽 　　丙出南门东行甲出东门南行各不知步数相望俱与城相叅直丙云我东行不及城径一百六十八步甲云我南行不及城径二百一十步问城径 　　释曰此明勾与城径较与□股城径较立法测望丙出南门东行为明勾甲出东门南行为□股 　　术曰二不及相减余四十二为差自之得一千七百六十四为差筭　半甲不及自之得一万一千○二十五　半甲不及减差余六十三自之得三千九百六十九　二数相并内减差筭得一万三千二百三十为平实　二之内不及得三百三十六为益从三步半为隅法　作带从负隅开平方法除之得□股三十 　　带从负隅开平方法见四巻底勾通 　　甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行丙出东门南行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望与城相叅直问其行步则甲东多于丁东二百四十八步乙南多于丙南五百七十步问城径 　　释曰此通勾明勾较与通股□股较立法测望甲从干隅东行为通勾丁从南门东行为明勾甲多于丁步通勾明勾较也丙出东门南行为□股乙自干隅南行为通股乙多于丙步通股□股较也 　　术曰二较相乘得一十四万一千三百六十为实并二较半之得四百○九为从　以七分半为隅法作带从负隅开平方法除之得全径 　　带从负隅开平方法见前 　　甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行丙从城外西南坤隅东行丁从城外东北艮隅南行各不知步数四人遥相望俱与城相叅直问其行步则曰甲东行多于丙东行一百二十八步丁南行不及乙南行四百五十步问城径 　　释曰此通勾大差勾较与通股小差股较立法测望甲从干隅东行为通勾丙从坤隅东行为大差勾甲多一百二十八步即为通勾大差勾较与黄长勾同乙从干隅南行为通股丁从艮隅南行为小差股丁不及乙四百五十步为通股小差股较与黄广股同术曰二较相乘即城径筭 　　南门迤东有槐一株东门迤南有栁一株甲乙二人俱在城外西南坤隅甲直往南不知步数而立乙往东径过南门至槐下立丙丁二人俱在城外东北艮隅丙直往东不知步数而立丁往南径过东门至栁下立四人遥相望俱与城相叅直问其行步则甲多于乙一百六十八步丙少于丁七十步问城径 　　释曰此大差勾股较与小差勾股较立法测望甲从坤往南之天为大差股乙往东至槐下为大差勾甲多一百六十八步大差勾股较也丙从艮隅往东之地为小差勾丁往南至栁下为小差股丙不及丁七十步小差勾股较也 　　术曰二较相乘得一万一千七百六十为实　相减半之得四十九为法　实如法而一得全径 　　甲从坤隅东行过南门不知步数而立乙从艮隅南行过东门不知步数见甲而止甲乃斜行一百○二步与乙会乙曰我南行不及汝东行四十二步问城径释曰此大差勾小差股较与太虚立法测望甲从坤隅东行乃坤之月为大差勾乙从艮南行乃艮之山为小差股不及四十二步为大差勾与小差股较也斜行一百○二步太虚也 　　术曰以较减余六十以乘较并半之得四千三百二十为实　以较四十二为从作带从开平方法除之得虚勾四十八 　　又曰大差勾减小差股即太虚较也自乘倍之与较自乘相减余为实平方开之得勾股和加较半之为股减较半之为勾 　　圆城南门外正南有塔一座南门之东有槐树一株东门外正东有望竿一根东门之南有栁树一株甲乙二人俱在城中心甲南行出城直至塔下立乙东行出城至望竿下立丙丁二人俱在城外西南坤隅丙南行不知步数而立丁东行至槐树下立戊己二人俱在城外东北艮隅戊东行不知步数而立己南行过东门南栁树下立六人遥相望俱与城相叅直既而甲斜行至东门外望竿下与乙相会丙斜行经过塔直至南门东槐树下与丁相会戊斜行向西南至东门之南栁树下与己相会问其行步则曰以丁东行减丙南行又与丙斜行相较余步比甲斜行少四十九步以戊从艮隅东行减己从艮隅南行至栁余步与戊斜行至栁步数相并内减槐栁斜相距步余一百三十八步其乙东行比甲南行至塔却少一百一十九步问城径 　　释曰此大差较较与皇极较小差较和与太虚较并皇极勾股较立法测望甲从城中心出南门至石塔下乃日之心为皇极股乙从城中心出东门至望竿下乃心之川为皇极勾甲斜行与乙会乃日之川为皇极　丙从坤隅南行不知步数而立乃天之坤为大差股丁从东行至槐树下乃坤之月为大差勾丙斜行与丁会乃天之月为大差丁东行减丙南行为大差勾股较又与丙斜行相较为大差较较不及甲斜行四十九步是大差较较与皇极较也戊从艮隅东行乃艮之地为小差勾己从艮隅南行至栁树下乃山之艮为小差股戊斜行至栁下与己会乃山之地为小差戊东行减己南行为小差勾股较　又与戊斜行相并为小差较和槐栁斜相距步即太虚以减小差较和余一 　　百三十八步是小差较和与太虚较也乙东行不及甲南行一百一十九步为皇极勾股较也 　　术曰并二较自之得三万四千九百六十九皇极较自之得一万四千一百六十一　相减余二万○八百○八为实　二为隅算　平方开之得太虚一百○二　加小差较和与虚相较之数即城径负隅开平方法见一卷底勾底条 　　南门外不知步数有槐东门外不知步数有桞甲乙俱在干隅甲东行遇一小塔而立乙南行遇一大石塔而立二人遥相望槐栁俱与城相叅直计其行步则乙南行不及二塔斜相距步数少于小塔与栁相距五十六步甲东行不及二塔斜相距步数多于大塔与槐相距一百○五步问城径 　　释曰此通股较与下平较通勾较与上高较测望二塔相距通也丙南行通股不及二塔相距为股较小塔距栁下平也甲东行通勾也不及二塔相距勾较也槐距大塔上高也 　　术曰以股较不及平自之为实　二较相减为法除之得平勾六十四 　　若以勾较多高自之为实　二较相减为法除之得高股二百二十五 　　测圆海镜分类释术卷九 　　钦定四库全书 　　测圆海镜分类释术卷十 　　元　李　冶　撰 　　明　顾应祥　释术 　　和较参互带分测望 　　圆城甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行各不知步数而立相望与城相叅直丙复斜行七百八十步与甲会以甲东行步除丙南行得二步四分释曰此与勾除股数立法测望斜行七百八十步也二步四分乃以勾除股所得之数 　　术曰斜步自之得六十○万八千四百为平实　以二步四分自之得五步七分六厘加一步得六步七分六厘为隅算平方开之得三百为勾勾求股得七百二十 　　甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行隔城见之甲复斜行与乙相会告乙曰我直行斜行共行了一千二百八十步汝东行步居我南行步十五分之八 　　释曰此通股和与通勾股相较分立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行为通共行通股和也乙东行既居甲南行十五之八是股得十五勾得八 　　术曰股和自之得一百六十三万八千四百又以十六因之得二千六百二十一万四千四百为实以二百五十七因和步得三十二万八千九百六十为益从　以一十六为隅算作减从负隅开平方法除之得股较八十加和半之为减和半之为股负隅减从开平方法见二卷 　　又曰勾居股十五分之八宜以八为勾率十五为股率各自乘并为实平方开之得一十七为率并股率得三十二为法置和步一千二百八十为实置二位一位以股率乘之以法除之得六百为股一位以率乘之以法除之得六百八十为此差分之法简易明白 　　甲乙二人俱在城外西北干隅乙直徃南行不知步数而立甲往东行见之甲复斜行与乙会甲云我直斜共行了一千步东行得汝南行十五分之八 　　释曰此通勾和与通勾股相较分立法测望甲东行为勾斜行与乙会为乙南行为股 　　术曰和步自之得一百万为和筭分母自之得二百二十五以乘和筭得二亿二千五百万为实　分母并分子以分母乘之加入分子得三百五十三倍之得七百○六以乘共步得七十○万六千为益从分母自之得二百二十五为隅法　作负隅减从开平方法除之得三百六十为勾较以较减和得勾负隅减从开平方法见二卷 　　又曰勾居股十五之八就以八为勾率十五为股率勾股求得一十七为率并勾二率共二十五为法以和一千为实　副置二位一位以勾率乘之以法除之得勾一位以率乘之以法除之得 　　甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行亦不知步数望见之又斜行与甲相防乙云我东行不及城周九分之五甲云我南行多与汝东行二百八十步问城径 　　释曰此通勾股较与通勾城周相较分数立法测望乙东行通勾甲南行通股南行多与乙东行为勾股较乙东行不及城周九分之五则城周得九通勾得四 　　术曰东行步少城周九分之五则城径得三东行得四　四勾股较得一千一百二十为实　城径得东行四分之三以四为分母分母自之得一十六于上分母减子余一倍之得二以分母减子乘之仍得二以减上倍余一十四为法　除实得八十为一分之数　二之为城径四之为勾加较即股 　　甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见之乙云我东行居城径六分之五甲云我南行多于乙二百八十步问城径 　　释曰此底勾邉股较与底勾城径相较分数立法测望乙出北门东行为底勾甲出西门南行为邉股多于乙行步为勾股较乙东行居城径六分之五为底勾城径相较步数 　　术曰四之较步得一千一百二十为实分母自之得三十六于上半之分母减分子得二倍之得四又以减子余二乘之得八以减上位余二十八为法除实得四十为一分之数五之为东行六之为城径 　　甲乙二人俱在城外西北干隅乙南行不知步数而立甲东行不知步数见之问其行步则甲乙共行了九百二十步问城径居乙南行四十分之一十六释曰此通勾股和与通股城径较分数立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共行九百二十为勾股和城径得南行四十分之十六为通股城径相较分数 　　术曰以分子减母余倍之得四十八以乘共行得四万四千一百六十为实　分子减母倍之以乘母子和得二千六百八十八子自之得二百五十六相并得二千九百四十四以为法实如法而一得一十五为一分之数 　　又曰列四十与一十六以约分法约之城径得南行五分之二分母减子余三倍之得六以乘共行得五千五百二十为实　分母减子倍之以乘母子并得四十二　分子自之得四相并得四十六为法　除实得一百二十为一分之数五之为通股二之为城径 　　约分法曰副置分母子以少减多得八为等八除分母得五除分子得二 　　甲乙二人俱在城中心甲穿城往南不知步数乙出东门不知步数见之复斜行与甲会计其行乙东行较甲南行得十五分之八乙斜行减甲南行余三十四减乙东行余一百五十三步问城径 　　释曰此皇极勾较股较与皇极勾股较分数立法测望甲南行为皇极股乙东行为皇极勾斜行为皇极斜行减南行余三十四股较也斜行减东行余一百五十三勾较也东行得南行十五分之八勾股较分数也 　　术曰二余数相乘得五千二百○二倍之得一万○四百○四平方开之得一百○二复加二余得二百八十九自之得八万三千五百二十一于上　又以二余数相减余一百一十九自之得一万四千一百六十一以减上位余六万九千三百六十为实　分母子相乘得一百二十倍之得二百四十为隅算作负隅开平方法除之得一十七为一分之数八之为勾十五之为股各加余步得 　　甲出西门南行乙出北门东行各不知步数相见复相向斜行各三百四十步相会甲云城径居我南行二分之一乙云我东行居城径六分之五问城径释曰此通与底勾城径较分数邉股城径较分数立法测望甲出西门南行为邉股乙出北门东行为底勾斜行各三百四十步共为通城径居南行二分之一邉股城径较分数也东行居城径六分之五底勾城径较分数也 　　术曰并斜行自之得四十六万二千四百为实　即筭东行居城径六分之五城径得南行二分之一是城径为六东行为五南行为十二半城径加南行为十五自之得二百二十五　半城径加东行为八自之得六十四　相并得二百八十九为隅算作负隅平方开之得四十为一分之数十二之为邉股五之为底勾六之为城径 　　负隅开平方法见一卷 　　甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行不知步数见之又斜行与甲会二人共计行一千三百六十步南行得斜行十七分之十二东行得斜行一十七分之五问城径 　　释曰此邉股底勾通和与底勾通较分数邉股通较分数立法测望甲出西门南行为邉股乙出北门东行为底勾斜行与甲会为通共行一千三百六十邉股底勾通和也东行得斜行十七分之五底勾通较分数也南行得斜行十七分之十二邉股与通较分数也