测圆海镜分类释术 - 第 7 页/共 10 页

释曰此以皇极□勾明股和立法测望甲东行为□勾乙南行为明股甲之斜行皇极也 　　术曰斜行自之得八万三千五百二十一为筭共步自之得二万二千八百○一为和筭　和筭减筭余六万○七百二十为实　倍共步减斜行余一十三步为从　作带从开平方法除之得全径带从开平方法见前 　　甲乙二人同出东门甲东行乙南行丙丁二人同出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望悉与城相叅直问其步数则曰甲丙共行了一百五十一步乙丁立处相距一百○二步问城径 　　释曰此太虚与□勾明股和立法测望甲出东门直行为□勾而乙南行为股丙出南门南行为明股而丁东行为勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太虚也 　　术曰共步相距步相减余四十九为差　自之得二千四百○一为差筭　共步自之得二万二千八百○一为和筭　差筭减和筭余二万○四百为实倍距步减差余一百五十五为从　作以从减法开平方法除之得全径 　　以从减法开平方法见前 　　又为以从添积开平方 　　其法曰初商二百　置一于左上为法　置一乘从得三万一千为益积　添入原积共五万一千四百为实　置一为隅法与上法相乘除实四万余实一万一千四百　倍隅法得四百为亷法次商四十　置一于左上为法　置一乘从方 　　得六千二百为益实　添入余积共一万七千六百为实　置一并亷法共四百四十为下法与上法相乘除实尽 　　后凡言以从添积开平方法俱仿此 　　岀南门向东有槐树出东门向南有栁树丙丁俱出南门丙直往南丁往东至槐树下立甲乙俱出东门甲直往东乙往南至桞树下立四人遥相望见各不知歩数只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十六步其甲丙立处相距二百八十九步问城径释曰此以皇极与明勾股和□勾股和立法测望槐在南门之东为南之月明勾也丁直行往南为日之南明股也共行二百○七明勾股和也栁在东门之南为山之东□股也甲直行往东为东之川□勾也共行四十六步□勾股和也甲丙立处相距为日川皇极也 　　术曰二和相减余以减相距余半之得六十四为平勾　以加二和相减为平股　相乘为实平方开之即半径 　　又曰二和相并以减相距余半之得一十八为泛率加明和为长加□和为广长广相乘得半径筭 　　南门之东有槐东门之南有栁丙出南门直行丁出南门东至槐下甲出东门直行乙出东门南至栁下相望俱与城相叅直计丙南丁东共行二百○七步甲东乙南共行四十六步其二树相距一百○二步问城径 　　释曰此与前问同前以逺相距言此以近相距言近相距太虚也以太虚与明叀二和立法测望术曰叀和乘虚又自之得二千二百○一万四千八百六十四为平实　并二和自之得六万四千○○九为二和筭　□和自之得二千一百一十六为□和筭　明和自之得四万二千八百四十九为明和筭　并明和筭叀和筭以减二和筭　余一万九千○四十四为益隅作负隅开平方法除之得叀倍筭与和筭相减开其余得叀勾股较加和半之为股减和半之为勾 　　负隅开平方曰置所得平实以益隅约之初商三十　置一于左上为法　置一乘益隅得五十七万一千三百二十为下法与上法相乘除实一千七百一十三万九千六百　余实四百八十七万五千二百六十四　倍下法得一百一十四万二千六百四十为亷法　约次商得四　置一于左上为法　置一乘益隅得七万六千一百七十六并入亷法共一百二十一万八千八百一十六 　　为下法与上法相乘除实尽 　　此法已见一卷底勾条下因隅算多故重出 　　又曰隅算除平实即得叀筭 　　又曰明和乘虚又自之得四亿四千五百八十○万○○九百九十六为平实　如前法为负隅平方开之得明　若以益隅除平实径得明筭又术虚自之得一万○四百○四为虚筭　以叀和乘之得四十七万八千五百八十四为平实倍明和得四百一十四为益隅开之得叀　若以益隅除平实径得叀筭 　　虚自之以明和乘之得二百一十五万三千六百二十八为平实　倍叀和为益隅开之得明　若以益隅除平实径得明筭 　　三位负隅开平方曰置平实四亿四千五百八十○万○九百九十六于左　以益隅一万九千○四十四约之　初商一百置一于左上为法　置一于右下乘益隅得一百九十○万四千四百为下法与上法相乘除实一亿九千○四十四万余实二亿五千五百三十六万○九百九十六倍下法得三百八十○万八千八百为亷法　次商五十　置一于左上为法　置一乘益隅得九十五万二千二百为隅法　并亷法共四百七十六万一千为下法　与上次相乘除实二亿三千八百○五万　余实一千七百三十一万○九百九十六　倍隅法得一百九十○万四千四百并入亷法共五百七十一万三千二百为亷法约三商得三　置一于左为法　置一右下乘益隅得五万七千一百三十二为隅法　并入亷法共五百七十七万○三百三十二为下法与上法相乘除实尽 　　与较测望六 　　甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲东行各不知步数隔城相望既而甲斜行六百八十步与丙相防问其东行步数则曰我少于丙南行二百八十步问城径 　　释曰此通与通勾股较立法测望甲东行为勾丙南行为股甲少于丙步数勾股较也斜行也术曰自乘倍之得九十二万四千八百较自乘得七万八千四百相减余八十四万六千四百为实平方开之得勾股和九百二十加较半之为股减较半之为勾 　　又曰较相减得四百为较较　相并得九百六十为较和　较较较和相乘得三十八万四千为实　倍较得五百六十为从　二为隅筭　作以从减法负隅开平方法除之得通股　作带从负隅开平方法除之得通勾 　　带从负隅开平方法见四卷底勾通条 　　带从负隅以从减隅开平方法见四卷大差勾黄长条下 　　又为以从添积负隅开平方 　　以六百乘从益实倍六百得一千二百为法即是邉以下类推 　　乙出东门南行不知步数而立甲出西门直徃南行回望乙与城相叅直又斜行五百一十步与乙相防问乙行步则曰少于城径二百一十步不知城径防何释曰此黄广与叀股黄广勾较立法测望乙出东门南行为叀股城径即黄广勾少于城径即叀股黄广勾较也斜行黄广也 　　术曰较自之得四万四千一百为较筭以为实　斜歩四之减二较余一千六百二十为从　五为隅算作负隅减从开平方法除之得叀股三十加较为黄广勾即城径 　　负隅减从开平方法见二卷通勾叀勾条 　　乙出南门东行不知步数而立甲出北门直徃东行望乙与城相叅直又斜行二百七十二歩与乙相防问乙东行步则曰少于城径一百六十八步不知城径防何 　　释曰此黄长与明勾黄长股较立法测望乙出南门东行为明勾城径即黄长股少于城径即明勾黄长股较也斜行黄长也 　　术曰较自之得二万八千二百二十四为实四斜行减二较余七百五十二为从方五为隅算作负隅减从开平方法除之得明勾七十二加较为黄长股即城径 　　负隅减从开平方法见二卷 　　测圆海镜分类释术卷六 　　钦定四库全书 　　测圆海镜分类释术卷七 　　元　李　冶　撰 　　明　顾应祥　释术 　　通勾股和与别勾股测望一 　　丙从城西门穿城东行二百五十六步而立丁从城北门穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲向东乙向南各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直只云甲东乙南共步九百二十问城径 　　释曰此以通勾股和与邉勾底股立法测望甲东行为勾乙南行为股共步为通勾股和丙穿城东行邉勾丁穿城南行底股也 　　术曰丙东行自之得六万五千五百三十六为邉勾筭　丁南行自之得一十四万○六百二十五为底股筭　相并得二十○万六千一百六十一为二筭和　倍邉勾底股和与通勾股和相减余三百四十二又减于邉勾底股和余二百八十九自之得八万三千五百二十一　以减二筭和余一十二万二千六百四十为平实　以邉勾底股和六百三十一为从　半步为隅算作负隅减从开平方法除之得全径 　　负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条 　　丙出东门不知步数而立丁出南门不知步数而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各立定四人遥相望俱与城相叅直既而丁从立处向东北斜行四百二十五步与甲防丙从立处向西南斜行五百四十四步与乙防问甲乙行步则曰共行九百二十问城径 　　释曰此通勾股和与邉底立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共行九百二十通勾股和也丙从丁处斜行就甲底也丁从立处斜行就乙邉也 　　术曰二相减余自之得一万四千一百六十一为实　二相并减共行步余四十九为法实如法而一得二百八十九减法为全径 　　丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向东北斜行二百七十二步与甲会丁从立处向东南斜行五百一十步与乙会问甲乙行步则曰共行九百二十步不知城径防何 　　释曰此通勾股和与黄广黄长立法测望甲东行为勾乙南行为股共行九百二十步为通勾股和也丙之就甲黄长也丁之就乙黄广也 　　术曰并二以减通勾股和余一百三十八为差以并二乘差得一十○万七千九百一十六为实又以差加通勾股和得一千○五十八为法 　　实如法而一得一百○二为太虚加差为全径 　　丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向西南斜行四百○八步与乙会丁从立处向东北斜行一百七十步与甲会问甲乙行步则曰共行九百二十不知城径防何 　　释曰此通勾股和与大差小差立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共歩和也丙就乙大差也丁斜就甲小差也 　　术曰二相并共五百七十八为二和以减通和余三百四十二为中率　以乘通和倍之得六十二万九千二百八十为实　三之通和得二千七百六十　加中率得三千一百○二为从　二为隅算作负隅减从开平方除之得全径 　　负隅减从开平方法见二卷 　　通勾股和与诸和较立法测望二 　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行四人遥相望而立俱与城相叅直既而甲还至艮隅复南行一横一直共行二百三十步与乙会丙还至坤隅复东行一横一直共行五百五十二步与丁防问城径 　　释曰此通勾股和与大差勾股和小差勾股和立法测望甲东行为勾丙南行为股共行九百二十步通勾股和也甲还至艮为小差勾复南行与乙会为小差股共行二百三十步小差勾股和也丙还至坤为大差股东行与丁会为大差勾共行五百五十二大差勾股和也 　　术曰二差勾股和相并得七百八十二为大小差和和以减通勾股和得一百三十八即太虚勾股和又以大小差和和乘之得一十○万七千九百一十六为平实　以通勾股和加太虚勾股和得一千○五十八为法实如法而一得一百○二为虚加虚和即城径 　　又曰并二差和减通和得一百三十八为虚勾股和二差和相减余三百二十二乘之得四万四千四 　　百三十六如前术得一千○五十八为法除之得四十二为虚勾股较　以加和半之为股减和半之为勾 　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行各不知步数而立与甲丙共四人遥相望俱与城相叅直既而乙复向东北斜行与甲防丁复向西南斜行与丙会问其行步乙曰我南行不及斜行二十步丁曰我东行不及斜行二百一十六步问城径释曰此通勾股和与大差勾较小差股较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共行九百二十步通勾股和也乙从艮隅南行为小差股斜行就甲为小差不及二十步小差股较也丁从坤隅东行为大差勾斜行就丙为大差不及二百一十六步大差勾较也 　　术曰以小差股较减通和余九百步复以二十步乘之得一万八千于上　又以大差勾较减九百余六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百一十五万六千为立实　三因小差股较得六十以减通和余八百六十于上　以半之大差勾较一百○八减三百四十二余二百三十四乘上位得二十○万一千二百四十为从方　以大差勾较减通和余七百○四　三之小差股较减通和余八百六十　相并得一千五百六十四于上　又以大差勾较并三百四十二得五百五十八倍之得一千一百一十六减去小差股较二十余一千○九十六以减上位余四百六十八为益亷　四为常法作负隅带亷减从开立方法除之得一百五十为小差股加较为　较各自乘相减开其余为勾负隅带益亷减从开立方曰初商一百　置一于左上为法　置一乘益亷得四万六千八百　置一自之得一万以隅法因之得四万为隅法　并益亷共八万六千八百以减从方余一十一万四千四百四十为下法与上法相乘除实一千一百四十四万四千实不满法反除实六百一十五万六千　余五百二十八万八千为负积　倍益亷得九万三千六百　三因隅法得一十二万为方法　三因初商得三百为亷法　次商五十　置一于左上为法　置一乘从亷得二万三千四百并入倍亷共一十一万七千为益亷　置一乘亷法得一万五千隅因得六万　置一自之得二千五百隅因得一万为隅法并方亷隅共一十九万加益亷共三十○万七千以减从方不及减反减从方二十○万一千二百四十余一十○万五千七百六十为负从与上法相乘除负积尽 　　此法虽已见前因有翻法故重出 　　又为带从负隅添积开立方法 　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙出东门东行丁出南门南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙从立处斜行与甲会丁从立处斜行与丙防以二斜行相和共三百九十一步相较得一百一十九步问城径释曰此通勾股和与上高下平和上高下平较立法测望甲东行通勾丙南行通股共步和也乙斜就甲下平丁斜就丙上高共步和也相较较也术曰二和自之得一十五万二千八百八十一为和筭　二较自之得一万四千一百六十一为较筭　较筭减筭余半之得六万九千三百六十为实　以二和减通和余五百二十九为从　作减从开平方法除之得二百四十为全径 　　减从开平方法见二卷底勾□勾条 　　又曰和较相并半为高相减半之为平 　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙丁二人俱在城外东南巽隅乙北行丁西行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙复斜行至丁立处相防问其行步则曰乙直行比丁直行较多其多步与斜行步相并共一百四十四步相减余六十步问城径 　　释曰此通勾股和与太虚较和较较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共步通勾股和也乙从巽隅北行乃防之山与月之泛同太虚股也丁从巽隅西行乃防之月即泛之山太虚勾也乙斜行就丁乃山之月太虚也乙直行多于丁直行数太虚勾股较也以多步并斜行一百四十四较和也多歩减斜行六十较较也 　　术曰较较减较和余半之得四十二为太虚勾股较　以减较和得自之得一万○四百○四倍之减较自乘一千七百六十四余一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加较半之为股减较半之为勾 　　通勾和与诸和较测望三 　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲直往东丙直往南乙丁二人俱在城之南门乙向东行丁向南行俱不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲向西南斜至丙立处乙亦斜行至丁立处问其行步则甲直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步问城径 　　释曰此以通勾和明勾和立法测望甲在干往东为通勾斜行就丙为通直斜共步勾和也乙在南门东行为明勾斜行就丁为明直斜共步勾和也 　　术曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九万○六百二十五为平实　乙共歩自之得五万○六百二十五为从　甲共步一千为隅算　作负隅以从减法开平方法除之得明股一百三十五 　　负隅以从减法开平方曰置实以从隅约之　初商一百　置一于左上为法　置一乘隅算得一十万减去从方　余四万九千三百七十五为下法与上法相乘除实四百九十三万七千五百余实六百四十五万三千一百二十五为次实下法再加十万共一十四万九千三百七十五为方法次商三十　置一于左次为上法　置一乘隅算得三万并入方法共一十七万九千三百七十五为下法与上法相乘除实五百三十八万一千二百五十余实一百○七万一千八百七十五为次实　下法内再加三万共二十○万九千三百七十五为方法　次商五　置一于左次为上法　置一乘隅算得五千并入方法共二十一万四千三百七十五为下法相乘除实尽得明股一百三十五 　　明股自之以勾和除之得勾较八十一加和半之为股减和半之为勾 　　负隅以从减法开平方已见四卷大差勾黄长下因此法有三位故重出而小变之 　　又为以从添积开平方 　　其法曰初商一百置一于左上为法　置一乘从得五百○六万二千五百为益积添积共一千六百四十五万三千一百二十五为实　置一乘隅得一十万与上法相乘除实一千万余实六百四十五万三千一百二十五　倍隅法得二十万为方法约次商三十　置一于左次为上法　置一乘从得一百五十一万八千七百五十为益实　添余积共七百九十七万一千八百七十五为实　置一乘隅得三万并方法共二十三万为下法与上法相乘除实六百九十万　余实一百○七万一千八百七十五　下法内再加三万共二十六万为方法　次商五　置一于左上为法置一乘从方得二十五万三千一百二十五为益积　添入余积共一百三十二万五千为实　置一乘隅得五千并方法共二十六万五千为下法与上法相乘除实尽 　　法已见前卷 　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出东门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步甲直斜共一千步乙直斜共五十步问城径 　　释曰此通勾和与□勾和立法测望甲东行为通勾斜行就丙为通共步和也乙出东门而东□勾也斜行就丁□也和为共步 　　术曰通勾和内减二之□勾和余九百为泛率泛率自之得八十一万半之得四十○万五千　□勾和乘泛率得四万五千二数相并得四十五万为平实　二十二乘泛率得一万九千八百　四十二乘□和得二千一百减泛率得一千二百　二数相并得二万一千为益从　四之□勾和得二百为隅法作负隅减从开平方法除之得□股三十负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条 　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行各不知步数而立遥望与城相叅直既而甲复向西南斜行与丙相会问其行步甲一直一斜共一千步甲斜直相较与甲之斜丙之直相较共四百四十步问城径释曰此通勾和与勾较股较和立法测望甲东行为通勾丙南行为通股甲斜行为通一直一斜勾和也直斜相较为勾较甲斜丙直相较为股较两相较共四百四十步二较和也 　　术曰以二较和减勾和余五百六十半之自乘得七万八千四百为平实　以和一千为从方　二分五厘为常法　作减从开平方法开之得八十为小差勾 　　负隅减从开平方法见二卷