新法算书 - 第 105 页/共 181 页

余角是甲乙丙三角形内有三边有乙 　　角今求甲丙乙他角以推戊己是为赤 　　道经度之余弧 　　假如甲为大角星其赤道纬于崇祯元年得二十一度一十分五十一秒为甲戊其余弧甲丙六十八度四十九分得正九三二四四为第一率黄道纬三十一度○二分三十秒为庚甲其余弧甲乙五十八度五十七分三十秒得正八五六七九为第二率其黄道经度过秋分辛一十九度○二分三十秒为辛庚即甲乙丙角之余弧庚丁必七十度五十七分三十秒得正九四五二八为第三率求得八六八五六为戊己弧之正查得戊己弧六十度一十七分三十○秒以减象限存二十九度四十二分三十○秒为大角星秋分后之赤道经度 　　求赤道经度后法【第三法】 　　用简平仪与前求纬法同今所求者为辰卯弧而先得者赤黄二纬度故三角形之底线与黄道平行星纬弧与两道距弧在图之左即相加在图之右即相减 　　如图乙为勾陈大星其黄道纬六 　　十六度○二分其先得之赤道纬 　　甲癸八十七度一十九分辛壬为 　　黄赤距弧【二十三度三十一分三十秒】以加赤 　　道纬度弧壬丙【八十七度一十九分】得辛丙【一百一十度五十分三十秒】总弧其通余弧丙寅之正【九三四五七】为丙庚也又因星在图之右应以星纬弧两道距弧相减得【六十三度四十七分三十秒】为寅子弧其正【八九七二○】为子未或己庚以减丙庚正余【三七三七】为丙己半之存【一八六八】为丙戊今本星黄道纬弧【六十六度○二分】为辛午其【九一三七八】为丁庚以减丙庚正得丙丁【二○七九】因以丙戊为第一率丙甲全数为第二丙丁为第三得丙乙【一一一二九六】去其首位【丙甲全数】存【一一二九六】为甲乙所对辰卯弧【六度二十九分一十秒】即本星之赤道经度并求恒星赤道经纬度【第四法】 　　依前法用立成表可并求经纬度且省算如图星在甲其黄道纬甲丁经丁庚而求赤道纬甲乙经乙庚即用此 　　两曲线三角形取之其法于甲乙丙三 　　角形内因三表可得甲乙弧为赤纬及 　　丙乙弧以得乙庚赤经先用赤道升度 　　表查取相当之黄道经度如图戊庚为 　　赤道弧辛庚为黄道弧今反之以辛庚为赤道即原黄道之丁庚升度今以当赤道之弧即可得相当之庚丙上度也次以黄赤距度表用其经弧查其纬弧既得经弧之度丙庚即知两道相距之纬度丙丁也更用过极圏截黄交角表因辛庚当赤道即星上过极之壬丙弧截见当黄道之戊庚弧于丙则得甲丙乙交角次以黄纬甲丁加两道距丁丙得甲丙为第一三角形之弧夫甲乙丙既为直角又有后得之甲丙乙角即先推甲乙 　　弧为星之赤道纬后得乙丙以减先得 　　之丙庚存乙庚为星距分节之经弧 　　假如娄宿东星于崇祯元年距黄道北 　　【九度五十七分】距春分节【三十二度二十九分四十八秒】为见 　　当赤道上之黄道升度丁庚也而在大梁宫查升度表于大梁宫得其度分其相当者为见当黄道上之度【三十四度四十八分】庚丙也又用两道距度表以庚丙弧四度四十八分于大梁宫查其相当之距纬得【一十三度一十○分】为黄赤距度丙丁又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宫之四度四十八分得【七十度二十○分二十四秒】为甲丙乙角今以甲丁【九度五十七分】加于丁丙【十三度一十分】得【二十三度○七分】为三角形之弧甲丙其正【三九二六○】为第二率甲丙乙角之正【九四一六七】为第三率甲乙丙直角全数为第一率求得【三六九九九】为四率即甲乙弧之正查得【二十一度四十二分五十三秒】为本星距赤道之纬弧又以甲乙丙角全数为一率甲丙乙余角【一十九度三十九分三十六秒】之【三三六四四】为二率甲丙弧之切线【四二六八八】为三率而求乙丙底弧之切线得【一四三六四】为四率查得【八度一十分二十六秒】以减庚丙弧【三十四度四十八分】存【二十六度 　　三十七分三十四秒】为本星赤道之经弧乙庚 　　若经少纬多星越赤道极之轴线戊丁 　　而近黄道极法当先用升度表次用黄 　　赤距表又次用交角表以三率求乙丙 　　则甲丙乙角之余与甲丙弧之切线相乘得数为乙丙弧之切线内减先升度表所取之丙丁弧余丁乙以减三百六十度所余环周之大丁乙即赤道经也再以丙角甲丙正相乘得数即赤道纬甲乙 　　若黄纬过九十度之外诸法同前但去九十度而用零数法以零数之余弧取其正乘丙角之正得甲乙纬又以零余弧之切线乘两角之余得丙乙之余切线又以所去九十度加丙乙内减升度丙丁所存以减全周所存通弧为本星之赤道经度 　　假如紫微垣新増少弼外南星其黄经五十○度○九 　　分黄纬八十○度三十八分查升度表 　　得五十二度三十五分为丙丁查距度 　　表得一十八度二十九分为丙己查交 　　角表得七十五度一十二分为丙角今 　　以距度丙己加黄纬甲己得甲丙九十九度○七分为过象限则去九十度独用其零数九度○七分以其余弧八十○度五十三分查八线表得九八七三七为正以乘丙角之正九六六八二得九五四五○一为赤纬甲乙之正查得七十二度三十九分又查零余弧八十○度五十三分其切线六二三一六○以乘丙角之余二五五四五得一五九一○六为丙乙之余切线查得三十二度○九分以加前所去九十度得一百二十二度○九分内减升度丙丁五十二度三十五 　　分存六十九度三十四分以减全周三 　　百六十存二百九十○度二十六分为 　　本星之赤道经度 　　若星在黄赤道之间法以黄纬减黄赤 　　距度其余同前用相乘之数减丙丁所得数为赤经数若星在两道南丙丁为赤经法当以乘出之乙丙数加乙丁为赤道经度是黄经短赤经长也 　　前所求在降娄大梁实沈三宫则可若 　　在鹑首鹑火鹑尾其法异是何也此星 　　方位出象限之外经度已转过至节故 　　前减者此宜加前加者此宜减又前黄 　　纬过九十度即越北极轴线故减于三百六十度内方得所求今从春分转至秋分虽过九十度而无轴线可越【不得至黄南极故也】故不必减于全周自秋分以往对待六宫如寿星至娵訾俱同前法但星在南左用北右法星在南右用北左法此为异耳 　　以度数图星象第二　三章 　　平浑仪义 　　古之作者造浑天仪以准天体以拟天行其来尚矣后世増修递进乃有平面作图为平浑仪者形体不甚合而理数甚合为其地平圏地平距等圏及过天顶横截之弧与天夫黄赤二道黄赤距等圏及过两极横截之弧皆确应天象故以此言天特为着明能毕显诸星之经纬度数也厯家称为至公至便超絶众器今详其应用多端不后于浑仪其要约简易则胜浑仪且浑仪所用大环欲其纤毫不爽势不可得未若平面之直线当一环圆界当一环直者必直圆者必圆无可疑也然论其本原即又从浑仪出何者凡于平面图物体若依体之一面绘之定不合于全体必依视学以物影图物体或圆或方或长短各用其远近明暗斜直之比例则像在平面俨然物之元体矣但光体变迁出光之处无数则所作影亦无数而受影之半面有正有偏则影之变态又无数故视学家分为二品一为有法物像一为无法物像【以可用为有法不则无法】今论浑仪之影能生平仪仪本于此必求平面之上能为实用可显诸曜之度数以资推算者则为有法而于诸无法像中择其有法者特有三一设光于最远处照浑仪正对春分或秋分则极至交圏为平面之圏界以面受影即显赤道及其距等圏皆如直线而各过极经圏皆为曲线之弧此有法之第一仪也次设光切南极则赤道为平面之圏界诸赤道距等皆作平面上圆形而极至交圏又如直线此为有法之第二仪也又次设光切春分或秋分在极分圏与赤道之交则亦以极至交圏为平面之圆界以面受影即赤道与极分交圏为直线而其余皆为曲线之弧此有法之第三仪也今绘星图惟用第二仪次则第三以其正对恒星之度其第一仪不用也为是平浑所须并论之总星图义 　　设浑仪以北极抵立平面其轴线为平面之垂线有光或目切南极正照之仪上设其影或像必径射于平面即北极居中设防之影去北极渐远者其在平面之两 　　距亦渐远乃至南极则为无穷影终不及 　　于平面矣又平面之上北极所居为过 　　两极轴线之影为浑仪众圏之心平面上 　　诸赤道距等圏离此愈远即其影愈寛大 　　至近南极者则平面无可容之地也假有 　　浑仪为甲丙乙丁甲为南极乙为北极以 　　乙极抵丑乙子平面有光或目在甲极先 　　照近北极之圏辰己即其影自己迄辰为 　　本圏之全径因以乙为心己辰为界即平 　　面作圏准浑仪之实环也又照夏至圏癸壬之圆界其影至卯寅即以卯寅为径次照赤道圈丙丁之圆界影至己戊以己戊为径各如前作圏各得准其本环次有冬至圏辛庚虽近甲南极小于赤道之丙丁圏而影在平面为丑子反大于赤道影己戊盖乙甲丑角大于乙甲己角故也若至午未南极圏其影在平面更远而终竟可至惟甲南极为左右直影与子丑平行终不至于平面也今作星图不用两至两极圏独用赤道之左右度分度分近乙北极即平面上影相距亦愈近远亦愈远经度既尔纬度亦然盖经度从心向外出线其左右各侣线愈远心相距亦愈广纬度从心向外作圏其内外各侣圏愈远心相距亦愈寛也问经度远心即愈广易见矣何以知星之纬度在平仪之上愈远心相距愈寛乎曰以几何徴之设有甲乙丙丁圏以全径甲丙抵戊己平面为垂线若平分圏界如一十二从甲出直线各过所分圏界至戊己庚辛平面上各得戊庚寛于庚辛面庚辛又寛于辛壬余线尽然盖 　　从甲出各侣线至平面以各防线连之其各腰与各底为比例则甲庚与庚辛若甲壬与壬辛也今甲庚大于甲壬则庚辛必大于辛壬【见几何第六卷第三题】试以丙为心作壬辛庚三侣圏其在仪各所分圏界则为距等而壬辛之相距与辛庚之相距广狭大异矣依此作图则去心远者各所限经纬度渐展渐大与近心者不等而经纬度之比例恒等即所绘星之体势与天象恒等不然者经度渐展纬度平分依经纬即失体势依体势即失经纬乖违甚也斜圏图圆义 　　浑仪诸圏有正有斜正者如赤道圏赤道距等圏及诸过极经圏也斜者如黄道圏地平圏及其各距等圏也以视法作为平面图设照本【或光或人目】在南极则正受照之圏影至平面必成圏形或直线如前说矣若斜受照之圏其影在平面当作何形像乎此当用角体之理明之按量体法【测量全义六卷】中论角体有正角有斜角两者皆以平圆面为底皆以从顶至底心之直线为轴线其为正与斜则以垂线分之若自角下垂线至底与轴线为一如第一图甲乙垂线即甲丙丁戊角形之轴线则甲丙 　　丁戊为正角体若两线相离如第二 　　图甲己为轴线甲乙为垂线则甲丙 　　戊庚丁为斜角体也更以斜角体上 　　下反截之为甲辛壬小角体【既斜截为上下 　　两体更若从轴线自上而下纵截之为两平分其截面三角形大小比例】 　　【相似则名反截之角体若不合比例则为无法】依斜角体之本理则小体之底与大体之底相似不得不成圆形今欲推黄道等斜圏不能正受照本之光则于平仪面所显何像法依第二斜角图以甲当南极照本之壬辛为浑仪上斜圏丙 　　戊庚为平面上斜圏之影次用三图徴 　　为圆影焉 　　假如甲乙丙为极至交圏甲当南极为 　　照本之防斜受光之圏为乙丁从甲照 　　之过乙丁边直射至己戊平面为甲己 　　甲戊两线即得甲己戊及甲乙丁皆直 　　线三角形此为浑仪平面形影之体势 　　以角体法论之己戊为乙丁圆圏之影 　　即甲己戊为全角体而甲乙丁其反截之小角体矣又甲丙垂线非甲庚枢线即甲己戊为斜角体而己戊其底自与甲乙丁小角体其底乙丁各相似也 　　问反截之角体与平面所得三角形何云两相似乎凡相似两三角形必三角各等三边之比例各等此有诸乎曰有之甲为共角从乙作直线至辛与己戊为平行即甲丙之垂线而甲乙辛角与甲己戊角俱在平行线上必等又甲乙辛甲丁乙俱在界乘圏之角而所乘之甲乙甲辛两弧等 　　即两角必等而甲丁乙与甲己戊两角亦等其余角甲乙丁及甲戊己亦等则乙丁小角体之底与其所照平面上之己戊必相似也凡斜圏之弧近于照本其影必长距远则短如从南极照黄道斜圏其半弧乙在赤道南近甲即甲己必长于甲戊然分较之虽南影长于北影合较之则平面上圆影不失黄道之圆影矣问以视法图黄道既为圆形从何知其心乎曰从照本之出直线为斜圏径之垂线引至平面则黄道之心也盖本图大小三角形既相似而甲丙与甲庚两线又相离即各分为两三角形各相似其甲丙戊与甲丙己一偶也甲辛乙与甲辛丁一偶也是以甲己庚角与己甲庚角等而甲庚线与庚己线亦等又甲戊庚角与戊甲庚角等何者因前图得己角与丁角等此 　　图得丁角与乙甲辛角等即己角与乙甲辛角亦等因得乙戊两角等又得乙角与庚甲戊角等即戊角与庚甲戊角亦等而戊庚与甲庚两线亦等因得戊庚与庚己两线等而庚为己戊径之心 　　绘总星图第三 　　古法绘星图以恒见圏为紫微垣以恒隐圏界为总图之界过此南偏之星不复有图矣西歴因恒见圏南北随地不同又渐次不同故以两极为心以赤道为界平分为南北二图以全括浑天可见之星此两法所繇异也赤道平分南北二总星图 　　以规器作赤道圏即本图之外界也纵横作十字二径平分为四象限限各九十又三分之分各三十又五分之分各六又六分之分各一此为全周三百六十度矣次从心至界上依度数引直线为各经度其作纬度有二法一用几何则依界上经度于横径之左定尺于横径之右上下游移之每得一界限度【界限度者或一度二度为一限或五度十度为一限以至九十】即于直径上作识则直径上下所得度与界 　　限度各相应而疎密不等经纬相 　　称矣用数则依切线表求界限度 　　之相当数以规器取之【用比例规甚便无规 　　先作半径百平分之用以取数】若表中求一十度 　　即径上下得二十度表中求二十 　　径上下得四十所得比所求恒多一倍也 　　假如欲依界限度以分径如第一图甲乙丙丁为赤道所分径为甲丙于乙上定尺从右径末丁向上移尺至一十二十等限于甲丙径上作戊己等一十二十诸识各识愈离心其侣距愈远矣若以数分之依第二图如求四十度癸庚则表中查二十度之切线相当数为三十六用规器向庚辛直线取庚子三十六移至甲乙径上自中心乙至己 　　为三十六即得四十度矣盖以丁为心作乙丙象弧其半弧乙壬之切线为平面之半径甲乙即乙己为二十度弧乙戊之切线若引丁戊割线至庚则癸庚得四十度与前法合也 　　见界总星图 　　见界总星图者以北极为心以恒隐圏为界此巫咸甘石以来相传旧法也然两极出入地平随地各异而旧图恒见恒隐各三十六度三十六者嵩高之北极出地度耳自是而南江淮间可见之星本图无有也更南闽粤黔滇可见之星本图更无有也则此为嵩高之见界总图而非各省直之见界总图也又赤道为天之大圏其左右距等侣圏以渐加小至两极各一耳于平面作图而平分纬度自极至于赤道纬度恒平分而经度渐广广袤不合即与天象不合向所谓得之经纬失之形势得之形势失之经纬者也况过赤道以南其距等纬圏宜小而愈大其经度宜翕而愈张若复平分纬度即不称愈甚其相失亦愈甚矣今依此作图宜用滇南北极出地二十度为恒隐圏之半径以其圏为隐见之界则各省直所得见之星无不备载可名为总星图矣又依前法为不等纬距度向外渐寛则经纬度广袤相称而星形度数两不相失矣但前以赤道为界设照本在南极所求者止九十纬度则所用切线半之止四十五度至赤道止矣用为平图之半径经纬度犹未甚广足可相配若此图则否其半径过赤道而外尚七十度并得一百六十度半之为八十度从南极出直线必割圆八十度乃合于百六十度之切线也此其长比赤道内之半径不啻五倍经纬皆愈出愈寛以比近北极之度分大小殊絶矣如图甲为平图之心乙为南极甲丙 　　为半径亦即为 　　四十五度甲戊 　　弧之切线若从 　　乙出直线割八十度之弧甲丁然后与甲丙引长百六十度之线遇于己其长于甲丙几及六倍也如是而依本法作图若图幅少狭即北度难分若北度加寛即图广难用矣今改立一法设照本稍出南极之外去极二十度起一直线以代乙己其与甲丙之引线不交于己而稍近丙以敛所求之度定平图之半径则广狭大小皆适中矣但照本所居宜有定处去极远则切线太促不能分七十度之限太近则半径过长畧同前说也今法如上图甲为平图之心欲其外界出丙己壬赤道之 　　外远至七十度先 　　求照本随所照光 　　图之作甲丙直线 　　去赤道径甲癸七 　　十度正次作乙丙