数学 - 第 14 页/共 16 页

法以大员积二二六○二七七五为实小员积五一二为法除之得四十四除实二二五二八不尽故差四十四倍竒 　　此地与月实体约畧差数也利西泰云地大于月三十八倍竒盖利算月径不啻八千里 　　右法算浑圆大小相较之差径防如此是亦少广之一法不可缺也西人言日大于地五倍有竒又云一百六十五倍有竒两数甚相悬今为补此一法则日大于地实体与圆径迥殊不足诧异矣 　　授时弧矢割员论 　　勿庵先生员容方直简法附授时厯弧矢割员图又附求黄赤内外度及黄赤道差法论之云割员之算始于魏刘徽至刘宋祖冲之父子尤精其术唐宋以算学设科古书犹未尽亡邢台盖有所本又云郭法用员容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乘方以先得矢西用八线故先得又西专用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用种种各别而不害其同有所以同者在耳且夫数者所以合理也厯者所以顺天也法有可采何论中西理所当明何分新旧在善学者知其所以异又知其所以同去中西之见以平心观理则弧三角之详明郭图之简括皆足以资探索而启深思务集众长以观其防通母拘名相而取其精粹 　　永按员者径一围三古人之恒言算家之麤率精于算者觉其未密因有割员之术刘祖二家各有其率盖欲细求周径之数以究平员之理未甞剖之为度析之为分一一纪其纵横之线以为测天之用也而算家相承仍用粗疎之率立弧矢之法或欲以曲承直则用三乘方法求矢或欲以直求曲则因矢以求半背差夫弧背为曲线矢为直线亘古无相通之率不相通而强求之其所求得之数必非真数也甞读唐荆川先生弧矢论攷其求背差之法所得者犹是径一围三六边之周耳【古法求背差以矢自乘为实以径为法除实得半背差倍之得全背差假令半径五自乘二十五径十除之得二五倍之得五加于径则半周十五又如径十而矢一者通六余通八余矢二以矢一自乘以径除之得小数一倍之得二为背差又以余矢二自乘以径除之得小数四倍之得八为背差合两通十四加两差一半周亦得十五皆径一围三之半周】又攷邢氏律厯考衍三乘方求矢法迂曲烦难究其所得仍是围三径一耳此繇八线表未传不得不如此立算其得数之非真虽前人亦未甞觉也郭太史之求黄赤内外度也先用带从三乘方求各度矢则得矢不真矣其既得黄赤内外半弧也又以矢度求半背差加入半弧得内外半弧背则弧度亦非真其求黄赤差法以黄道矢求半背差减黄道度得黄道半弧则得不真矣其既得赤道半弧也又求半背差以加半弧得赤道则赤道度亦非真夫表端者景正源洁者流清径一围三其本先失而欲数之不谬也得乎八线之法至矣剖析大员细至分秒无非真数以此测天丝毫莫能遁勿庵先生与郭法相提而论谓种种各别不害其同有所以同者在愚谓郭图之矢犹八线之矢也其句股皆八线所有之句股也究之郭法西法终莫能同有所以不同者在耳先生谓当去中西之见平心以观理夫理有真亦有似使其似是而未真则与真者相提而论虽欲比而同之不可得矣 　　先生于郭法各添注求黄道矢与则注云本法如此原法如此【见前】求内外半弧背及赤道则注云原法如此【见前】今省夫存其本法而不论其法之是与非岂不欲苛求古人与原法所有而今省岂微觉其法之未善与愚岂敢苛论古人哉亦谓理数精微不能两是宁割爱于古人耳 　　授时平立定三差辩 　　勿庵先生云授时厯于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积【一作叠】招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷厯草并以盈缩日数离为六段并以段目除其段之积度得数乃相减为一差一差又相减为二差则其数齐同乃縁此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为每日之定差矣若其布立成法则直以立差六因之以为每日平立合差之差此两法者若不相而其术巧防从未有能言其故者余因李世德孝亷之疑而试为思之其中原委亦自厯然爰命孙防成衍为垜积之图得书一卷 　　又云平立定差之法古无其术乃郭太史所创为以求七政盈缩之度所以造立成之根本也据云依立招差又云依垜叠立招差则似古算术中原有其法而今采用之然不可攷矣愚因李问为之衍算颇觉其用法之巧焉 　　永按郭太史时八线表未传中土以三差法求七政盈缩固巧矣愚窃谓其数之不真凡圆体参差截为数段前后相较其畸零之数无时而尽今以段目除积度相较至再而即齐同无是理也凡相差之尾数前后疎密必不均用时有収有弃未有能截然齐一者今恒六因立差以为每日平立合差之差则其差有常尾数不变【如太阳盈初缩未限平立合差之尾数恒为八四○六二其较以六缩初盈末限平立合差之尾数恒为二四六八○其较以二则盈缩加分盈缩积度之尾数皆有定率太阳如此其他可知】平圆中亦必无此差率也以至圆之体而欲以平方立方之差求之圆凿方枘岂能相入哉或曰郭氏于七政各分段目测之其数盖得之积候未可谓其无凭也曰凡以仪器测天虽极精密亦及度分而止必不能得其秒微各段相较至二差而齐同皆秒微之数则其积度畸零之小数必有迁就于其间者矣观太隂迟疾立成其损益积度至于五度四二九三有竒较西法加减均数为赢而又不知有二三均加减则其日逐测到之度岂尽与天密合哉平圆中自然之差数八线表尽之矣使平立定三差之法果符天运则八线亦可不立既有八线之精算为一切测圆之凖绳则此外更无岐途别径亦无取乎三差之巧矣于古人之法深究其根存而勿用可也 　　数学卷八 　　钦定四库全书 　　续数学卷一 　　婺源江永撰 　　正弧三角疏义 　　目録 　　【分支列目随其所欲求者因目以检后题】 　　第一支 　　有正角有余角有对正角之边而求两边一角 　　【凡正弧三角钤记甲为正角乙为余角丙为交角乙丙为对正角之边丙甲为对余角之边乙甲为对交角之边】 　　求对余角之边【第一题】 　　求对交角之边【第二题】 　　求交角【第三题】 　　第二支 　　有正角有余角有对余角之边而求两边一角 　　求对正角之边【第四题】 　　求对交角之邉【第五题】 　　求交角【第六题】 　　第三支 　　有正角有交角有对正角之边而求两邉一角 　　求对交角之邉【第七题】 　　求对余角之邉【第八题】 　　求余角【第九题】 　　第四支 　　有正角有交角有对交角之邉而求两邉一角 　　求对正角之邉【第十题】 　　求对余角之邉【第十一题】 　　求余角【第十二题】 　　第五支 　　有正角有角旁相连之两邉而求一邉两角 　　求对正角之邉【第十三题】 　　求余角【第十四题】 　　求交角【第十五题】 　　第六支 　　有正角余角夹一边而求两边一角 　　求对正角之边【第十六题】 　　求对余角之邉【第十七题】 　　求交角【第十八题】 　　第七支 　　有正角交角夹一邉而求两邉一角 　　求对正角之邉【第十九题】 　　求对交角之邉【第二十题】 　　求余角【第二十一题】 　　第八支 　　有正角有对正角交角之邉而求一邉两角 　　求对余角之邉【第二十二题】 　　求交角【第二十三题】 　　求余角【第二十四题】 　　第九支 　　有正角有对正角余角之邉而求一邉两角 　　求对交角之邉【第二十五题】 　　求余角【第二十六题】 　　求交角【第二十七题】 　　第十支 　　有三角求三邉 　　求对正角之邉【第二十八题】 　　求对余角之邉【第二十九题】 　　求对交角之邉【第三十题】 　　已上正法已具 　　第十一支 　　不用正角以余角交角二邉相对相求 　　余角交角偕对余角之邉求对交角之邉【第三十一题】交角余角偕对交角之邉求对余角之邉【第三十二题】对余角交角之邉偕余角求交角【第三十三题】 　　对交角余角之邉偕交角求余角【第三十四题】 　　正弧三角形 　　甲为正角　乙为余角　丙为交角 　　圆内全形图及解义详后 　　分题举法 　　第一支【有正角有余角有对正角之边求两边一角】 　　第一题 　　有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对乙角丙甲邉法曰半径【即甲角正后仿此】与乙角正若乙丙正与丙甲正【凡首举者为一率言与者为二率言若者为三率后言与者为四率凡数以二率三率相乘为实以一率为法除之而得第四率为所求之数凡二率可易为三三率可易为二凡半径为全数在首率者升位可省除在中间者升位可者乘后仿此】 　　第二题 　　有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对丙角乙甲边法曰半径与乙角余若乙丙正切与乙甲正切 　　第三题