御制数理精蕴 - 第 26 页/共 595 页

御制数理精蕴下编卷十三 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷十四 　　面部四 　　三角形 　　三角形 　　凡三角形立于圆界之一半者为直角即勾股过圆界之一半者为鋭角不及圆界之一半者为钝角然不拘鋭角钝角自一角至底边作垂线即分为两直角是仍不离乎勾股也两腰等者垂线即当底之一半而两腰不等者所分底界则有大小不同故和较相比之法因之而生葢和求较较求和要必归于勾股相求之理由勾股而得垂线则凡面积及内容方圆等形皆无不可得至于三角形角度相求之法乃割圆八线实所以极三角之用即如周髀所谓仰矩知髙俯矩知深是也故另为一卷兹但取三角形之面线相求诸法悉具图觧以次勾股使与勾股相表里焉 　　设如有等边三角形每邉十尺求中垂线几何法以底邉十尺折半得五尺为勾任以两腰之一邉十尺为勾求股得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也如图甲乙丙三角形其甲乙甲丙两腰相等则其底边之乙丙两角度亦必相等【见几何原夲二卷第九节】今所求之垂线为甲丁即将甲乙丙三角形平分为两直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆为直角其度又等故所分之两直角三角形为同式形而甲丁垂线又为两三角形所共用之邉线则所分之底边之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底边折半为勾任以甲乙甲丙两邉之一边为求得股为中垂线也 　　又法以底边十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺开方得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也葢比勾大一倍则之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节】依勾求股之法于自乗方积之四倍内减勾自乗方积之一倍余三倍即为股自乗之方积是中垂线之自乗方积为勾自乗方积之三倍故将底边折半自乗三因之即与中垂线自乗之方积等而开方得中垂线也 　　设如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂线几何 　　法以底一百五十尺为一率大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率以大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相减余十尺为三率求得四率十五尺六寸为底边之较与底一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较【葢甲庚与甲丙等故庚乙为两腰之较】乙丙为底边之和乙戊为底邉之较【葢丁丙与丁戊等故乙戊为底邉之较】今以乙丙底邉之和与乙己两腰之和为比即同于乙庚两腰之较与乙戊底边之较为比为转比例之四率【几何原夲九卷第八节自圜外一点至圜内所作之两线此两全线之比例同于圜外两叚转相比之比例】故乙丙为一率乙己为二率乙庚为三率求得四率为乙戊既得乙戊则于乙丙底边内减去乙戊余戊丙折半得丁丙为勾甲丙为求为股为甲丁中垂线也 　　又法以大腰一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺又以小腰一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺两自乘数相减余二千三百四十尺以底边一百五十尺除之得十五尺六寸为底边之较与底边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形试自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙两勾股形甲乙甲丙皆为乙丁丁丙皆为勾共以甲丁为股乙丙为两勾之和乙戊为两勾之较今以甲乙自乘则成甲戊己乙一正方形内丁庚辛乙为乙丁勾自乘之一正方形于甲戊己乙正方形内减去丁庚辛乙正方形所余甲戊己辛庚丁磬折形积即与甲丁股自乘之一正方形等又以甲丙自乘则成甲壬癸丙一正方形内丁子丑丙为丁丙勾自乘之一正方形于甲壬癸丙正方形内减去丁子丑丙正方形所余甲壬癸丑子丁磬折形积亦与甲丁股自乘之一正方形等是则前图之甲戊己辛庚丁磬折形与后图之甲壬癸丑子丁磬折形相等矣若两自乘之数相减则如甲戊己乙正方形内减去与甲壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛庚丁磬折形又减去丁子丑丙一小正方形所余为子庚辛乙丙丑一小磬折形引而长之成一长方形其长即乙丁与丁丙之和其濶即乙丁与丁丙之较故以乙丁与丁丙之和除子庚辛乙丙丑磬折形之积而得乙丁与丁丙之较也又图甲乙丙三角形作甲丁垂线分为两勾股形共以甲丁垂线为股故甲乙自乘方内有甲丁股自乘一方乙丁勾自乘一方而甲丙自乘方内有甲丁股自乘一方丁丙勾自乘一方今两勾股形之股既同则两方相减所余之数即两勾方相减所余之数故甲丁乙勾股形之甲乙自乘方内减甲丁丙勾股形之甲丙自乘方所余庚辛乙寅丑子磬折形即与甲丁乙勾股形之丁乙勾自乘方内减甲丁丙勾股形之丁丙勾自乘方所余乙卯辰己申未磬折形相等若将乙卯辰己申未磬折形引而长之遂成乙壬酉未长方形其长即乙丁丁丙两勾之和其阔即乙丁丁丙两勾之较其积即乙丁丁丙两勾方相减之余亦即甲乙甲丙两方相减之余是以两自乘相减之余积以两勾之和除之而得两勾之较也 　　设如有鋭角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何 　　法以底二十一尺为一率以大腰十七尺与小腰十尺相加得二十七尺为二率以大腰十七尺与小腰十尺相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为求得股八尺为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底边于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较乙丙为底边之和乙戊为底邉之较其乙丙与乙己之比即同于庚乙与乙戊之比为转比例四率也 　　又法以大腰十七尺自乘得二百八十九尺又以小腰十尺自乘得一百尺两自乘数相减余一百八十九尺以底二十一尺除之得九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为求得股八尺为中垂线也图解同前 　　设如有斜立鋭角三角形大腰二十一尺小腰十七尺底十尺求形外垂线几何 　　法以底十尺为一率大腰二十一尺与小腰十七尺相减余四尺为二率大腰二十一尺与小腰十七尺相加得三十八尺为三率求得四率十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减去底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为求得股十六尺八尺为形外垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求形外垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等复将乙丙底引长至戊作乙戊线则成甲乙戊三角形其乙丙为底邉之较乙戊为底边之和乙庚为两腰之较乙己为两腰之和自圜外至圜内所作两线之比例既同于圜外两叚转相比之比例则圜外两叚之比例亦必同于两全线转相比之比例故乙丙与乙庚之比即同于乙己与乙戊之比为比例四率既得乙戊则减乙丙余丙戊折半得丙丁为勾甲丙为求得股即甲丁垂线也 　　又法以大腰二十一尺自乘得四百四十一尺又以小腰十七尺自乘得二百八十九尺两自乘数相减余一百五十二尺以底十尺除之得十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为求得股十六尺八寸为形外垂线也如图甲乙丙三角形将乙丙底引长至戊自甲作垂线至丁则丁戊与丁丙等又自甲至戊作甲戊线与甲丙小腰等则成甲丁乙甲丁戊两勾股形甲乙甲戊皆为乙丁丁戊皆为勾共以甲丁为股而乙丙为两勾之较乙戊为两勾之和前法以和求较此法以较求和其理一也图解并同前 　　设如有鋭角三角形两腰俱五尺底六尺求面积几何 　　法先以底六尺折半得三尺为勾任以两腰之一边五尺为求得股四尺为中垂线与底六尺相乘得二十四尺折半得一十二尺为三角面积也如图甲乙丙三角形以乙丙底边与甲丁中垂线相乘成戊乙丙己长方形积比三角形积正大一倍故折半得三角积也 　　设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求面积几何 　　法先用求中垂线法求得中垂线八尺与底二十一尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺为三角面积也如图甲乙丙三角形先求甲丁垂线既得甲丁垂线乃与乙丙底边相乘成戊乙丙己长方形比三角形积正大一倍故折半得三角积也 　　又法以甲乙边十七尺乙丙边二十一尺甲丙边十尺三数相加得四十八尺为三边之总折半得二十四尺为半总以甲乙边十七尺与半总二十四尺相减余七尺为甲乙边与半总之较以乙丙边二十一尺与半总二十四尺相减余三尺为乙丙边与半总之较以甲丙边十尺与半总二十四尺相减余十四尺为甲丙边与半总之较乃以半总二十四尺为一率甲丙边与半总之较十四尺为二率乙丙边与半总之较三尺与甲乙边与半总之较七尺相乘得二十一尺为三率求得四率十二尺二十五寸开方得三尺五寸为三角形自中心至三边之垂线与三边之总四十八尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形之面积或以所得垂线三尺五寸与半总二十四尺相乘亦得八十四尺为三角形之面积也此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等【丁巳丙与丁庚丙等丁巳乙与丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等】又按甲戊度引乙丙线至辛则乙辛为三边之半总即三较之和【乙巳与乙戊等即甲丙边与半总之较巳丙与丙庚等即甲乙边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总之较】试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁巳平行乙辛壬形与乙巳丁形遂为同式形其乙辛与乙巳之比即同于壬辛与丁巳之比然乙辛一率乙巳二率之数虽有而壬辛之数却无又但知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数故以巳丙与丙辛相乘之数为三率【何以知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙巳角为癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙巳角与辛壬癸角等庚丁巳角与癸丙辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁巳形为同式形而丙辛壬勾股形与丁己丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率巳丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以巳丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁巳一率与壬辛四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三率也】其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与乙巳之比同于丁己与壬辛相乘之面【即己丙与丙辛相乘之面】与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁巳为三角形自中心至三边之垂线与丁戊丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也既得自中心至三边之垂线则用垂线与三边之总相乘所得一长方积【即如用垂线与三边各相乘所得三长方积合为一长方】比三角形积大一倍故折半而得三角形之面积如以垂线与半总相乘即与三角形积等而不用折半矣 　　设如有鋭角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺求内容正方边几何 　　法先用求中垂线法求得中垂线十二尺与底边四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率底边四十四尺为三率推得四率九尺四寸二分八厘五毫有余即三角形内所容正方之一边也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所得中垂线戊己庚辛为今所求内容正方形试依甲丁中垂线度将乙丙线引长作乙癸线为五十六尺又与甲丙线平行作壬癸线又将甲乙线引长作壬乙线则成与甲乙丙同式之壬乙癸三角形复与底线平行作甲子线与丙癸等即与甲丁垂线等又与甲丁平行作子丑线与甲丁等则甲丁垂线所作甲丁丑子正方形即为壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底与甲丁方边之比即同于甲乙丙三角形之乙丙底与戊巳方边之比故中垂线与底边相加为一率中垂线为二率底邉为三率推得四率为内容正方之一边也 　　设如等边三角形每边一尺二寸求内容圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余以三归之得三寸四分六厘四毫有余即内容圜形半径倍之得六寸九分二厘八毫有余即内容圜形全径也如图甲乙丙三角形内容丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙巳垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即内容圜形之中心故丁戊与丁己即内容圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁巳或丁戊之二倍丁戊既为内容圜形之半径则甲丁即为内容圜形之全径而甲戊中垂线必为丁戊半径之三倍矣故求得甲戊中垂线以三归之得丁戊即内容圜形之半径倍之得庚戊即内容圜形之全径也 　　设如等边三角形每边一尺二寸求外切圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余三归四因得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙己垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即外切圜形之中心故甲丁与丙丁即外切圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁己或丁戊之二倍甲丁既为外切圜形之半径则为甲戊中垂线之三分之二而甲戊中垂线却为甲庚全径之四分之三矣故求得甲戊中垂线三归四因得甲庚即外切圜形之全径也 　　又法以每边一尺二寸自乘三归四因开方得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切甲乙丁丙圜形试自甲角作甲戊中垂线又引长作甲丁全径线复自丁至乙作丁乙线遂成甲乙丁甲戊乙两勾股形为同式形甲乙既为乙戊之二倍则甲丁亦必为乙丁之二倍故甲丁自乘方积比乙丁自乘方积大四倍若依勾求股之法言之则甲丁自乘方积内减乙丁勾自乘方积所余为甲乙股自乘之方积今甲丁自乘方积既为乙丁勾自乘方积之四倍则是甲乙每边自乘方积为甲丁全径自乘方积之四分之三矣故以一边自乘三归四因即与全径自乘之方积等而开方得外切圜形之全径也 　　设如有鋭角三角形大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺求内容圜径几何 　　法先用求中垂线法求得中垂线二百四十尺与底四百一十八尺相乘得一十万零三百二十尺以大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺三数相加得一千零五十六尺除之得九十五尺即内容圜半径倍之得一百九十尺即内容圜全径也如图甲乙丙三角形内容戊圜形试自圜之中心至甲乙丙三角各作戊甲戊乙戊丙三线遂分甲乙丙三角形为甲戊乙甲戊丙乙戊丙三三角形其三边皆为三角形之底而戊巳半径皆为三角形之垂线今乙丙底边与甲丁中垂线相乘所得之长方积原比甲乙丙三角形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乘底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而濶则一故各以长除积而得濶者即如合三角形之三边除三角形之倍积而得半径也 　　设如有鋭角三角形大腰一百八十三尺小腰一百六十八尺底二百二十五尺求外切圜径几何法用求中垂线法求得中垂线一百三十四尺四寸为一率小腰一百六十八尺为二率大腰一百八十三尺为三率推得四率二百二十八尺七寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也 　　设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求外切圜径几何 　　法用求中垂线法求得中垂线八尺为一率小腰十尺为二率大腰十七尺为三率推得四率二十一尺二寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也 　　御数精蕴下编卷十四 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴> 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷十五 　　面部五 　　割圜【屡求勾股】 　　割圜 　　周髀曰圆出于方方出于矩矩者所谓直角即勾股也葢因方易度而圆难测方有尽而圆无尽故古人用割圜之法内外切屡求勾股为无数多边形以切近圜界使弧线直线渐合为一而圆周始得是则推圜者以方推方者以矩矣刘宋祖冲之以圜容六边起算元赵友钦以圜容四边起算自明末西法入中国又有割圜八线六宗三要等説而圜度内外诸线相求之法始偹要之圜内六边起算者圜径折半即圜内六边之一乃用屡求勾股之法自六边而十二边自十二边而二十四边自二十四边而四十八边如是累至亿万边设径为一而周得三一四一五九二六五三有余圜内四边起算者则以圜径为内容正方之斜自乗折半开方而得四边之一亦用屡求勾股之法自四边而八边自八边而十六边自十六边而三十二边如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外四边起算者圜径即四边之一圜径自乗倍之开方即圜外正方之斜减去圜径即圜外两角之余又即圜外八边之一以八边之一折半为勾半径为股求得与半径相减即股较又即小同式形之勾乃以八边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十六边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外六边起算者圜径为半径为勾求得股倍之即圜外三边之一取其三分之一即圜外六边之一以六边之一折半为勾半径为股求得与半径相减即股较又即小同式形之勾乃以六边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十二边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余此两法者或自圜内容形之边为勾股法使无数勾股小逼近圜周将与圜周合而为一或自圜外切形之边为勾股法使无数勾股小股逼近圜周亦将与圜周合而为一二法既立故凡圜周圜径诸法皆可以互相比例矣割圜八线则将圜周分为三百六十度先求弧度通折半为正既得正而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至于余余矢余切余割则又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角为正余角为余是以正余相对而割圜八线之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角测量诸法皆可以互相比例矣自圜内容形屡求勾股而得无数多边自圜外切形屡求勾股而得无数多边内外凑集则圜周渐变为直线而设圜界为度分者内而正外而切线至于无数则圜周亦渐变为直线二者互相考俱为相符可见理之至者先后一揆法之精者中外一理然则勾股即割圜之体而割圜即勾股之用二者交相成而两相得乎 　　圜内容六边起算 　　设如圜径二兆用内容六边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆为圜内所容六边形之每一边乃以半径一兆为六边之一边一兆折半得五千亿为勾求得股八千六百六十亿二千五百四十万三千七百八十四【四百四十零小余四三八六四六七六三七二三一七○七五二九三六一】与半径相减余一千三百三十九亿七千四百五十九万六千二百一十五【八三四七一小余五六一三五三二三六二七六八二九二四七○六三八】复为勾六边之一边折半之五千亿为股求得五千一百七十六亿三千八百零九万零二百零五【一六五二九小余○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六】为圜内所容十二边形之每一边如是屡求得圜内二十四边形之每一边为二千六百一十亿【五七六六四】五千二百三十八万四千【小余一○三一八三○九六八一二四五五七九○九七八○二○三八七】圜内四十八边形之每一边为一千三百零八亿零六百二十五万八千四百六十零【小余二八六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九】圜内九十六边形之每一边为六百五十四亿三千八百一十六万五千六百四十三【小余五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三三】圜内一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千三百四十六万三千二百五十二【小余九七三五六三二八五九二八五六五八九九一八九八三三二一三】圜内三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六千二百二十七万九千二百零七【小余八七四二五八五七○三九八一四六五八九五二六六七九九六四】圜内七百六十八邉形之每一边为八十一亿八千一百二十万八千零五十二【小余四六九五七九一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七】圜内一千五百三十六边形之每一边为四十亿九千零六十一万二千五百八十二【十三万一千七百三十二小余三二八一九○二二八八二六一一七九六】圜内三千零七十二边形之每一边为二十亿四千五百三十万七千三百六十零【八五八五一九○○三九小余六七六六○九○八二三八五九二二二九】圜内六千一百四十四边形之每一边为一十亿二千二百六十五万三千八百一十四【二一○二○七九○二九小余○二七三九五○二二○二八五九八九五】圜内一万二千二百八十八边形之毎一边为五亿一千一百三十二万六千九百二十三【八八五二二四三九一七小余七二四八三四六二八一二三二九九○三】圜内二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十三【一九○八八四七六七九小余九五一三○九四八○五二三四四九○一】圜内四万九千一百五十二边形之每一边为一亿【一一四一○六三一七六】二千七百八【小余二三六七六六二六一八六九四七六四六四○四九二○九九九七】圜内九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【小余一五一○二二○七一一六○七○八○七一二六三八七○七五三】圜内一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【小余○七九五九○九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○】圜内三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六【小余五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六七】圜内七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八万九千四百八十三【小余二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五六一一一一四八】圜内一百五十七万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六二五一一七四五二九七五八六八○七○六八一一七九三三九】圜内三百一十四万五千七百二十八边形之毎一边为一百九十九万七千三百七十零【一边为六万二千四百一十七小余八一七五五九○九六六六四○五九】圜内六百二十九万一千四百五十六边形之毎一边为九十九万八千六百八十五【二五四○○二八六七九六四小余四○八七七九六七二八三九七五五】圜内一千二百五十八万二千九百一十二边形之每一边为四十九万九千三百四十二【七五七四○六一一三六一四小余七○四三八九八五一九八三三一二】圜内二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【三六三九八二九九六三五五小余三五二一九四九二七九三七○八八】圜内五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【六一七六九八八○二六五六小余六七六○九七四六四二一一七二三】圜内一亿零六十六万三千二百九十六边【三二二五○四七○九四一八】形之毎【小余八三八○四八七三二一三六二五九○六三二○九五八七八四三】圜内二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【小余九一九○二四三六六○七一九二九二○四二六九一一八四○二】圜内四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之每一边为一万五千六百零四【小余四五九五一二一八三○三六四三九四九七一○七三二○九五一】圜内八亿零五百三十万六千三百六十八边形之毎一边为七千八百零二【小余二二九七五六○九一五一八二七九一五○四八二九一五一四二】圜内一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之每一边为三千九百零一【小余一一四八七八○四五七五九一四六九九六五八一四八七○一五】圜内三十二亿二千一百二十二万五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【小余五五七四三九○二二八七九五七四五二九五三四四○六八七四】圜内六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五【二兆之周数小余二七八七一九五一一四三九七八七三二九三六四一】圜内一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之每一边为四百八十七【一九九二六小余六三九三五九七五五七一九八九三六七七四九八九】圜内二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【○九九○五小余八一九六七九八七七八五九九四六八三八七四九四】圜内五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【五四九五三小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边之数与其每一边一百二十一【八七九○九小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千 　　【八七九○九】【小余五八六四七六五八○一三四八二二○三五五○一○八八七六八】一百七十九为圜径 　　圜内容四边起算 　　设如圜径二兆用内容四边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆自乗得一穣倍之开方得一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】为圜内所容四边形之每一边乃以半径一兆为四边之一边一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】折半得七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【小余五四七五二四四○○八四四三六二一○四八四九○三九二八四】为勾亦即为股【四边折半所成之勾股形其勾与股相等】与半径相减余二千九百二十八亿九千三百二十一万八千八百一十三【小余四五二四七五五九九一五五六三七八九五一五○九六○七一六】复为勾四边之一边折半之七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【三百四十三万二千三　　百六十五小余五　四七五二　四四八四四】为股求得七千六百五十三亿六千六百八十六万四千七百三十零【三六二一四八四九三九二八四小余一七九　五四三四五六九一九】为圜内所容八边形之每一边复以半径一兆为八边之一边折半得三千八百二十六亿八千三百四十三万二千三百六十五【九六　八六七九七七三三五二三小余八　九　七七一七二八四五九】为勾求得股九千二百三十八亿七千九百五十三万二千五百一十一【九八四三三九八八六六七六一小余二八六七五六一二八一八三一八】与半径相减余七百六十一亿二千零四十六万七千四百八十八【九三九六七八八二八六八二二小余七一三二四三八七一八一六八一】复为勾八边之一边折半之三千八百二十六亿【○六○三二一一七一三一七八】八千【小余○八九七七一七二八四五九九八四○三○三九八八六六七六一】为股求得三千九百零一亿八千零六十四万四千零三十二【小余二五六五三五六九六五六九七三六九五四○四四四八一八五五】为圜内所容十六边形之毎一边如是屡求得圜内三十二边形之每一边为一千九百六十亿三千四百二十八万零六百五十九【小余一二一二○三九八八三九一一二七七七七二八三六九一七二二】圜内六十四边形之每一边为九百八十一亿三千五百三十四万八千六百五十四【小余八三六○二八五○九九一五○七三五四一九二一八○四五八六】圜内一百二十八边形之每一边为四百九十亿八千二百四十五万七千零四十五【小余八二四五七六○六三四七一六二一○六二○八五七五四一三二】圜内二百五十六边形之每一边为二百四十五亿四千三百零七万六千五百七十一【小余四三九八五二一五八八一七八○五二八三二二七○七一六○○】圜内五百一十二边形之每一边为一百二十二亿七千一百七十六万九千二百九十八【四十九万五千一百九十四小余三○八九五○七一九二八一一○九八】圜内一千零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十一万三千五百二十五【九七五三九一五○二八七小余九三四八一八四○○九三五六一三五】圜内二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万零三百七十二【六一一八八八五○三一八小余五六九五三一二二四六○七五五四四】圜内四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万零六百三十七【八二五五三五七八○五四小余四八五四○九○五三八七七二一六八】圜内八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零三百七十五【○六九八○五三六五二九小余一四二七九一一七八一四四九六三四】圜内一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿【○七九一三二八八三一一】八千三百【小余六二一四○六六一四八七九八三九一四六七五四三七○三三三】圜内三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十八【小余一九一九五四六九一七四一○四四四三三三四一二七四三一七】圜内六万五千五百三十六边形之每一边为九千五百八十七万三千七百九十九【小余二○六一三三七六九○九八○一二九八六六八三四九五八○七】圜内一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九【小余六一六八三六四三七四五八三七五六五七一七七一三四八二七】圜内二十六万二千一百四十四邉形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九【小余八一○一三九四一二八四三○四四三七四六一七五二八三三○】圜内五十二万四千二百八十八边形之毎一边为一千一百九十八万四千二百二十四【小余九○五二八四八五五六八五七六○○四九三二九五五四六八八】圜内一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二千一百一十二【一边为一十八万七千二百五十三小余四五二六六九三二一五○○九】圜内二百零九万七千一百五十二边形之每一边为二百九十九万六千零五十六【○九九三八七二六○○六○六五小余二二六三三八○二二四五七七】圜内四百一十九万四千三百零四边形之毎一边为一百四十九万八千零二十八【○八七一四一二○二五三九六六小余一一三一六九四三一四四二二】圜内八百三十八万八千六百零八边形之毎一边为七十四万九千零一十四【六一○七五三四七四三二九三三小余○五六五八四七六八二四七八】圜内一千六百七十七万七千二百一十六边形之毎一边为三十七万四千五百零七【○六三七七四六五一五五○七七小余○二八二九二三九○六八九七】圜内三千三百五十五万四千四百三十二边形之【三七六六八七○六六八○○三二】每【小余五一四一四六一九六一六五五九八一四四三五○一○八二二四】圜内六千七百一十万八千八百六十四边形之每一边为九万三千六百二十六【小余七五七○七三○九八一八五三九○二三五九二四六五○三○六】圜内一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三【小余三七八五三六五四九一○五五一九○一三四三一○二四六八二】圜内二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之每一边为二万三千四百零六【小余六八九二六八二七四五五四三六二四九三六四九○九九七八四】圜内五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三【小余三四四六三四一三七二七七三八一六二○一九一二四八三二一】圜内一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之每一边为五千八百五十一【小余六七二三一七○六八六三八七一五八五六七六六四六一四六四】圜内二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五【之数与其每一边一百八十二小余八三六一五八五三四三一九三六一】圜内四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二【○五九二一七○八五三九四小余九一八○七九二六七一五九六八○】圜内八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一【九二○九六二七七四五二九小余四九五○三九六三三五七九八四○】圜内一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五【五○三一四○一六六○二七小余七二九五一九八一六七八九九二○】圜内三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之毎一边为一百八十二【二五七六八四九九二八八六小余八六四七五九九○八三九四九六○】乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六【一二九六○六八六○七七○】十八边【小余八六四七五九九○八三九四九六○一二九六○六八六○七七○】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六八六三○八三一○六七五五○○三○二三三六○】为圜径二兆之周数 　　圜外切六边起算 　　设如圜径二兆用外切六边起算问得圜周几何法以圜径二兆为半径一兆为勾求得股一兆七千三百二十亿五千零八十万七千五百六十八【二十六万九千一百八十九为勾小余八七七二九三五二七四四六三四】取其三分之二得一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【一五○五八七二三六六九四二小余二五一五二九○一八二九七五六】即圜外六边形之毎一边【一○○三九一四九一一二九五葢圜径为半径为勾所得股即圜外三边形之每边之一半倍之为圜外三边形之每一边其毎一边之三分之一即圜外六边形之每一边今以六边起算故省求三边止以所得之股取其】乃以六边形之每一边一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【三分之二为六边形之毎一边也小余二五一五二九○一八二九七五六】折半得五千七百七十三亿五 　　【一○○三九一四九一一二九五】【小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七】千零半径一兆为股即用六边之一边为【四千八百六十二圜内六边与半径等圜外六边亦与本形半径等故即用六】与半径相减余一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【边之一边为也小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】即股较又即小同式形之勾复以六边形之一边折半之勾五千七百七十三亿五千零二十六万九千一百八十九【四九一一二九五小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五】为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【七四五五六四七小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】为三率推得四率二千六百七十九亿四千九百一十九万二千四百三十一【四九一一二九五小余一二二七○六四七二五五三六五八四九四一二】为小同式形之股倍之得五千三百五十八亿【七六三三○五七】九千八百三十八万【小余二四五四一二九四五一○七百八十二万六千八百零七圜外三一】为圜外十二边形之每一边如是屡求得圜外二十四边形之毎一边为二千六百三十三亿零四百九十九万五千一百七十四【六九八八二五五二六六一一四小余七九一七○六九四三○五二九一】圜外四十八边形之每一边为一千三百一十亿八千六百九十二万五千六百三十零【四八一九四三四二○七一八四小余四七六四五七一二九○八七四四】圜外九十六边形之每一边为六百五十四亿七千三百二十二万零八百二十五【九七五九八八五五八九八四二小余九四五一七二八七八五一七八九】圜外一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千七百八十四万四千二百七十零【七七八六九一九二四七三一○小余六二三一六五三三○六八二一五】圜外三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六 　　【七二二五九三九八八九七五六】【小余五八七七五二七四○七五○一二四一四二六二九三○五五○二】千二七百六十八边形之每一边为八十一亿八千一百二十七万六千五百零一【小余五七四七一二三四○五二八六五四七○二○六三七八四二四六】圜外一千五百三十六边形之毎一边为四十亿九千零六十二万一千一百三十八【小余四三九四八七一七七○七三八九五七六二五○九三○八六七○】圜外三千零七十二边形之毎一边为二十亿四千五百三十万八千四百三十零【小余一八九六八二三○九八七九八九二○四九四○七三○一四三八】圜外六千一百四十四边形之毎一边为一十亿二千二百六十五万三千九百四十七【小余七一六五○二九四○六○七九二三六一七○八二四○○七六八】圜外一万二千二百八十八边形之每一边为五亿一千一百三十二万六千九百四十零【小余四三五九七二三○一一六二四八九八六三九六七三七八二六二】圜外二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十六【三圜外一百五十七小余○四○二○一六六四○五二四五三七一九三】圜外四万九千一百五十二边形之每一边为一亿二千七百八十三万一千七百三十二【三九一五○五八二小余四九七八七七七八四○一○五六○七七四○】圜外九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【一○四六二三四八小余一八三六六一○一一四○三三三五六四一三】圜外一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【七七六七八四八四小余○八三六七○七七○六三八九二五一四九七】圜外三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六【五○二五一六九四小余五四○八一五四一八四三七○一○三七九二】圜外七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八 　　【○二九四三三二二】【小余二七○二八○二一三三五八二一○八七二五八六○四二○三○】万九千四百八十万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六三五一二四一六九六九六五六九○二八一四八七○四五五八】圜外三百一十四万五千七百二十八边形之每一边为一百九十九万七千三百七十零【小余八一七五六○○九二七二五四六七四七四九七七六四四三五四】圜外六百二十九万一千四百五十六边形之每一边为九十九万八千六百八十五【小余四○八七七九七九七三四七三八一六○七九七四二七五二九八】圜外一千二百五十八万二千九百一十二边形之毎一边为四十九万九千三百四十二【小余七○四三八九八六七五四六七七一七八七八○九四六一二一四】圜外二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【小余三五二一九四九二九八八二五二一○六八八二八八四八八六二】圜外五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【万小余六七六○九七四六四四五四九○二三九八八一三七二三○八】圜外一亿零六十六万三千二百九十六边形之每一边为六万二千四百一十七【二小余八三八○四八七三二一六六六五六四三五七○三三九六九七】圜外二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【六小余九一九○二四三六六○七五七二八八七二三八八七六五四二】圜外四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之毎一边为一万五千六百零四【八小余四五九五一二一八三○三六九一四五一八○一一五一六○八】圜外八亿零五百三十万六千三百六十八边形之每一边为七千八百零二【○小余二二九七五六○九一五一八二三八五一九二三二八九九七一】圜外一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之毎一边为三千九百零 　　【○】【小余一一四八七八○四五七五九一五四四一七一四四八四二五六二】一圜外三十二亿二千一百二十二五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【一百二十一小余五五七四三九○二二八七九五七五三五三二六三四】圜外六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五【七○三六八小余二七八七一九五一一四三九七八七四四四七一八一】圜外一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之毎一边为四百八十七【一六三二○小余六三九三五九七五五七一九八九三六九三三六九八】圜外二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【五五八○二小余八一九六七九八七七八五九九四六八四三○六一二】圜外五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【七七六○六小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五【八二五一六】十二边之数与其每一边【小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六八二五一六】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六九三二一五四六○一七七八二八三九六○八三二】为圜径二兆之周数