御制数理精蕴 - 第 29 页/共 595 页

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边六十尺丙乙边三十二尺求甲丙边几何法以甲乙边六十尺为一率丙乙边三十二尺为二率半径十万为三率求得四率五万三千三百三十三为甲角之正切捡八线表得二十八度零四分即甲角之度【如用丙乙边作一率甲乙边作二率即先得丙角度】乃以甲角为对所知之角其正四万七千零五十为一率乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数三十二尺为三率求得四率六十八尺零一分二厘有余即甲丙为所求之边也又既得甲角之后用割线法则以半径为一率甲角之正割为二率甲乙边为三率求得四率即甲丙为所求之边也或得丙角则用丙角之正割为二率丙乙边为三率亦得甲丙边若得丙角仍用甲乙边为三率则用丙角余割【即甲角之正割】为二率而亦得甲丙边也 　　又法用勾股求以甲乙为股丙乙为勾求得即甲丙边也法已载于勾股集中 　　设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲丙边一百零二丈二尺丙乙边四十八丈求甲角丙角各几何 　　法以甲丙边为对所知之边其数一百零二丈二尺为一率丙乙边为对所求之边其数四十八丈为二率乙角为所知之角其正即半径十万为三率求得四率四万六千九百六十六为甲角之正捡八线表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之余即丙角之正如捡八线表余数得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚爲甲角正辛己与甲庚等为甲角之余即丙角之正甲庚己与甲乙丙両勾股形为同式形故甲丙边与丙乙边之比同于甲己半径与己庚正之比为相当比例四率也又法以丙乙边四十八丈为一率甲丙边一百零二丈二尺为二率半径十万为三率求得四率二十一万二千九百一十六为丙角之正割捡八线表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之余割即甲角之正割如捡余割数得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊为半径己戊为丙角之正切己丙为丙角之正割甲乙丙与己戊丙两勾股形为同式形故丙乙边与甲丙边之比同与丙戊半径与己丙正割之比为相当比例四率也 　　设如甲乙丙锐角三角形知乙丙边三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙边甲丙边各几何法以乙角六十度与丙角四十六度相加得一百零六度与半圜一百八十度相减余七十四度为甲角求甲丙边则以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率以乙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙为所求之一边也求甲乙边则仍以甲角为对所知之角其正九万六千一百二十六为一率而以丙角为对所求之角其正七万一千九百三十四为二率仍以乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙为所求之又一边也如图甲乙丙三角形作含三角形之圜则每界角各对一弧试自圜心丁作三角形各边之垂线即将每角所对之弧平分一半各成两心角其每一心角与相当各界角之度等【见几何原本四卷第十三节】是以乙角所对甲丙弧原系一百二十度今为丁庚癸垂线所平分各为六十度一为甲丁癸一为癸丁丙皆与乙角原度等丙角所对甲乙弧原系九十二度今为丁戊辛垂线所平分各为四十六度一为甲丁辛一为辛丁乙皆与丙角原度等甲角所对乙丙弧原系一百四十八度今为丁己壬垂线所平分各为七十四度一为乙丁壬一为壬丁丙皆与甲角原度等乙己为乙丁壬角之正己丙为壬丁丙角之正亦即甲角之正甲庚为甲丁癸角之正庚丙为癸丁丙角之正亦即乙角之正甲戊为甲丁辛角之正戊乙为辛丁乙角之正亦即丙角之正故求甲丙边者以乙己与甲庚之比或己丙与庚丙之比皆同于乙丙与甲丙之比又如求甲乙边者以己丙与甲戊之比或乙己与戊乙之比皆同于乙丙与甲乙之比俱是半与半全与全之比例而各为相当比例四率也又图求甲丙边者则用甲丙为半径自丙角至甲乙界作丙丁垂线为甲角正又依甲丙度截丙乙于戊使戊乙与甲丙等【凡用正比例因在圜内皆同半径今使戊乙与甲丙相同而后正之大小乃见】乃自戊至甲乙界又作戊己垂线为乙角正观戊己小于丙丁则知甲丙【同戊乙】亦小于乙丙故甲角正丙丁与乙角正戊己之比同于乙丙边与甲丙边之比为相当比例四率也又如求甲乙边者则用甲乙为半径自乙角至甲丙界作乙丁垂线为甲角正又依甲乙度截乙丙于戊使戊丙与甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂线为丙角正观戊己小于乙丁则知甲乙【同戊丙】亦小于乙丙故甲角正乙丁与丙角正戊己之比同于乙丙边与甲乙边之比为相当比例四率也 　　又法求甲乙边以乙角六十度之余切五万七千七百三十五与丙角四十六度之余切九万六千五百六十九相加得一十五万四千三百零四为一率乙角之余割一十一万五千四百七十为二率乙丙边三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之一十五万四千三百零四为一率而以丙角余割一十三万九千零一十六为二率仍以乙丙边三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形即如乙角六十度与象限九十度相减余三十度为甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度与象限九十度相减余四十四度为甲丁丙三角形之甲角乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角两余切相加即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是故求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也 　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙边九丈七尺八寸求丙角甲乙边甲丙边各几何 　　法以甲角五十度与乙角七十度相加得一百二十度与半圜一百八十度相减余六十度为丙角求甲乙边则以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率以丙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈零五寸六分有余即甲乙为所求之一边也求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率而以乙角为对所求之角其正九万三千九百六十九为二率仍以乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有余即甲丙为所求之又一边也此法所知之角与边虽与前法少异然总是有两角一边得其所余一角则仍与前法同矣 　　设如甲乙丙钝角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙边七十九丈零一寸求甲乙边甲丙边各几何 　　法以乙角二十四度与丙角三十六度三十分相加得六十度三十分与半圜一百八十度相减余一百一十九度三十分为甲钝角求甲乙边则以甲钝角为对所知之角夫甲角既为钝角过九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分与半圜一百八十度相减余六十度三十分为甲角之外角其正八万七千零三十六为一率【凡钝角之外角其正即钝角之正解见割圜集内】丙角为对所求之角其正五万九千四百八十二为二率乙丙边为所知之边其数七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙为所求之一边也如求甲丙边则仍以甲角为对所知之角用其外角正八万七千零三十六为一率而以乙角为对所求之角其正四万零六百七十四为二率仍以乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余【如既得甲乙边而以丙角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边但甲为钝角故用外角正求法畧异试以求甲乙边言之则甲乙边为半径于甲角之外作乙丁垂线则成乙甲丁之外角其乙丁垂线即乙甲丁外角之正又按甲乙边度截乙丙边于戊使戊丙与甲乙半径等作戊己垂线即丙角之正夫戊己丙与乙丁丙两勾股形为同式形故乙甲丁外角之正乙丁与丙角之正戊己之比即同于乙丙边与等甲乙边之戊丙之比为相当比例四率也其求甲丙边用外角正其理亦同 　　又法求甲乙边以乙角二十四度之余切二十二万四千六百零四与丙角三十六度三十分之余切一十三万五千一百四十二相加得三十五万九千七百四十六为一率乙角之余割二十四万五千八百五十九为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之三十五万九千七百四十六为一率而以丙角之余割一十六万八千一百一十七为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一钝角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角两余切相加之数即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是以求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也 　　设如甲乙丙钝角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙边一十六丈求甲角甲乙边甲丙边各几何 　　法以乙角三十三度三十八分四十秒与丙外角五十五度五十三分相减余二十二度一十四分二十秒即甲角【取甲角当以丙外角与半圜一百八十度相减余为丙钝角仍以丙钝角与乙角相加又与半圜一百八十度相减余为甲角今止以丙外角内减乙角即得甲角者葢因丙外角与乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共为一百八十度与半圜等今于半圜内减去丙钝角所余为丙外角而一百八十度内减丙钝角则余乙甲二角共度是甲乙二角共度与丙外角之度等故于丙外角内减去乙角即甲角也】求甲乙边则以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率以丙外角为对所求之角其正八万二千七百九十为二率乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙为所求之一边求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率而以乙角为对所求之角其正五万五千四百零四为二率仍以乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余【如既得甲乙边而以丙外角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边与前法同但先有外角少异耳 　　又法求甲乙边以乙角三十三度三十八分四十秒之余切一十五万零二百五十九与丙外角五十五度五十三分之余切六万七千七百四十八相减余八万二千五百一十一为一率乙角之余割一十八万零四百九十三为二率乙丙边一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相减之八万二千五百一十一为一率而以丙外角之余割一十二万零七百八十八为二率仍以乙丙边一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余即甲丙边也此法葢以乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙甲丁丙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之余切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之余割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角余切与甲丁乙三角形之乙角余切相减之数即两甲角之正切相减之较如子壬甲癸壬三角形与甲丁丙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子壬三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲子之比同于乙丙与甲乙之比又子壬与甲壬之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也 　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙边四十丈甲丙边二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙边各几何 　　法以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分为两边之和为一率又以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相减余一十三丈八尺九寸二分为两边之较为二率以甲角六十度与半圜一百八十度相减余一百二十度为外角折半得六十度为半外角其正切一十七万三千二百零五为三率求得四率三万六千三百九十七为半较角之正切捡八线表得二十度为半较角与半外角六十度相减余四十度即乙角之度如以半较角二十度与半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙两角即以丙角为对所知之角其正九万八千四百八十一为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲乙边为所知之边其数四十丈为三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙为所求之边也如图甲乙丙鋭角三角形以甲角为心甲丙小边为半径作一丙丁戊圜截甲乙大边于戊将甲乙引长至圜界丁则甲丁甲戊俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较丁甲丙角即甲角之外角试自丙至戊作一丙戊线则成甲丙戊三角形其甲丙戊与甲戊丙二角并之与丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自丙至丁作一丙丁线即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大于甲戊丙角之较亦即乙角小于甲戊丙角之较故自圜界戊至乙丙边己作己戊线与丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故两边之和丁乙与丁戊丙半外角切线丁丙之比即同于两边之较戊乙与半较角切线戊己之比为相当比例四率也 　　又法自丙角作丙丁垂线分为丙丁甲丙丁乙两直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂线及甲丁分边以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率二十二丈六尺一寸有余为丙丁垂线又以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角六十度与九十度相减余三十度即甲丙丁角【即丙之分角】为对所求之角其正五万为二率【直用甲角余亦可】甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边既得甲丁分边乃与甲乙边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边于是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙边以丁乙二十六丈九尺四寸六分为一率丙丁二十二丈六尺一寸有余为二率半径十万为三率求得四率八万三千九百零八为乙角正切捡八线表得四十度为乙角以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度与一百八十度相减余八十度为丙角既得乙丙两角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边矣或先求乙丙边则以丁乙二十六丈九尺四寸六分为勾丙丁二十二丈六尺一寸为股求得三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙边也 　　又法先求甲丁分边比例而得乙角以半径十万为一率【即丁直角之正】以甲角六十度之余五万为二率【即丙分角之正】以甲丙边二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边乃以甲丁分边十三丈零五寸四分为一率以甲丁分边与甲乙全边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边为二率甲角六十度之余切五万七千七百三十五为三率求得四率一十一万九千一百七十六为乙角余切捡表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己为甲角之余切而庚己甲与甲丁丙为同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸为乙角之余切而壬癸乙与乙丁丙为同式形故甲丁与丁乙之比同于庚己与壬癸之比也 　　又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边二十六丈一尺零八分为一率甲乙边四十丈为二率甲角六十度余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十七万六千九百一十一为甲角余切与乙角余切之共数即甲丙丁与乙丙丁两分角之共切又将甲角六十度与象限九十度相减余三十度即甲丙丁之分角捡其正切五万七千七百三十五与两分角之共切一十七万六千九百一十一相减余一十一万九千一百七十六为丁丙乙分角之正切即乙角之余切捡表得四十度即乙角之度也以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度又与半圜一百八十度相减余八十度即丙角之度也如甲乙丙鋭角三角形作丙丁垂线分为甲丁丙与乙丁丙两直角形以丙角为心作一戊己庚半圜则丙丁垂线平分于己两边各成一象限试与甲乙边平行作一辛壬线则辛己一段为甲丙丁分角之正切即甲角之余切己壬一段为乙丙丁分角之正切又即乙角之余切而辛丙为甲丙丁分角之正割亦即甲角之余割辛壬丙与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比即同于甲角余割辛丙【即甲丙丁分角之正割】与甲丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率也既得辛壬两分角之共切内减去甲丙丁分角三十度之正切辛己所余己壬为乙丙丁分角之正切即为乙角之余切捡表即得乙角也 　　设如甲乙丙钝角三角形知甲角一百一十九度三十四分甲乙边五十四尺甲丙边三十六尺九寸求乙角丙角及乙丙边各几何 　　法以甲乙边五十四尺与甲丙边三十六尺九寸相加得九十尺九寸为两边之和为一率又以甲乙边与甲丙边相减余一十七尺一寸为两边之较为二率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分为外角折半得三十度一十三分为半外角其正切五万八千二百四十为三率求得四率一万零九百五十六为半较角之正切捡八线表得六度一十五分为半较角与半外角三十度一十三分相减余二十三度五十八分即乙角之度如以半较角六度一十五分与半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分即丙角之度也既得乙丙二角求乙丙边则以丙角为对所知之角其正五万九千四百三十五为一率甲外角为对所求之角【甲角为钝角故用外角】其正八万六千九百七十八为二率甲乙边为所知之边其数五十四尺为三率求得四率七十九尺零二分四厘有余即乙丙边也如图甲乙丙钝角三角形以甲角为心甲丙为半径作一丙丁戊圜其乙丁为两边之和乙戊为两边之较丙丁为半外角之正切己戊为半较角之正切乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故以两边之和乙丁与丁戊丙半外角切线丙丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法自丙角作丙丁垂线于形外成丙丁乙与丙丁甲两直角形先用丙丁乙直角形求丙丁垂线及甲丁虚边以丁直角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分即甲外角为对所求之角其正八万六千九百七十八为二率甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率三十二尺零九分五厘为丙丁垂线又以丁直角为对所知之角其正即半径十万为一率又以甲外角六十度二十六分与九十度相减余二十九度三十四分为甲丙丁角【即丙外分角】为对所求之角其正四万九千三百四十四为二率【如直用甲外角之余为二率亦可】甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率十八尺二寸零八厘为甲丁虚边与甲乙边五十四尺相加得七十二尺二寸零八厘为乙丁全边又以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为一率丙丁垂线三十二尺零九分五厘为二率半径十万为三率求得四率四万四千四百四十八为乙角正切捡八线表得二十三度五十八分为乙角之度与甲外角六十度二十六分相减余三十六度二十八分即丙角之度【甲外角与乙丙二内角等故减去乙角余即丙角】既得乙丙二角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边或先求乙丙边则以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为股丙丁垂线三十二尺零九分五厘为勾求得七十九尺零二分即乙丙边也又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边三十六尺九寸为一率甲乙边五十四尺为二率以甲外角六十度二十六分之余割一十一万四千九百七十一为三率求得四率一十六万八千二百五十为甲外角余切与乙角余切之较数乃以甲外角六十度二十六分之余切五万六千七百三十一与两余切之较相加得二十二万四千九百八十一为乙角余切捡表得二十三度五十八分即乙角之度与甲角一百一十九度三十四分相加得一百四十三度三十二分与半圜一百八十度相减余三十六度二十八分即丙角之度也如甲乙丙钝角形将甲乙边引长自丙角作丙丁垂线遂成丙丁甲丙丁乙两直角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲乙丙三角形之甲角之外角其余切戊己即丙丁甲三角形之丙角之正切如庚辛甲外角之余割甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙三角形之乙角之余切壬癸即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛若丙丁乙三角形之乙角余切与丙丁甲三角形之甲角余切相减即两丙角相差之较如子庚丙辛庚三角形与丙丁甲三角形为同式形丙辛子三角形与丙丁乙三角形为同式形故丙庚子三角形与丙甲乙三角形亦为同式形是以甲丙边与甲乙边之比同于甲外角余割庚丙【即甲己】与两余切之较子庚之比为相当比例四率也既得子庚两余切之较与甲外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角度既得乙角则以乙角与甲角相并与半圜相减余即丙角矣 　　设如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙边八十丈甲丙边七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙丙边各几何 　　法以甲丙边为对所知之边其数七十丈三尺四寸为一率甲乙边为对所求之边其数八十丈为二率乙角为所知之角其正八万六千六百零三为三率求得四率九万八千四百九十六为丙角正捡表得八十度零三分即丙角度也既得丙角度则以乙角六十度与丙角八十度零三分相加得一百四十度零三分与一百八十度相减余三十九度五十七分即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正八万六千六百零三为一率甲角为对所求之角其正六万四千二百一十二为二率甲丙边为所知之边其数七十丈三尺四寸为三率求得四率五十二丈一尺五寸三分有余即乙丙为所求之边也 　　又法用余割求丙角以甲乙边八十丈为一率甲丙边七十丈三尺四寸为二率乙角六十度之余割十一万五千四百七十为三率求得四率十万一千五百二十六为丙角余割捡表得八十度零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三角形作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚丙角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲乙边与甲丙边之比同于乙角余割甲庚【即戊乙】与丙角余割甲辛【即己丙】之比为相当比例四率也 　　设如甲乙丙钝角三角形知丙角一百一十度甲乙边二十二丈五尺五寸甲丙边十二丈求甲角乙角及乙丙边各几何 　　法以甲乙边为对所知之边其数二十二丈五尺五寸为一率甲丙边为对所求之边其数十二丈为二率丙角为所知之角其外角七十度之正九万三千九百六十九为三率求得四率五万为乙角正捡表得三十度即乙角度也既得乙角度则以乙角三十度与丙角一百一十度相加得一百四十度与一百八十度相减余四十度即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正五万为一率甲角为对所求之角其正六万四千二百七十九为二率甲丙边为所知之边其数十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即乙丙为所求之边也又法用余割求乙角以甲丙边十二丈为一率甲乙边二十二丈五尺五寸为二率丙外角七十度之余割十万六千四百一十八为三率求得四率一十九万九千九百七十七为乙角之余割捡表得三十度即乙角度也如甲乙丙钝角三角形将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲丁乙三角形之乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比同于丙外角余割甲辛【即己丙】与乙角余割甲庚【即戊乙】之比为相当比例四率也 　　设如甲乙丙鋭角三角形知甲乙边一百二十二尺甲丙边一百一十二尺乙丙边一百五十尺求甲乙丙三角各几何 　　法求丙角以甲丙边一百一十二尺与乙丙边一百五十尺相乗得一万六千八百尺倍之得三万三千六百尺为一率以甲丙边一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺乙丙边一百五十尺自乘得二万二千五百尺以两边各自乘数相加得三万五千零四十四尺又以甲乙边一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺与两边各自乘相加数三万五千零四十四尺相减余二万零一尺六十尺为二率半径十万为三率求得四率六万为甲分角之正即丙角之余捡表得五十三度零八分即丙角之度也求乙角则以甲乙边与乙丙边相乘得数倍之为一率以甲乙边乙丙边各自乘相加内减去甲丙边自乘之数余为二率半径十万为三率求得四率为甲分角之正即乙角之余捡表即得乙角之度也或既得丙角用两边一角比例之法即得甲乙二角矣此法葢以三边之面积互相加减使面与面比而得线与线之比也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙边作一甲丁垂线分为甲丁丙甲丁乙两勾股形又作三边之各正方复作两边相乘之长方其甲丙戊己为甲丙边自乘之一正方庚辛乙甲为甲乙边自乘之一正方乙壬癸丙为乙丙边自乘之一正方丙癸丑子为甲丙边与乙丙边相乘之一长方倍之为丙癸卯寅一大长方今于甲丙戊己与乙壬癸丙两正方相并数内减庚辛乙甲一正方则是减去辰己午甲一正方即如甲丙戊己之一正方又减去庚辛乙午己辰一磬折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之较其积与乙壬申未一长方等【寅之长方与未申癸甲丁丙甲丁乙两勾股形同用一甲丁股是以甲丙方内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙方内有甲丁一股方乙丁一勾方因两三角形同用一股故其两较与两和相乘之数两勾较与两勾和相乗之数必然相等午乙即两之较辰己与辛乙相并即两之和庚辛乙午己辰磬折形即两较与两和相乗之积而乙未为两勾之较乙丙为两勾之和乙壬申未即两勾较与两勾和相乗之】所余为未申癸丙一长方试以甲丁垂线引长则平分未申癸丙一长方为未申酉丁与丁酉癸丙二长方此二长方与丙癸丑子子丑夘寅二长方同用一边为二平行线内所有二方面互相为比同于其底互相为比之例故丙癸夘寅之长方与未申癸丙之长方之比即同于丙寅边与未丙边之比也又比例之理全 　　与全半　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积所以知其相等也】与半之比例相同【为甲丙边与乙丙边相乗又加一倍之积】故丙癸夘丙之长方【即甲丙边乙丙边两正方相并内减甲乙边一正方所余之积】相比同于丙子边【与甲丙边同】与丁丙边之比也又甲丙边即如甲丁垂线所分丁直角之正而甲丁垂线所分之丁丙边即如甲分角之正是以甲丙边与乙丙边相乘加倍之丙癸夘寅长方积为一率甲丙边乙丙边两正方相并积内减甲乙边一正方所余未申癸丙长方积为二率对丁直角之正半径十万为三率求得四率为甲分角之正即丙角之余也 　　又求分边得角法以乙丙边为底其数一百五十尺为一率甲乙边大腰一百二十二尺与甲丙边小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率两边相减余一十尺为三率求得四率一十五尺六寸为分边之较与乙丙边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为丁丙分边之数乃以甲丙边为对所知之边其数一百一十二尺为一率丁丙分边为对所求之边其数六十七尺二寸为二率丁角为所知之角其正半径十万为三率求得四率六万为甲丁丙三角形之甲角正又即丙角之余捡表得五十三度零八分为丙角之度既得丙角则用两边一角比例之法遂得甲乙二角矣如图以甲角为心甲丙小边为半径作一戊丙己庚圜截甲乙边于庚截丙乙边于戊将甲乙引长至圜界己则甲己与甲丙等自己至乙即两边之和自庚至乙即两边之较乙戊即乙丁丁丙两分边之较是故分边之和乙丙与两边之和己乙之比即同于两边之较庚乙与分边之较乙戊之比为转比例四率也 　　又法以甲乙边一百二十二尺乙丙边一百五十尺甲丙边一百一十二尺三数相加得三百八十四尺为三边之总折半得一百九十二尺为半总以甲乙边一百二十二尺与半总一百九十二尺相减余七十尺为甲乙边与半总之较以乙丙边一百五十尺与半总一百九十二尺相减余四十二尺为乙丙边与半总之较以甲丙边一百一十二尺与半总一百九十二尺相减余八十尺为甲丙边与半总之较乃以半总一百九十二尺为一率甲丙边与半总之较八十尺为二率甲乙边与半总之较七十尺与乙丙边与半总之较四十二尺相乗得二千九百四十尺为三率求得四率一千二百二十五尺开方得三十五尺为三角形自中心至三边之垂线先求丙角则用甲乙边与半总之较七十尺为一率三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率求得四率五万为丙半角之正切捡表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角则用甲丙边与半总之较八十尺为一率先求甲角则用乙丙边与半总之较四十二尺为一率俱用三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等【辛为三边之半总即三较之和丁己丙与丁庚丙等丁己乙与】又按甲戊度引乙丙线至【丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等】辛则乙【乙己与乙戊等即甲丙边与半总之较己丙与丙庚等即甲乙之面边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总】试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁己平行乙辛壬形与乙己丁形遂为同式形其乙辛与乙己之比即同于壬辛与丁己之比然乙辛一率乙己二率之数虽有而壬辛之数却无又但知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数故以己丙与丙辛相乘之数为三率【之较何以知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角为癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角与辛壬癸角等庚丁己角与癸丙辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁己形为同式形而丙辛壬勾股形与丁巳丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以己丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁己一率壬辛四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三】其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与【率也】乙己之比同于丁己与壬辛相乘【即己丙与丙辛相乗之面】与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁己为三角形自中心至三边之垂线与丁戊与丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也 　　制数理蕴下编卷十七 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴> 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷十八 　　面部八 　　测量【勾股测量三角测量】 　　测量 　　周髀曰偃矩以窥髙覆矩以测深卧矩以知逺盖以矩度或表杆相度窥测立者则取其直平者则取其方必使成直角以大小勾股为比例以在器之勾股比所测之勾股彼此相形而得之者也然勾股必为直角而三角形则惟变所适而无定形要以角度为准而用割圜八线以为比例凡求角求边皆以三角形之法为本总以对所知为一率对所求为二率所知为三率得四率即所求也或一测或屡测惟在随时而致用或用正或用余惟在比例之相当不特凡物之髙深广逺可得而推即七政之躔度天地之形体俱可得而测也 　　勾股测量【凡用矩度或立表杆必用垂线取其与地平成直角以为准则若地不平 　　须记取某处与人目所看相平为记】 　　设如有一旗杆欲测其髙但知距旗杆之逺为三丈问得髙几何 　　法用矩度【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横俱界线画成小方分自中心所出线俱平分每边一半对中心所出线两邉安定表取中心安游表看分数必以其自中心所出线为准见几何原本十二卷】定准坠线以定表看地平游表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度前边为百分自中心平分半边为五十分】乃以中心平分距分五十分为一率所得距分四十分为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所对地平至旗杆顶之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如图甲乙为旗杆之髙丙乙为距旗杆之逺丁为矩度中心丁丙为矩度中心距地之高己庚为定表所对地平为戊辛壬为游表看旗杆顶甲其丁庚为矩度中心平分距分五十分壬庚为游表距地平分四十分其丁庚与壬庚之比同于丁戊与甲戊之比故丁庚五十分为一率壬庚四十分为二率丁戊距旗杆之逺三丈为三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺为旗杆之高也 　　又用表杆测法于距旗杆三丈处立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端与旗杆顶齐量二表间相距得五尺乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺加入后表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如图甲乙为旗杆之高乙丙为距旗杆之逺三丈丁丙为后表之髙四尺戊己为前表之高八尺丙己为二表之距五尺戊庚为二表之较四尺丁戊甲为人目视线试与乙丙平行作辛丁线遂成甲辛丁戊庚丁两勾股形为同式形故丁庚与戊庚之比同于丁辛与甲辛之比既得甲辛加与丁丙相等之辛乙即得甲乙为旗杆之高也 　　设如一树欲测其逺爰取一直角横量十五丈问得逺几何 　　法以矩度定表与游表定准直角以定表对树游表随直角立表杆二三处横量十五丈于此处复安矩度以定表对所立表杆取直看原处以游表看树得距矩度中心平分线距分三十分乃以所得距分三十分为一率矩度中心平分距分五十分为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈即离树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙为直角乙丙为横量十五丈丁戊为所立二表杆丙为矩度中心丙己为矩度中心平分距分五十分己庚为所得距分三十分丙己庚勾股形与甲乙丙勾股形为同式形故己庚与己丙之比即同于丙乙与甲乙之比也 　　又用表杆测法先立一表于乙取直角横量十五丈至丙次立一表于丙自丙对甲相直复立一表于丁次依丁丙度引至乙丙线上截乙丙于戊乃以丙戊折半于己遂得丁己丙勾股形与甲乙丙勾股形为同式形因量丙己得三丈为一率丁己得五丈为二率丙乙十五丈为三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也 　　设如有山一座欲知其高用重矩之法测之问山之高得几何 　　法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分三十二分为三率求得四率四十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率后矩度距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看山顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看山顶甲其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与辛壬之比同于丁丙与甲戊之比而为相当比例四率也又法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分三十二分处得距中心距分为四十分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看山顶甲丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分三十二分辛壬度于前矩度三十二分处作己庚线其丙庚距中心距分得四十分乃以丙庚四十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余十分其丁癸与辛壬之比即同于丁丙与甲戊之比也前法两矩度游表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其两中心距分之较此法因取其距地平相等之分故其两中心距分不同相减即得其两中心距分之较也 　　设如一墙欲知其逺用重矩之法测之问墙之逺得几何 　　法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶得距地平分四十分又向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看墙顶得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分二十四分为三率求得四率三十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度所得中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看墙顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看墙顶甲其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与丑壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁丑与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也 　　又法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表对前矩度中心游表看墙顶得距地平分二十四分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分二十四分处得距中心距分为三十分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看墙顶甲丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分二十四分辛壬度于前矩度二十四分处作己庚线其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余二十分其丁癸与癸壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁癸与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也 　　设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量三十九丈测之问两处各距石几何 　　法先平安矩度于右以定表看左矩度之中心游表看石得距矩度中心距分三十七分五厘其游表之斜距分为六十二分五厘次平安矩度于左以定表看右矩度之中心游表看石得距矩度中心距分十一分二厘五豪其游表之斜距分为五十一分二厘五豪乃以所得两距分相并得四十八分七厘五豪为一率右矩度所得之游表斜距分六十二分五厘为二率横量三十九丈为三率求得四率五十丈为右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺则仍以两距分相并为一率左矩度所得之游表斜距分五十一分二厘五豪为二率横量三十九丈为三率求得四率四十一丈为左矩度距石之逺也如图甲为石乙为右矩度中心其丁戊为距分三十七分五厘戊乙为游表斜距分六十二分五厘乙丙为横量三十九丈丙为左矩度中心其己庚为距分十一分二厘五豪己丙为游表斜距分五十一分二厘五豪试自甲角至乙丙线作甲辛垂线分为两勾股形则丁戊乙勾股形与甲辛乙勾股形为同式形已庚丙勾股形与甲辛丙勾股形为同式形而乙丙即为两勾之和故以丁戊与己庚两勾相并与戊乙之比同于乙丙与甲乙之比又丁戊与己庚两勾相并与己丙之比同于乙丙与甲丙之比俱为相当比例四率也 　　设如隔河一树欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十七丈测之问离树之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量十七丈复安一矩度【若止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心游表看树得距矩度中心距分四十九分其游表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心游表看树得距矩度中心距分十五分其游表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减余三十四分为一率先安矩度游表斜距分七十分为二率横量十七丈为三率求得四率三十五丈为先安矩度距树之逺若以后安矩度游表斜距分五十二分二厘为二率则得四率二十六丈一尺为后安矩度距树之逺也如图甲为树乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分四十九分戊乙为游表斜距分七十分乙丙为横量十七丈丙为后安矩度中心其己庚为距矩度中心距分十五分庚丙为游表斜距分五十二分二厘按己庚十五分截丁戊四十九分于辛则辛戊为减余三十四分乃自辛至乙作辛乙线与庚丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其乙丁辛勾股形与丙己庚勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而乙丁戊勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故乙戊辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以辛戊与乙戊之比同于乙丙与甲乙之比而辛戊与乙辛【乙辛即与丙庚度等】之比又同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以外故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛两勾股形【乙丁辛即丙己庚】亦同以乙丁为股故即成两两同式形若游表视线在对角以内或一在对角之内一在对角之外所得距矩度中心距分不同者则须取其同距矩度中心距分之度以为比例如后法 　　设如隔河一亭欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对亭横量三十丈测之问距亭之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量三十丈复安一矩度以先安矩度定表看后安矩度中心游表看亭得距矩度中心距分二十七分其游表之斜距分为五十六分八厘有余次以后安矩度看先安矩度中心游表看亭亦察距矩度中心距分二十七分处得距中心距分三十分其游表之斜距分为四十分三厘有余乃以所得距中心距分三十分与先安矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率先安矩度游表斜距分五十六分八厘有余为二率横量三十丈为三率求得四率八十五丈二尺有余为先安矩度距亭之逺若以后安矩度游表斜距分四十分三厘有余为二率则得四率六十丈四尺五寸有余为后安矩度距亭之逺也如图甲为亭乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分二十七分乙戊为中心平分距分五十分丁乙为游表斜距分五十六分八厘有余乙丙为横量三十丈丙为后安矩度中心其己庚亦为距矩度中心距分二十七分丙庚为距中心平分距分三十分己丙为游表斜距分四十分三厘有余按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分于辛则乙辛为减余二十分又自丁至辛作丁辛线与己丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其丁戊辛勾股形与己庚丙勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而丁戊乙勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故丁乙辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以乙辛与丁乙之比同于乙丙与甲乙之比又乙辛与丁辛【即己丙】之比同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以内故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为勾而两矩度上亦取与丁戊相等之己庚为勾使成两两同式形然后可以为比例也 　　设如有塔一座欲知其高用相等两表测之问得高几何 　　法先立一表比人目高四尺看塔顶得距分六尺又自前表向后量六丈复立一表亦比人目高四尺看塔顶得距分八尺乃以前距分六尺与后距分八尺相减余二尺为一率表比人目高四尺为二率向后量六丈为三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔顶下地平之逺则以两距分相减之较为一率前表距分六尺为二率向后量之数为三率得四率十八丈为前表距塔顶下地平之逺若求后表距塔顶下地平之逺则以后表距分八尺为二率得四率二十四丈即后表距塔顶下地平之逺也如图甲乙为塔之高丙丁与戊己为两表比人目之高四尺丁目为前表距分六尺丁己为向后量六丈己目为后表距分八尺试依前距分丁目六尺度截后距分己目于庚则庚目为减余二尺乃自戊过丙至辛作戊丙辛线又自戊至庚作戊庚线遂成戊己庚勾股形与丙丁目勾股形同度俱与甲辛丙勾股形为同式形而戊己目勾股形又与甲辛戊勾股形为同式形且丙戊与庚目皆为两勾股形之各股之较故戊庚目三角形与甲丙戊三角形又为同式形是以庚目与戊己之比同于戊丙与甲辛之比又庚目与己庚之比同于丙戊与辛丙之比庚目与己目之比并同于丙戊与辛戊之比也 　　设如有楼一座欲知其高用不等两表测之问得高几何 　　法先立长表比人目高六尺看楼脊得距分五尺四寸又自先立长表向后量二丈立短表比人目高四尺看楼脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺为一率前表距分五尺四寸为二率后表比人目之高四尺为三率求得四率三尺六寸为前表与后表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸与后表距分六尺四寸相减余二尺八寸为一率后表比人目之高四尺为二率以前表距分五尺四寸内减所得之三尺六寸余一尺八寸与两表相距二丈相减余一丈八尺二寸为三率求得四率二丈六尺加后表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如图甲乙为楼之高丙丁为前表比人目之高六尺丁目为前表距分五尺四寸丁己为向后量二丈戊己为后表比人目之高四尺己目为后表距分六尺四寸试依后表戊己度作庚辛垂线截丁目于辛则辛目距分必小于丁目故丙丁与丁目之比同于庚辛与辛目之比而得辛目之分既得辛目则以辛目与己目相减余壬目即前后两表同高所得距分之较又于两表相距丁己内减丁辛余辛己即同高两表相距之分故壬目与戊己【即庚辛】之比即同于戊庚【即辛己】与甲癸之比也 　　三角度数测量【度数测量必取资于仪器全圜仪半圜仪象限仪虽为体不同其为用则一以九十度为准以定表游表为二视线其相距之度即为所测之角】 　　设如一塔不知其髙但知距塔之逺为三十丈欲测其高几何 　　法以仪器定凖坠线以定表看地平游表看塔尖得两表相距二十四度乃以二十四度与九十度相减余六十六度为对所知之角其正九万一千三百五十五为一率仪器上二十四度为对所求之角其正四万零六百七十四为二率距塔之逺三十丈为所知之边为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即所求之塔之高也如图甲乙为塔之高丙乙为距塔之逺仪器中心为丁丁丙为仪器中心距地之高丁戊为定表所对地平为庚丁己为游表看塔尖甲得两表距弧二十四度为己戊其正为己辛其余为壬己与丁辛等象限九十度内减二十四度余六十六度为癸己即甲角之正弧其正即壬己是以与壬己相等之丁辛与己辛之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也