御制数理精蕴 - 第 23 页/共 595 页

法列积如开平方法商之其六万为初商积可除二百尺而以二百尺与和数七百八十二尺相减得五百八十二尺以初商二百尺乗之得十一万六千四百尺大于积数乃改商一百尺书于原积六万尺之上而以所商一百尺与和数七百八十二尺相减得六百八十二尺以初商一百尺乗之得六万八千二百尺书于原积之下相减余一千一百六十尺为次商廉隅之共积乃以初商一百尺倍之得二百尺与和数七百八十二尺相减得五百八十二尺为廉法以除一千一百六十尺止足二尺爰书空位于原积三百尺之上而以二尺书于原积空尺之上而以廉法五百八十二尺与三商二尺相减得五百八十尺以三商二尺乗之得一千一百六十尺书于原积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得一百零二尺与和七百八十二尺相减余六百八十尺即为长方之长也此法初商应商二百尺因减纵相乗得数转大于原积故改商一百尺凡遇此类不若用四因积数之法与半和自乗之法算之法以和数七百八十二尺折半得三百九十一尺自乗得一十五万二千八百八十一尺与原积六万九千三百六十尺相减余八万三千五百二十一尺开方得二百八十九尺为半较于半和减半较得一百零二尺为阔于半和加半较得六百八十尺为长也 　　设如有钱四千七百六十文买果树不知数但知树之共数与每株之价相加得一百七十四问树数及价各几何 　　法以共数一百七十四折半得八十七为半和自乗得七千五百六十九与共钱四千七百六十文相减余二千八百零九开方得五十三为半较于半和减半较余三十四为树数于半和加半较得一百四十为树价也此法以树数为阔树价为长成一长方形其树数与树价相加即如长阔之和故以半和自乗减积开方得半较既得半较以减半和为树数加半和为树价也 　　设如有法书一卷共一千一百五十九字其行数与每行字数相加共八十问行数及字数各几何法以和数八十折半得四十为半和自乗得一千六百与共字一千一百五十九相减余四百四十一开方得二十一为半较于半和加半较得六十一为行数于半和减半较余十九为每行字数也 　　设如有五百八十八人用船均载其船数与每船所载人数相加比船数多四分之三问船数与每船所载人数各几何 　　法先用比例分其积以三分为一率一分为二率五百八十八人为三率得四率一百九十六人用开平方法开之得十四为船数以三因之得四十二为每船所载之人数也此以船数为阔每船所载人数为长成一长方形船数与人数相加即如长阔之和和数既比船数多四分之三则是和数为四分每船所载人数为三分船数为一分即阔为一分长为三分也故将共人数三分之而取其一则人数与船数同为一分而成正方形矣故平方开之即得船数每船所载人数既为船数之三倍故三因之为所载人数也 　　御制数理精蕴下编卷十一 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴> 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴下编卷十二 　　面部二 　　勾股【定勾股无零数法　　勾股相求法附勾股求积　　勾股形内求中垂线及容方圆等形　　勾股和较相求法】 　　勾股 　　周髀曰折矩以为勾广三股修四径隅五既方其外半其一矩环而共盘得成三四五两矩共长二十有五是为积矩此言勾股正数之所以立法也葢勾股得长方之半形故其一角必成矩【所谓直角也】而后可谓勾股如其一角不能成矩则为三角形而非勾股矣因勾股一角必直故立于圜界之正一半而自直角所作垂线遂成连比例三率是以直角相对界所作方形之积必与两傍二界所作两方形之积等【见几何原本九卷第四节】而勾股彼此相求之法于此生焉其法所该有四一勾股三者知其二而得其一或知其二而得其积一勾股形自其直角对界求垂线一勾股形内容方圆等形一勾股三者知其一复知其余二者之较或二者之和而得其二或知其两较或两和或一较一和而得其三【勾股和较之法虽杂出多端然皆不出勾股方积相求之理较有勾股较勾较股较和有勾股和勾和股和和较相疉则又有与勾股和相和或名之曰和和有与勾股和相较或名之曰和较有与勾股较相和或名之曰较和有与勾股较相较或名之曰较较又有勾与股和相和者或名之曰勾和和股与勾和相和者或名之曰股和和即和和也勾与股和相较者或名之曰勾和较股与勾较相和者或名之曰股较和即较和也股与勾和相较者或名之曰股和较勾与股较相和者或名之曰勾较和即较较也勾与股较相较者或名之曰勾较较股与勾较相较者或名之曰股较较即和较也】此四者皆勾股之正法理一定而数随之者也至若勾三股四五之类倍之至于亿兆而总不越此一定之分者名曰正勾股槩以比例推之则三者止有其一即可得其二或有积而即得其三界此为数一定而法随之者也一一按类列题发明如左 　　定勾股无零数法 　　设如用二四八连比例三率定勾股无零数问各得几何 　　法以中率四命为四尺为股首率二尺与末率八尺相减余六尺折半得三尺为勾首率二尺与末率八尺相加得十尺折半得五尺为也如图甲乙为首率二尺丙乙为中率四尺乙丁为末率八尺今以甲乙与乙丁相和共为甲丁十尺而以丙乙立于甲丁线相和之乙处乃以甲丁折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复以丙至甲至丁作丙甲丙丁二线遂成甲丙丁勾股形其丙角立于圜界之半必为直角【见几何原本四卷第十四节】而丙乙为垂线即将甲丙丁勾股形分为甲乙丙丙乙丁两勾股形而与原形为同式三勾股形矣【见几何原本九卷第一节】其甲乙与丙乙之比同于丙乙与乙丁之比为连比例三率故以中率丙乙为股而首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾又首率甲乙与末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊戊丁二半径与丙戊等为也此法原为定勾股三者俱无零数之法所设之数必彼此可以度尽始可立为准则否则勾股三者必有一不尽之数矣 　　设如有四六可以度尽之两数欲定勾股无零数问各得几何 　　法以四尺为首率六尺为中率将中率六尺自乗得三十六尺用首率四尺除之得九尺为末率乃以中率六尺为股首率四尺与末率九尺相减余五尺折半得二尺五寸为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺折半得六尺五寸为也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺今以中率六尺自乗用首率四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲乙首率乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线故以中率丙乙为股而首率甲乙与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾而首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁折半得甲戊戊丁与丙戊等为也 　　设如有四六九连比例三率以中率六倍之为股定勾无零数问各得几何 　　法以首率四尺与末率九尺相减余五尺为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺为也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺乙丁为末率九尺爰以甲乙首率与乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作一全圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线今将中率丙乙倍之即得丙庚为股故以首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减余乙己与庚辛等为勾又首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁全径与丙辛等为也葢前二法用中率为股故以首率末率相减折半为勾首率末率相加折半为此法则倍中率为股故以首率末率相减即为勾首率末率相加即为而皆不用折半也又图甲乙为首率四尺乙丙为末率九尺甲丙为首率与末率相加之十三尺丁丙为首率与末率相减所余之五尺如依甲丙线度作甲戊己丙正方形即为自乗之方如依丁丙线度作丁庚辛丙正方形即为勾自乗之方今以乙丙末率亦作一正方形将两边线引长至甲戊己丙正方形界则成甲癸丑乙与丑壬己子二长方形仍余癸戊壬丑一小正方形又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引长至乙丑子丙正方形之丑子界则又成乙丑寅丁一长方形与前一长方形等仍余庚寅子辛一小长方形合前癸戊壬丑一小正方形则亦与前一长方形等是此四长方形皆为首率与末率相乗之长方而与中率自乗之正方形相等矣【见算法原本二卷第三节】如以此四长方形共计之则为甲戊己辛庚丁一磬折形今甲戊己丙既为自乗之一正方而丁庚辛丙又为勾自乗之一正方则两方相减所余之甲戊己辛庚丁磬折形之积与股自乗之一正方等【见几何原本九卷第四节】甲戊己辛庚丁磬折形既为四长方之共积则四长方之共积亦必与股自乗之一正方等首率末率相乗之四长方既与股自乗之一正方等则中率自乗之四正方亦必与股自乗之一正方等是故中率自乗之四正方合之而为股自乗之一正方则其每边必比中率各大一倍【见几何原本七卷第五节】故倍中率而为股者必取首率末率之和而为首率末率之较而为勾葢首率末率相和自乗之一正方内减去首率末率相较自乗之一正方甫能得中率加倍自乗之一正方积也 　　勾股相求法【勾股求积附】 　　设如有股四尺勾三尺求几何 　　法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自乗得九尺相加得二十五尺开方得五尺即为也如图甲乙丙勾股形其甲乙股所作丁戊乙甲正方形积乙丙勾所作乙己庚丙正方形积相并必与甲丙所作甲丙壬辛正方形积等试自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形而甲乙丙勾股形分为甲乙癸乙丙癸同式两勾股形矣其甲癸与甲乙之比同于甲乙与甲丙之比为连比例三率故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形与甲癸首率甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛长方形之积相等也又癸丙与乙丙之比同于乙丙与甲丙之比为连比例三率故乙丙中率所作乙己庚丙正方形与癸丙首率甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子长方形之积相等也一正方所分之二长方既与二正方之积相等则此二正方之积相合与彼一正方之积相等可知矣 　　设如有勾五尺十三尺求股几何 　　法以勾五尺自乗得二十五尺十三尺自乗得一百六十九尺相减余一百四十四尺开方得十二尺即为股也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等故甲丙所作甲丙壬辛正方形内减去与乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子长方形余甲癸子辛长方形即与丁戊乙甲正方形之积相等故开方而得甲乙为股也 　　设如有股二十一尺二十九尺求勾几何 　　法以股二十一尺自乗得四百四十一尺二十九尺自乗得八百四十一尺相减余四百尺开方得二十尺即为勾也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等故甲丙所作甲丙壬辛正方形内减去与丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛长方形余癸丙壬子长方形即与乙己庚丙正方形之积相等故开方而得乙丙为勾也 　　设如有勾六尺股八尺求面积几何 　　法以勾六尺与股八尺相乗得四十八尺折半得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形其乙丙勾与甲乙股相乗则成甲乙丙丁长方形其积比甲乙丙勾股形正大一倍故折半得勾股积也若有勾求面积则用勾求股之法得股与勾相乗折半得面积或有股求面积则用股求勾之法得勾与股相乗折半得面积也 　　又法将勾六尺折半得三尺与股八尺相乗亦得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形将乙丙勾折半为乙丁与甲乙股相乗成甲乙丁戊长方形其甲戊己小勾股形与己丁丙小勾股形之积等如以甲戊己小勾股形移于己丁丙适合甲乙丙勾股形积故甲乙丁戊长方形积与甲乙丙勾股形积相等也 　　勾股形内求中垂线及容方圆等形 　　设如有勾六尺股八尺十尺欲自直角对界作垂线问得几何 　　法以十尺为一率勾六尺为二率股八尺为三率推得四率四尺八寸即为自直角对界所作垂线也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则将甲乙丙勾股形分为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙与甲乙勾之比同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙与甲丁勾之比而为相当比例四率也 　　设如有勾六尺股八尺十尺欲自直角对界作垂线分为二问所分二大小各几何法以勾六尺自乗得三十六尺以十尺除之得三尺六寸为垂线所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以十尺除之得六尺四寸为垂线所分之大界也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙与甲乙勾之比同于今所分甲丁乙勾股形之甲乙与乙丁勾之比为连比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙与甲丙股之比又同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙与丙丁股之比亦为连比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又为今所分甲丁乙勾股形之者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙为首率除之得末率乙丁为甲丁垂线所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又为今所分甲丁丙勾股形之者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙为首率除之得末率丁丙为甲丁垂线所分之大界也 　　设如有勾五尺股十二尺问内容方边几何 　　法以勾五尺与股十二尺相加得十七尺为一率勾五尺为二率股十二尺为三率推得四率三尺五寸二分九厘有余为内容方边也如图甲乙丙勾股形甲乙为股十二尺乙丙为勾五尺试依乙丙勾数将甲乙股引长作甲戊线为勾股和十七尺自戊与乙丙勾平行作戊丁线又将甲丙引长作甲丁线则成甲戊丁同式勾股形复自丙角与甲戊线平行作丙壬线则成丙壬戊乙正方即为甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股与乙丙方边之比同于甲乙丙勾股形之甲乙股与己辛方边之比也 　　设如有方城一座四正有门自南门直行八里有一塔自西门直行至二里切城角亦望见塔问城每面几何 　　法以西门外二里与南门外八里相乗得十六里开方得四里倍之得八里即为城每一面之数也如图甲乙丙勾股形乙己为西门外二里甲丁为南门外八里戊己与戊丁皆为城之每边之一半而甲丁戊勾股形与戊己乙勾股形为同式故乙己与己戊之比同于戊丁与丁甲之比为相当比例四率且己戊与戊丁皆为一体故又为相连比例三率是以乙己首率与甲丁末率相乗开方而得戊丁或戊己皆为中率为城之每边之一半也 　　设如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊长方形但知丁戊寛为戊丙长四分之一从甲至戊为四尺从乙至己为九尺问长方及勾股各几何 　　法以甲戊四尺与乙己九尺相乗得三十六尺为内容长方之积用四归之得九尺开方得三尺为己丙即长方之阔以四因之得十二尺为戊丙即长方之长以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺为股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺为勾也葢丁己乙勾股形与甲戊丁勾股形皆与甲乙丙勾股形为同式故丁己乙勾股形之乙己勾与丁己股之比即同于甲戊丁勾股形之丁戊勾与甲戊股之比而乙己首率与甲戊四率相乗之数必与丁己二率与丁戊三率相乗之数相等是以乙己与甲戊相乗即为丁己丙戊长方形之积也丁戊既为戊丙之四分之一则以四归之即成丁戊线所作之正方形积故开方得丁戊之阔又四因之而得戊丙之长也既得丁戊而丁戊与己丙等故己丙与乙己相加得乙丙之勾而戊丙与甲戊相加得甲丙之股也 　　设如有勾八尺股十五尺十七尺问内容圆径几 　　何 　　法以勾八尺与股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺十七尺三数相加共四十尺除之得三尺为容圆半径倍之得六尺为容圆全径也如图甲乙丙勾股形内容丁圜形试自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股三线皆为三角形之底边而丁戊半径皆为其垂线矣今勾股相乗所得之长方积原比甲乙丙勾股形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乗底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而阔则一故各以长除积而得阔者即如合勾股三边除勾股相乗之积而得半径也 　　又法以勾八尺与股十五尺相加得二十三尺内减十七尺余六尺即为内容圆之全径也如图甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三线又作丁戊丁己丁庚三垂线则丙戊与丙己等甲戊与甲庚等乙己与乙庚原等甲乙股与乙丙勾相并比甲丙所多者惟乙己乙庚二今于甲乙股乙丙勾相并度内减去甲丙即如甲乙股内减去与甲戊等之甲庚乙丙勾内减去与丙戊等之丙己所余者止乙庚与乙己皆为圆之半径二半径相合非全径耶 　　勾股和较相求法【上】 　　勾股和较相求之法错综变换共有六十旧算书所有者八按旧法可以变通者三十有四旧法所无今创立者一十有八依题比类列目于前按法循序设问于后以备人之观览焉 　　有勾有股较求股【第一旧有】 　　有勾有股和求股【第二旧有】 　　有股有勾较求勾【第三旧有】 　　有股有勾和求勾【第四旧有】 　　有有勾股较求勾股【第五旧有】 　　有有勾股和求勾股【第六旧有】 　　有勾和有股和求勾股【第七旧有】 　　有勾股和有股和求勾股【第八新立】 　　有勾股和有勾和求勾股【第九新立】 　　有勾较有股较求勾股【第十旧有】 　　有勾股较有勾较求勾股【第十一按旧法变通】有勾股较有股较求勾股【第十二按旧法变通】有勾股和有勾较求勾股【第十四新立】 　　有勾股和有股较求勾股【第十五新立】 　　有勾和有股较求勾股【并见第十五新立】有勾和有勾股较求勾股【第十三按旧法变通】有股和有勾较求勾股【并见第十四新立】有股和有勾股较求勾股【并见第十三按旧法变通】有勾有勾股总和求股【第十八按旧法变通】 　　有勾有与勾股和之较求股【第十六按旧法变通】有勾有与勾股较之和求股【第十九按旧法变通】有勾有与勾股较之较求股【第十七按旧法变通】有股有勾股总和求勾【第二十二按旧法变通】有股有与勾股和之较求勾【第二十按旧法变通】有股有与勾股较之和求勾【第二十三按旧法变通】有股有与勾股较之较求勾【第二十一按旧法变通】有有勾股总和求勾股【第二十六按旧法变通】有有与勾股和之较求勾股【第二十四按旧法变通】有有与勾股较之和求勾股【第二十七按旧法变通】有有与勾股较之较求勾股【第二十五按旧法变通】有勾股和有勾股总和求勾股【并见第二十六按旧法变通】 　　有勾股和有与勾股和之较求勾股【并见第二十四按旧法变通】 　　有勾股和有与勾股较之和求勾股【第三十八新立】 　　有勾股和有与勾股较之较求勾股【第三十七新立】 　　有勾和有勾股总和求勾股【并见第二十二按旧法变通】 　　有勾和有与勾股和之较求勾股【第三十九新立】