御制数理精蕴 - 第 184 页/共 595 页

零分与整相并法零分并整则成整带零分矣若更须与他数相并减乗除者亦以原母为母以原母乗整得数并原子为子如前法 　　零分与整相减法　零整相减者法亦以原母为母以原母乗整得数减原子为子如甲数七乙数五分之三相减得五分之三十二是也【归整则为六又五分之二】 　　零分相并法　诸数皆零分欲相并者法以诸母累乗得数为共母以诸子各累乗他母得数为诸子【本子与本母不相乗　或诸子各乗共母而以本母除之得数为诸子亦可】乃相并为子假如甲数五分之二乙数七分之四丙数八分之三则以三母累乗得二百八十为共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二为甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十为乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五为丙子并之得三百七十七为子凡得二百八十分之三百七十七是也【归整为一又二百八十分之九十七】 　　右法亦有可省者如甲数五分之四乙数三分之一丙数一十五分之七即以丙母一十五为共母而以甲子乗乙母得一十二为甲子以乙子乗甲母得五为乙子【丙子即用原数】并之得二十四为子凡得一十五分之二十四仍约为五分之八是也【归整为一又五分之三】 　　零分相减法　零分相减者依并分法累乗为共母为诸子而减之为子如甲数五分之二乙数七分之四内减丙数八分之三得二百八十分之一百六十七是也 　　零分与整相乗法　零分数整数相乗者以原母为母以原子乗整得数为子如甲数七乙数五分之三相乗得五分之二十一是也【归整为四又五分之一】 　　零分除整法　以零分数为法除整数者以原子为母以原母乗整得数为子如乙数五分之三除甲数七得三分之三十五是也【归整为一十一又三分之二】 　　整除零分法　以整数为法除零分数者以整乗原母得数为母以原子为子如甲数七除乙数五分之三得三十五分之三是也 　　零分相乗法　两零分数相乗者以两母相乗得数为母以两子相乗得数为子如甲数九分之八乙数五分之三相乗得四十五分之二十四仍约为一十五分之八是也【或两母同或两子同者亦必相乗】 　　右法亦有可省者以两母相乗以甲子除之为母即竟以乙子为子如右例两母相乗以乙子除之为母则以甲子为子得一十五分之八不须更约是也 　　零分除零分法　以法除实而法实两数俱系零分者以法子乗实母得数为母以法母乗实子得数为子如甲数九分之八除乙数五分之三得四十分之二十七是也【若两母相同者竟以法子为母实子为子两子相同者反以实母为母法母为子也】右法亦有可省者以法子乗实母以法母除之为母即竟以实子为子如甲数九分之八除乙数二十七分之一十三得二十四分之一十三是也 　　零分自乗法　零分数自乗者以母自乗得数为母以子自乗得数为子如有数三分之五自乗得九分之二十五是也【归整为二又九分之七】 　　零分开方法　零分开平方除者以母自开得数为母以子自开得数为子如有数九分之二十五开方得三分之五是也【归整为一又三分之二　按此因论零分法而及开方故聊举大畧而已其详在少广章中】 　　零分求分厘小整数法　实少于法除之不足不能成整而为零分若求分厘小整数则以母除子即得如八分两之三除得三钱七分五厘一十六分两之一除得六分二厘五毫是也葢其初以两计故三不可以八除而析为钱为分厘则可除矣至除尽而止亦有终不可尽者仍当就最后小数命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也【或欲还原子即以原母乗之如八乗三钱七分五厘得三两为八分两之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石为七分石之二是也】 　　分厘数命分法　据分厘小整数欲以大数命分者法以分厘数依其下最小数化之为子以所用大数亦依最小数化之置一算为母【其为伯千及万亿则因乎所化之数而只置一算也】乃以法约之如六钱六分二厘五毫欲以两命分则以六千六百二十五为子【六千六百二十五毫也】以一万分为母【一两为一万毫也】乃约为八十分两之五十三是也亦有不可约者即以所立之母子命分 　　九章録要卷二 　　钦定四库全书 　　九章録要卷三 　　松江屠文漪撰 　　方田法 　　古九章一曰方田以御田畴界域今其书不特据所见近世之书芟其繁谬补其缺遗以意隶之云尔 　　方田长方田求积步　方田谓正方四面等者法以方自乗得积长方谓两长两广各等者法以长乗广 　　方长带偏斜求积　似方与长方而稍偏斜者长不等则并两长半之广不等则并两广半之然后以长乗广如偏斜甚者须裁令方正分别算之勿用此法又有方长田一边斜者假如东长四十步西长四十一步南广三十步北广三十九步于法应得积一千三百九十七步四分步之一也然此乃谓四面俱偏斜者耳若止是西边一面偏斜则从北广东头向西量之尽三十步止即向南直量之其长亦当四十步是田之大体本系长方独北广西头盈九步句九股四十则四十一以斜为西长并东长而半之岂不谬乎法当并两广半之以长四十步乗之得积一千三百八十步斯不误矣 　　三广求积　三广谓中及两边广各不等者法倍中广并入边两广以四除之以中长乗之其中长亦须于两三处量之如有不等者并而分之以为之长【并三则三分四则四分】边长似斜之处勿量也　按田形不可穷尽善算者以意推之法无预设或赘为四广五广之法固已迂矣且其法云四广并而四除之五广并而五除之尤甚谬误四广须倍其中之两广并边两广以六除之五广须倍其中之三广并边两广以八除之乃合　又按广形亦有须辨者如三广而中广近一边不居正中者是也即须分别算之 　　句股求积　法以句乗股半之或以半句乗股或以半股乗句　按句股须量其以互求法推之与法合者是也若太长或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角 　　三角求积　法以一面之长乗中广半之　假如三面长等者是真三角也率长七而中广六不待量也不然则量中广处须令如两句股乃合【三角率长七中广六则中广微强然所较甚微即依率算之可也】 　　四角斜方求积　法以中长乗中广半之　假如中广两角未必相对则中广直径不能与中长如十字矣但各自量之令如四句股者仍并两句为一中广以乗中长如上法 　　以上诸形皆属方之类故长广必直即遇斜其亦直如有一处弯曲若弧与睂之状者别从圆之类求之乃无失也 　　员田求积　法以周自乗以十二除之或以径自乗复以三乗之以四除之或以周乗径或以半周乗半径以四除之　按员物率周三而径一然田员岂能中规其小偏者不妨以规员之法施之但将周径并量参互折中亦可无误若偏甚则勿以员论也【员率周三径一则周微强然所较甚微亦依率算之】 　　环田求积　环田谓于员内减员者法并内外周半之以径乗之半环仿此【其径勿据一处虑广狭不等】 　　弧矢求积　弧矢谓员田之半若张弓者法并长矢径半之以矢径乗之不及员之半者法亦如之过半者勿得用也凡矢径半是员之半矢长则过矢短则不及【不及员之半者如纵破长员之半若从而益之有可以成员之理者也过员之半者如横截长员之半无可以成员之理者也弧矢之法详见少广章本与员法相防合故惟有可员之理者乃得用之】 　　枣核长员求积　枣核谓两头尖中广处员者长员谓两头亦员者法半中广并入中长以半广乗之按二者虽不全员然是两弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之员田但员法不可施之于此耳【旧法枣核乃四角斜方　右一条新增】 　　横截长员求积　形似弧矢而矢径半有余者固不可用弧矢法而可以弧矢法变通求之葢横截长员之半与纵破长员之半其积正等此之矢径乃彼之半此之长乃彼之二矢也法四除并入矢径以半乗之【右一条新增】 　　蛾睂牛角求积　蛾睂谓两边之长相随而弯者牛角则横截蛾睂之半也睂有中广无横广角有一头横广无中广其实同耳法并两长半之以半广乗之但牛角横广一头须畧似方形若太偏斜则横广未足为准恐据以下算必浮于实积此又不可不知　以上诸形皆属员之类若应员处乃直者别从方之类求之 　　亩步互求　二百四十乗亩得步二百四十除步得亩 　　九章録要卷三 　　钦定四库全书 　　九章録要卷四 　　松江屠文漪撰 　　粟米法 　　古九章二曰粟米以御交质变易 　　方仓窖求积尺　法以方自乗复以髙乗之【窖则当以深乗只言髙者统于仓也深亦髙也】得积 　　长方仓窖求积　法以长乗广复以髙乗之 　　员仓窖求积法以员周自乗复以髙乗之以员周率十二除之或以径自乗复以髙乗之以员径率三乗之四除之 　　长员仓窖求积　法半中广并入中长以半广乗之复以髙乗之【此法亦可用之员仓窖而员法不可用之长员　右一条新增】 　　方平堆求积【凡窖形上下之大小不等者亦仿此法下三条同】　法以上方自乗又以下方自乗又以上方乗下方并三数以髙乗之以三除之【因并三数故须三除也】 　　长方平堆求积　法倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之【并二数中凡有六数故用六除此法亦可用之方平堆也】 　　员平堆求积　法以上周自乗又以下周自乗又以上周乗下周并三数以髙乗之以三十六除之【并三数应三除员周率十二除故用三十六除也】 　　或以上径自乗又以下径自乗又以上径乗下径并三数以髙乗之以四除之【并三数应三除员径率三乗四除以三乗当三除并省之故只用四除也】 　　长员平堆求积　法先半中广并入中长以为长半中广以为广【上下之中广中长俱依此法并不用原广原长】然后倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之【此法亦可用之员平堆而不如前法之捷　右一条新增】 　　方尖堆求积　法以下方自乗复以髙乗之以尖率三除之 　　长方尖堆求积法以下广乗下长复以髙乗之以尖率三除之【右一条新增】 　　长方平尖堆求积【既云尖又云平者无上广而有上长従横头视之则尖从纵之旁面视之则平故曰平尖】　法倍下长加上长以下广乗之复以髙乗之以六除之【此用六除者何也试从上长两头尽处向下直截之而以两头合成尖堆别算其义自见葢下长多于上长之数乃尖堆之下长所当以下广乗之而用尖率三除者也其与上长相等之下长所当以下广乗之而折半者也今既统下长之全数而倍之则为尖堆之下长者有二二用六除犹一用三除也为上长相等之下长亦二又加上长成三三用六除犹一用折半也】 　　按此与平堆异者以其无上广故用平堆法之半而亦以六除之此与尖堆异者以其有上长而尖堆既无上长可加则但倍下长以乗下广以六除之于法亦通乃知数之相准而法之可以相推有如此者【右一条新增】 　　员尖堆求积法以下周自乗复以髙乗之以员周率并尖率三十六除之【员周率十二尖率三故其率三十六】或以下径自乗复以髙乗之以员径率并尖率四除之【尖率应三除员径率三乗四除亦以三乗三除相当省之故只用四除】 　　长员尖堆求积　法半下中广并入中长以半广乗之复以髙乗之以尖率三除之【右一条新增】 　　倚壁员尖堆求积　员尖之半也法以下周自乗复以髙乗之以倚壁率十八除之 　　内角员尖堆求积　员尖四之一也法以下周自乗复以髙乗之以内角率九除之 　　外角员尖堆求积　员尖四之三也法以下周自乗复以髙乗之以外角率二十七除之 　　按右三条算家沿习有此然必先取周径较量果恰得员尖二之一四之一四之三而后其法可施耳如或不然则当以长员法及尖堆率参酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通于算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乗之者并指直髙而言 　　非谓斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之【法见商功章】　又凡平堆尖堆斜髙之处虽不据以立算然亦必如句股之乃合于法弯曲者则否 　　方仓以积与方求髙与髙求方　法以方自乗数除积得髙以髙除积开方得方 　　长方仓以积及髙与广求长与长求广　法以髙长相乗数除积得广以髙广相乗数除积得长【若以积与长广求髙其理易见不复赘】 　　员仓以积与周径求髙与髙求周径　算周者以员周率十二乗积算径者以员径率四乗三除积乃用方仓法 　　长员仓以积及髙与广求长与长求广　法以髙与半广相乗数除积减半广得长以髙除积以长为带纵开平方除之得半广倍之得广【其方员长方员尖堆但加尖率三乗余并同上四法不复赘】 　　方平堆以积及髙与上方求下方与下方求上方　法以三乗积以髙除之乃减上方自乗数以上方为带纵开平方除之得下方减下方自乗数以下方为带纵开平方除之得上方 　　员平堆以积及髙与上周径求下周径与下周径求上周径　算周者以三十六乗积算径者以四乗积并再以髙除之乃减上周自乗数以上周为带纵开平方除之得下周余仿此 　　石尺互求　旧法立方二尺五寸为一石【立方一尺者二有半也】故以二又二之一乗石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各随时地不同须临算较量损益其法未可一概也 　　竹席围米求积　假如竹席大小相等原用两席合作围贮米二十石今用三席合作围问贮米几何法以原席二自乗得四为一率原米石数为二率今席三自乗得九为三率求得四率四十五为今贮米石数 　　九章録要卷四 <子部,天文算法类,算书之属,九章录要> 　　钦定四库全书 　　九章録要卷五 　　松江屠文漪撰 　　差分法 　　古九章三曰差分亦曰衰分以御贵贱廪税 　　一分递加减衰分【以最少者一分之数递加成多若从多者递减则减至最少者而减尽也】法以一为首衰【从少者起算】自一而二而三四递加为各等衰并之为总衰以为一率总实为二率各等衰为三率求得四率即各等数 　　假如有银七十二两甲乙丙丁戊五人以一分递加减分之问各几何 　　一率　一十五【总衰　衰分章三率法独有宜先以一率除二率者】二率　七十二【总实　一率除二率得四两八钱】 　　三率　五【甲衰】四【乙】　三【丙】　二【丁】　一【戊】 　　四率　【二十　一十九一十四九两　四两四两　两二钱两四钱六钱　八钱】 　　右各等中倘复各自有数不齐者先以各衰乗之为各总衰然后并为大总衰 　　假如有粮二千四百石甲乙丙丁四等户依前例输之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户则以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户数为各总衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百为大总衰列一二率如前若以各总衰为三率即得各等总数以各衰为三率即得各等每户数【以下诸法仿此】 　　减半衰分【乙当甲之半丙又当乙之半也】　法以一为首衰自一而二乗之又二乗之为各等衰【以一二乗得二以二二乗得四并之得七余仿此】列率乗除如前 　　二八衰分【甲视乙为八与二乙视丙又为八与二也】　法以二为首衰自二而四乗之又四乗之为各等衰【以二四乗得八以八四乗得三十二并之得四十二余仿此】列率乗除如前 　　四六衰分【同上】　法以四为首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同为各等衰【以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九余仿此】乗除如前 　　三七衰分【同上】　法以三为首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之为各等衰【以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三分之一并之得二十六又三之一余仿此】乗除如前或厌零分多者就首衰之数以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰则三乗首衰之三得九为首衰甲乙丙丁四等衰则又三乗九得二十七为首衰甲乙丙丁戊五等衰则又三乗二十七得八十一为首衰【每多一等则首衰多三乗一番】既增广其首衰然后用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣 　　十分之六递减衰分　法以一为首衰【此从多者起算所谓首衰之一亦与前一为首衰者不同前一只是一数此则无定之数也】遇二等衰则为一十三等衰则为一百四等衰则为一千以为首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之为各等衰【以一百六乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六余仿此】乗除如前凡十分之七或八九诸数递减衰分俱准此推之不别为法以滋繁琐 　　减半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二数求总实减半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少则曰减半言其自少而多则曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也【零分法一又二之一化为二之三乃用子乗母除则当三乗二除犹之六乗四除也】三七衰分是二又三之一乗加也【零分法二又三之一化为三之七乃用子乗母除亦是七乗三除也】十分之六递减衰分是一又三之二乗加也【零分法一又三之二化为三之五乃用子乗母除则当五乗三除犹之十乗六除以此递加与六乗十除递减同耳】以上所云几乗加者但取衰分之数以少除多即得之【假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所云几乗加也】若各衰分止举首尾二等最少最多之数问总实几何者不必论其中间分作几等但以首尾数多少相减减余以原乗数减一数为法而除之【假如原系四乗加者以三除之原系一又二之一乗加者以二之一除之原系二又三之一乗加者以一又三之一除之原系二乗加者以一除之一除固可不必除然于法不容没此一除恐似别为一法也】即得最少以至次多诸等之总实以并最多数即得全总实