乾坤体义 - 第 2 页/共 7 页
假如甲乙丙丁为地球戊为其心甲戊为地球半径己为月戊庚真地平甲辛地面地平也从甲地面欲测己戊线乃月离地心之里数几何矣先以法测此时刻月出真地平线几度则知己戊庚角几大夫甲戊庚为直角故除己戊庚则甲戊己角之大审矣【推甲戊己角大几何多罗谋氏别有方】次自甲以平仪等噐视月则得己甲戊角大几何此己甲戊三角形之己戊甲己甲戊两角既明则其第三角甲己戊亦明矣【一卷三十一题】辛地半径己测为一万四千三百一十八里零十八丈【地仪书载二三法以测地球径】则若别作三角形于己甲戊相似而体势等【六卷十八题】既两三角形相当角比例等【六卷四题何为比例及比例之类在几何原本五卷界説第十】用勾股三数法可测自戊地心至己月体有四十八万二千五百二十二余里夫日月星体违地心几何既审则以法推其径之长也两球之比例有其径三加之比例【十二卷十八题】则既知地球大何如因而日月诸星比地之几何大亦审矣多罗谋氏又有恪法因日月之蚀测二球之大也人所最疑上卷之论惟其曰日球大于地球一百六十倍地球大于月球三十九倍盖曰吾视日月大不逾大瓮之底而俱等何以知其异而相大几倍乎今余不设量几倍之法惟明徴日球大于地球地球大于月球借视照法六题易晓者以破其疑故先解六题而后可指三球之大小相比何如云
第一题
物形愈离吾目愈觉小
解曰吾视物如作一三角形焉形以物径线为底邉以底邉两端至目两线而结一角为二腰邉则夫内角益大吾觉物益大益小吾觉物益小也等则吾觉之等矣
论曰首图目在甲视乙丙一球则如作甲乙丙三角形其乙丙即球之径线为底邉乙甲丙甲二条视线为两旁腰邉乙甲丙角为目内角也又视逺球丁戊甲三角形虽乙丙丁戊二球大等而吾觉近者大于逺者无他惟乙甲丙角大于丁甲戊角故耳又视第二图目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大吾觉两球者等无他惟乙甲丙角于丁甲戊角等故耳又视第三图目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大更逺则吾觉乙丙小球大于丁戊大球无他乃为乙甲丙角大于丁甲戊角故耳
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷中>
第二题
光者照目者视惟以直线巳
解曰光之所能及无碍者即照之目之力所能迄无隔之者则视之便自目自光可以射直线至于物体便无有隔碍之而可以照视之
论曰如以上图或光或目在甲而照视乙丙体之前者乙丙自甲至乙丙之间无所不可作直线则无不可照视之而乙丙之外无乙丙体乙丁丙戊之内竟不可照视无他惟自甲至丁乙丙戊间不可作直线耳茍以曲线可以照视物非但物之前者其后者并能现明焉而无所碍也
后论曰如以上图自甲可通以曲线至己而设并可照视之则乙丙之后乙丁丙戊之内犹可照视而乙丙之体隔不能为之碍也然物之背不移光不选目不可着照视则以曲线竟不能照视也
第三题
圆尖体之底必为环使真切之数节其俱乃环而环弥离底者弥小而皆小乎底环者
解曰试观上图有甲乙丙圆尖体若犀若牛直角然而切之丁戊己庚辛壬三处题云其底甲乙为环丁戊己庚辛壬并为环又云丁戊环大于己庚己庚大于辛壬而各小于甲乙环也
论曰设甲乙底非环其体也非圆也又圆体之节于其底平离则甲乙既环丁戊己庚辛壬并为环也又甲丙二线愈就丙愈相近则其环之径愈短而环愈小也其底之犹甚大可知也
第四题
圆光体者照一般大圆体必明其半而所为影广于体者等而无尽
解曰试观后图题云甲乙光体者照丙丁前半体竟受光而后影一般广而无尽也
论者照者以直线照【在第二题】甲乙体于丙丁体者等则甲乙径于丙丁径亦等而可自甲乙丙丁间射光之直线则其前者毕明其后者毕隂也又甲丙乙丁二线平行一般近则其直出丙丁之外不克相近而相遇【几何原本解説三十四】丙丁之后既竟为则丙丁之影无尽而于丙丁之原体广并等焉
第五题
光体大者照一小圆体必其大半明而其影有尽益近原体益大
解曰试观后图大光体甲乙照小圆体丙丁题云戊己以前大半有明而其影戊庚己尽于庚而益近原体丙丁益大矣
论曰光体所照体者等惟能照其半【在第四题】则今既光体大于所照者必照大半也又照惟以直线为【在第二题】则自甲乙体之界可射二直线于戊己受光之界今令二线出戊己之外必相遇于庚何者大光体之径甲乙大于小体之径丙丁而平行则甲丙乙己二线不为平行线使二线上加戊己纵线向大体甲戊己乙己戊两角大于两直角其外角庚戊己庚己戊小于两直角则甲戊乙己两线愈长愈相近必有相遇之处【几何原本公论十一】相遇于庚则影有尽夫戊庚己之内惟有影其外竟光则丙丁体之影渐尖而卒有尽也
第六题
光体小者照圆体者大惟照明其小半而其影益离原体益大而无尽
解曰试观后图甲乙光体小者照丙丁圆体大者题云惟其小半戊己受明而后大半其影愈离原体愈大而无尽焉
论曰光体所照体者等惟能照其半【在第四题】今光体小则不及照其半也又甲乙体既小于丙丁体则甲乙径小于丙丁径而自甲乙界射线于丙丁界直出此二线益离甲乙益大则不克相值而其内影益逺益大而并无尽也【用第五题论而反之】夫月球离地四十八万二千五百二十二余里日球离地一千五百九十一万二千三百八十二里则虽吾视觉二形一般大不可谓之等焉【在第一题】
徴日球大于地球地球大于月球皆由日月之蚀故先须明二蚀之所以然日蚀非他惟朔时月或至黄道日所恒在也则既在日之下便掩其光而吾不能见日谓日蚀也且日球者了无失光故其蚀非天下各国共有之而或一处日蚀而别处光焉或一处全蚀而他处惟蚀其半焉所见正斜异故也月蚀天下皆同盖月球并诸辰星之体本无光皆借太阳之光也地球悬九重之当中如鸡子黄在青中然惟望时月或至黄道于太阳正相对则地球障隔其光而不得照之故月失光矣且月蚀乃地影蒙之也月已出地影即复光或以为抗日非其理矣其日月蚀图设于后以便览
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷中>