皇朝经世文续编-清-葛士浚 - 第 30 页/共 103 页
两设时相减为设时较两设时视相距相减为视距较后设时两心视相距与并径相减为距径较设时较对数加距径较对数内减视距较对数得真时距后设时对数
求初亏定交角
初亏真时视距视纬差角即并径白经交角加减白经高弧交角得定交角初亏在限东西者纬南北则加与半周相减纬北南则减南北以初亏视纬论若白平象限在天顶北则纬南如纬北纬北如纬南如无初亏白经高弧交角则视距视纬差角即定交角如两角相等减尽无余或相加适足一百八十度则交角为初度
求复圆定交角
复圆真时视距视纬差角即并径白经交角加减白经高弧交角得定交角复圆在限东西者纬北南则加与半周相减纬南北则减解同初亏
求初亏方位
初亏在限东西者定交角初度为正上下四十五度以内为上下偏右四十五度以外为右偏上下九十度为正右过九十度为右偏下上白经高弧交角大反减交定角者变右为左白平象限在天顶北左右相反
求复圆方位
复圆在限东西者定交角初度为正下上四十五度以内为下上偏左四十五度以外为左偏下上九十度为正左过九十度为左偏上下白经高弧交角大反减交定角者变左为右白平象限在天顶北左右相反
求食限总时
复圆定真时减初亏定真时得食限总时
对数尺以量代算或作量法代算
贾步纬
西洋对数能变乘除为加减其算必资于表造之实难而用之甚便为今习算者所不可少近已用活字翻行弁以用法数则俾得开卷了然蒇事后复深思其理既可两数相并以代乘相减以代除必能施诸量法因变通其术作直尺一千根记根数于尺之上面爰按假数之积各识真数于尺内以代表施之闾阎贸易寻常日用之算乘除可以量驭法甚浅易虽妇人孺子略识数目字亦可朝得暮能岂非于常算之外更出一奇乎凡习此尺须制薄铜尺一根或牙或篾青皆可将一边削薄口如刀以便密切尺内之数必取光滑则所记墨识算讫随可揩去依书中两根尺度为长以官尺三四分为阔居中刻定一线平分为两根凡遇乘法有两零相并过一根者即将一根并入根数内用其下余数量之理亦同或遇除法有实之零内不足减法之零者即可少记一根移于尺之上半将实之零数接于下即可减矣
凡初习此尺须用算盘记根数便于加减待用之既熟根数加减自能肚算无需算盘矣又此尺只能以加减代乘除之用如有几数叠加或递减此尺不能驭仍须用算盘凡定所求位数之大小用对数表之首位法辨之如单位之首为十之首为一百之首为二千之首为三万之首为四十万之首为五之类如百与十乘则二加一为三其所得应为千数如乘法遇有两根相并过一千根者即可减去一千根用余数量之得数亦同惟其位数照常必升一位矣又除法遇有实之根数少于法之根数则不足减可加一千根于实内减之仍用减余数量之得数亦同惟其位数照常必降一位矣若所求位数之大小可以意会不者便不须寻首位矣凡有法实两数欲相乘者先任以一数于尺内真数中寻对看尺之上面记其根数另用铜尺上端齐尺之上面细界线量至真数所在之处即其根数下之零数用墨线记于铜尺上再查又一数之上面根数并入所记根数上复以铜尺上墨线所记之处齐尺之上面细界线量至又一数真数所在之处亦其根数下之零数再以墨线记其下则两零数亦接成一直线矣爰视两次所并之根数于尺之上面根数中寻对再以铜尺上端齐尺之上面细界线量其下所记墨线处相遇之真数即得两数乘出之数也如遇两根数相并过一千根及两零相接过一根者俱依前法量之
凡有法实两数欲归除者先以实数于尺内真数中寻对看尺之上面记其根数另用铜尺上端齐尺之上面细界线量至实之真数所在之处即其根数下之零数用墨线记于铜尺上再以法数于尺内真数中寻对看尺之上面记其根数亦以铜尺上端齐尺之上面细界量至法之真数所在之处亦其根数下之零数用墨叠记于铜尺上面先将实之根数内减去法之根数视其减余之根数于尺之上面查对复以铜尺上实之零数内亦减去法之零数用其减余之较数齐尺之上面细界量其下所记墨处相遇之真数即得两数除出之数也如遇实之根数少于法之根数及实之零少于法之零者俱依前法量之
凡算四率比例依常法第二率与第三率相乘数为实以第一率为法归除之即得所求之第四率数故用量法亦以二率与三率之根数与零数如乘法相并即为实再如归除法减去第一率之根数及零数视其余数依前法量之即得所求之四率数其理与用对数表同
凡开平方先以方积于尺内真数中寻对看尺之上面根数若为偶数即可折半若为奇数则少记一根移于纸上再以纸齐尺之上面细界量至方积真数所在之处即其根数下之零数以墨记于纸上随视折半之根数于尺之上面寻对再将纸上零数对摺齐尺之上面细界量其下墨处相遇之真数即得方边然须审方积之位数必加首位于根数上折半复去首位而量之始方边之数不淆因方积两位定方边一位故也如方积止有单位则首位为即将根数折半是也若方积在一百以内为二位数则其首位为一必加一千根于根数上折半方合若方积在一千以内为三位数则其首位为二必加二千根于根数上折半方合递求而上皆然
凡开立方积之根数亦必加首位惟根数与零数各取其三分之一如前法量其相遇之真数即得立方边多乘方依数递推如三乘方取四分之一四乘方取五分之一之类
中西历学源流异同论
叶耀元
窃谓两间中有万古不易之理无百世不变之法万事皆然于历为最故治历者惟当顺天以求合不当为合以验天尧命羲和历象日月星辰舜在璇玑玉衡以齐七政是皆随时考测以合天也从未闻立一千古不易之法以能合永远之天象虽子舆氏所云苟求其故千岁之日至可坐而知然亦仍属求合之言古今来治历者七十余家疏密代更详推各异而要其理不外乎唐虞时所定之型模历也象也璇玑玉衡也即算数图象及测验之器也此乃治历之大经虽万世莫之易顾其历书三代而上诚有原原本本则师傅曹习之学而毕丧于祖龙之焰惟尧典仅载以三百有六旬有六日为岁实杜预谓举全数而言则有六日其实为五日有四分日之一日躔论谓汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日有四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限定岁实为三百六十五日又万分日之二千四百二十五较前代为密至前明西法渐入中土历数之学始称美备自汉时西人多禄亩以迄明第谷则立为本天高卑本轮均论诸说用三角推算其术尤精乃定岁实为三百六十五日又千万分日之二百四十二万一千八百七十五较之郭守敬又减万分之三有奇 国朝西人刻白尔噶西呢等更相推考又以本天为椭圆均分其面积为平行度又月离古历皆谓月每日行十三度又十九分度之七东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬定为转分进退时各不同犹今之有初均也迨今西法益明始知太阴共有十种行度皆因日行盈缩及本天高卑两弦朔望而生均与旧法迥殊惟因古时历年既浅所差甚微非一时所能灼见迨岁月迁流积微成着然后共见而差法立焉此非前人之智不若后人也盖前人不能预见后来之差而后人则能考前代之度分也故世愈以降历愈以明其势则然此历法所以古疏而今密者良有由也考泰西历学起于罗马国罗马历自奴马至该撒儒略一年为十二月乃祭司与大吏任意改定后该撒儒略征请亚力山太天算家锁西日呢定历始创三百六十五日及三百六十六日二假岁实之法以三百六十六日为闰日之年每四年一闰与郭守敬第谷等所定之岁实略近乃于耶稣降生前四十五年正月初一日为始改用新历按史记当在汉宣元之间是时历法尚乱故史称其年为乱年嗣后儒略之令未行而死死后祭司不明历以本年为第一闰年至第四年又为闰年如是每三年中一闰历三十六年法当闰九日而误闰十二日该撒亚古士督觉其误下令十二年不置闰日乃合儒略之本意后不复改至小余积久自生差遂为格勒固里改之当汉儒子婴初始元年新莽建国四年及天凤三年等俱为闰日之年历家咸依此上推迄唐时始有九执历元季始有回回历统回部各国犹太等历言之也欧罗巴人又从回历加精近世噶西呢等踵起阐微发奥推测尤详当时西法并宗之然而术分疏密今古殊途理至精微中西一辙我 国家推恩中外一视同仁遂聘西人襄理历法此 历象考成等书所由来也
然于历算诸学皆殚极精微惟中国向以闰月定四时成岁其故因地球历三百六十五日五小时三刻三分四十五秒而绕日一周月约二十九日十二小时二刻十四分二秒而追绕地球一周地绕日一周而月绕地十二次有十日有奇故三年一闰五年再闰十有九年而七闰始合其期惟二十四节气古时皆平分岁实故谓恒气今以日行盈缩而定其损益谓之定气而节气一周与岁实仍同焉西国以太阳躔恒星十二宫分岁实为十二分彼既不以月圆为例故无正月二月等名目俗称外国正月二月者乃华人称之则然尔在西国历家固无所谓月也然其十二月之日数亦各不同以黄道上有高卑差而日躔即因之有加减也如磨碣宫日躔最卑行速故二十八日而行一宫若巨蟹宫日躔最高行迟故三十一日而行一宫总以三百六十五日为一年较诸岁实尚欠五小时有奇故每四年闰一日又因四倍五小时有奇尚不足一日之数故又历一百二十八年而少闰一日法应闰三十二日者则闰三十一日始合其期夫闰日乃以太阳行度纪年闰月则以太阴行度作岁虽月分闰法各有不同而岁序纪纲则无少差异此谓之不约而合者也中国以正月朔为岁首梅勿庵谓西国以日躔斗四度为正月朔或云西国以地球当最卑为过年之期二者所差尚微因最卑东行每岁约六十二秒恒星东行每岁约五十一秒仅差十一秒须积至三百二十七年有奇始差一度推今岁冬至最卑点距冬至点后十度五十八分四十一秒自注此论系光绪丙戌年作冬至后二十日内日行最速每日约一度有零故冬至越十日而为西国过年之期即中国十二月初八日也西人恒以过年前八日为耶稣诞辰即太阳躔第十二宫第二十五日故耶稣诞辰在中国冬至后三日也虽然中西两历不同而实同然而同之中又有不同焉耶稣诞辰后冬至三日者在近今六十年中则然尔推原厥故并非关乎理法之疏密而由于立法之各异天象之变迁惟西国总以地球当最卑为过年之期最卑又每岁东行约六十二秒约历六十年而差一度故六百年之间而最卑距冬至已差至十度矣若以日躔斗四度为过年之期大略相同如今年最卑后距冬至十度零越六百年而当变为距二十度零则西国过年之期亦将在中国冬至后二十日而耶稣诞辰即因之变为后十三日矣大凡六十年中亦有一二日参差今岁交冬至节在十一月二十七日卯初故为后三日设于二十六日亥时交冬至则变为后四日矣惟查康熙戊辰年瞻礼单耶稣诞辰则在冬至后四日似以日躔斗四度为过年之期也考最卑与冬至同度当在宋理宗时自宋以上又差而前故上溯汉哀帝庚申年最卑以前距冬至约二十二度十六分所以耶稣降生之辰当在哀帝庚申年十月即冬至前二十七或二十八日为小雪后二三日也一千九百年之间已差至三十一日此所谓同之中更有不同者也愚准最卑东行之理推之自今以往约历一万零一百四十年之久则地球绕日之轨道最卑最高将易位置是最卑点当夏至点而西国过年之日在中华夏至之期即耶稣诞辰在中国夏至前七日矣当是时北半地球夏生酷暑冬有严寒愈近北极而其苦愈甚盖最卑最高所受日光之比若十六与十五比地土皆环绕北冰海披离下垂故南半球多水北半球多陆水可回光故难受亦难散陆能传热故易受而易散夏至北极朝日日光直射北半球惟地球适当最高则相宜乃彼时适当最卑其积热应得百度者增而为一百零七度冬至南极朝日日光斜照北半球若地球当最卑则尚宜乃彼时适当最高其余热应有二十度者减而为十八度虽略能以行度之盈缩而迭相消长然曷若今日消长之自然也或曰寒暑表上升降数度在人似不大觉何苦之有曰伏暑增两三度不能隆冬减两三度不能不见夫赤日当空火伞方张之候竟有多挂一丝而不能者此何故欤又不见云愁水结灯寒榻冷之间直有欲把刀剪而难堪者此又何故欤夏至时且将增七度之热而人有不唤苦者乎自此更历万余年而仍复今日此又天运之循环而中西岁月之大不同者至于最卑最高之根源及最卑之运行弗替则其故甚微一时不可思议虽欧洲楚精天文家亦莫明其妙惟大约其故必在恒星焉
更定测北极出地简法
胡惟德
西人颜家乐测北极出地简法见赤水遗珍畴人传亦载之其法先于其处测一恒星自出地平至正午所历之时及其高度以时变赤道度以其大矢为一率正矢为二率高度正弦为三率得四率为正弦查表得度内减去星距天顶度余与九十度相加折半转减九十度得北极出地度但此法必北极出地不满半象限星过子午圈在天顶南赤道北而后可否则不合李氏壬叔以其非通法也而改之见所着天算或问其法视星在赤道南北不同而大矢正矢异其乘除视星之高弧或深弧南北不同而两弧异其加减法虽略备转失之繁故颜氏法简而不备李氏法备而不简学者卒难领悟今变通两家缀为公法诸题均可一以贯之并补图演草于后推步之家庶有取焉光绪十二年丙戌夏六月丁澣识于沪滨格致堂
法曰于一处任测一恒星自出地平至子午圈所历之时及在子午圈之高弧乃以时化度以其本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦为三率得四率为正弦检表得度为星之深弧与高弧相加以减半周折半得北极出地度自地平圈南至星出地最高点为高弧自地平圈北至星入地最深点为深弧两弧如有过象限者仍用本角度不用外角度
图略
如图午癸丙丁有依子午圈剖成平圆面乙丁为地平癸为北极癸乙为北极出地午为赤道交子午圈点甲为星甲丙为星道径甲丁为高弧甲壬为其正弦乙丙为深弧庚丙为其正弦甲辛为星道度本角正矢辛丙为星道度外角正矢星一昼夜而一周故以时化度即星道度甲辛壬与辛庚丙两句股形为同式故星道度本角正矢即甲辛弦与星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股与深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸与癸丙两弧相等并为深弧加北极出地之度以甲丁高弧减乙己丁半周余甲乙弧为北极出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以减半周折半即北极出地度此加减而得北极出地之理也何以知星道度本角正矢为甲辛外角正矢为辛丙也如甲卯丙未为依星道剖成平圆面甲丙为星道径丑甲为星出地平至子午圈所过之度甲心丑为本角其正矢为甲辛丑心丙为外角其正矢为辛丙也
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历二十六刻二分高弧六十三度求北极出地草曰以星出地平至子午圈时刻化度得九十八度其本角正矢为一一三九一七三外角正矢为八六八二七乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦八九一六五为三率求得四率六七三二九八为深弧正弦检表得四十二度十九分与高弧相加得一百零五度十九分以减半周得七十四度四十一分折半得三十七度二十分三十秒即北极出地度
对数草曰九十八度本角正矢对数为一五六五八九七一外角正矢对数为九九三四九一五八三乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九九四九八八八八为三率求得四率九八二八二七为深弧正弦对数检表得四十二度十九分如前法加减得北极出地
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历十四刻十二分高弧七度求北极出地
草曰以星出地平至子午圈时刻化度得五十五度三十分其本角正矢为四三三五九三八外角正矢为一五六六四六二乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦一二一八六九三为三率求得四率四四二六六五为深弧正弦检表得一百五十三度五十三分与高弧相加得一百六十度五十三分以减半周得十九度七分折半得九度三十三分三十秒即北极出地度
对数草曰五十五度三十分本角正矢对数为九六三七八三一外角正矢对数为一一九四九四三九乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九八五八九四四七为三率求得四率九六四三七一五八五为深弧正弦对数检表得一百五十三度五十三分如前法加减得北极出地
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历四十二刻二分高弧一百二十一度求北极出地
草曰以星出地平至子午圈时刻化度得一百五十八度其本角正矢为一九二七一八三九外角正矢为七二八一六一乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦八五七一六七三为三率求得四率三二三八六九三为深弧正弦检表得一度五十一分与高弧相加得一百二十二度五十一分以减半周得五十七度九分折半得二十八度三十四分三十秒即北极出地度
对数草曰一百五十八度本角正矢对数为一二八四九二三一五外角正矢对数为八八六二二二七六七乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九九三三六五五九为三率求得四率八五一三七一一为深弧正弦对数检表得一度五十一分如前法加减得北极出地
附真数对数求正矢法
真数求正矢以余弦减半径即得如弧之过象限者其余弦为负故以加为减
对数求正矢无论过象限与否以半弧正弦对数倍之加二之对数三一二九九九减半径对数一即得盖首率半径中率通弦即半弧倍正弦得末率为倍正矢故通弦自乘半之半径除之为正矢而通弦自乘半之即半弧正弦自乘又二乘之也今对数倍之为自乘加为乘减为除故半弧正弦对数倍之加二之对数减半径对数即正矢对数也
近代畴人着述记
华世芳
畴人传自罗茗香续后未有再续者近时算家着述序跋足继前贤而开后学者颇不乏人顾或僻处偏隅遗书未显或英年多故着作未成亦往往而有欲搜访而续辑之诚未易言矣然而覃精数理者名山之绝业也多方蒐录者尚友之苦心也不揣檮昧勉效管窥意在网罗有伤繁冗谨分条诠次如左
仪征阮文达公元尝以虞推小雅十月之交在幽王六年因用时宪术士推幽王六年十月朔正得入交督漕运时立粮艘盘粮尺算法颁行各省又尝溯古今沿革之原究中西异同之致掇拾史书荟萃籍创为畴人传自黄帝以降甄而录之得二百八十人综算氏之大成纪步天之正轨至今游艺之士奉为南鍼
甘泉罗茗香士琳少时所着有比例汇通四卷摘九章中切于日用者汇为比例十二种意主发明西法后益专精于天元四元之术着观我生室汇稿已刻者凡九种曰句股容三事拾遗本博绘亭之法取句股中旧有之容方边容圆径益以西法之容中垂交互相求一以天元御之曰三角和较算例取斜平三角中两边夹一角术熔入立天元一法用和较推演成式曰四元玉监细草以朱松庭原书秘奥难读殚精一纪步为全草补漏订讹申明疑义曰演元九式括玉监中进退升降消长诸例借无数之数入以正负开方式曰台锥积演以玉监中有茭草形段果积垒藏二门足补少广之缺爰取台锥形引而申之曰周无专鼎铭考以四分周术为主佐以三统汉术推得宣王十六年九月既望甲戌与铭词合曰续畴人传以阮传历年已久有应续增入者因复增补得六卷曰弧矢算术补以李四香弧矢算术其术未备爰增二十七术合成四十术曰增广新术推广正升斜升横升之算法以求太阴随地随时之明魄方向分秒复以其术通之以求交食限内之方向边分及所经历之边分其未刻者有六种曰交食图说举隅遵现行之椭圆法于各求下缀以法解曰春秋朔闰考集黄帝以来六术及汉三统术以考春秋自隐迄哀凡二百五十五年总经传七百九十九日名推演成书曰缀术辑补以祖冲之之缀术久佚爰搜括各书参以本法演得二卷曰句股截积和较算例以孔轩少广正负术所载未备推而广之得八十四术曰淮南天文训存疑曰博能丛话
甘泉易蓉湖之瀚以罗茗香玉监细草格于体裁凡四元之条段羼糅开方之头绪纷如悉未能指出义例因撮取开方以及天元四元诸算例为四元释例一书附于罗草之后
山阳骆春池腾风着开方释例四卷于诸乘方方廉和较大小加减之理皆质言之而推求各元进退定商诸术足补李四香开方说所未备又尝取衰分方程句股等法以及九章所未载与夫古今算书之未能该洽者溯源正为艺游录二卷
全椒江云椎临泰善用对数所着弧三角举隅续传误为张作楠作简明直捷附刻于张丹村翠微山房丛书中
黟县俞理初正燮博极书长于考订兼擅天算之学所着沟洫东田诸解恒星七曜古宪四分诸论皆独具神识未经人道
德清许积卿宗彦经生而兼精推步之理着太阳行度解以辨王寅旭戴东原之误其目曰解日本天解日行黄道解日经度解日纬度解求经纬度解高卑盈缩解用赤道度解日度无阔狭解日左右旋凡九篇
元和沈狎鸥钦裴尝为李云门校九章算术细草图说均输一章多所增订又补海岛算经细草晚得秦道古数书九章钞本于张古愚家订补脱历有年所着有秦书刊误以老病未卒业殁后其弟子宋勉之搜得残稿数卷采其说入札记居京师时尝手录徐氏所步玉监细草数段因欲补撰全草遗稿四册为长洲马远林钊所藏余师张啸山先生曾见之其草与罗氏大同小异实不如罗之详然四象朝元第三第五两问罗草方廉隅诸数皆不符原术竟无说以处此沈氏所演独与术合此则胜于罗草者也马君谋刻之而未果后马君殉难遗稿遂不可踪矣
江阴宋勉之景昌着数书九章札记以狎鸥所校明钞本为主而参以李四香所校四库馆本搜众说而折衷之足资后学考证又尝校杨辉算法六种皆刻入宜稼堂丛书中其未刻者有开方之分还原术一种
无锡邹敬甫安鬯精究琴理着琴律细草一卷笃好天元一术校读算书每有所得辄题于眉上尝以郁刻秦道古数书九章谬讹错出演算不易故用力尤勤而辨正为多有沈李毛宋诸家所未及者窃拟编次其说为数书校议一册庶几乡先哲之学术可以不没云
乌程陈静杰着算法大成上编凡十卷门分类别意在引诱初学其中平弧三角数卷颇能洞见本原句股求三整数法尤为新得之理惟以天元正负诸乘方为算家故设难题不适于用未免为识者所噱下编十卷则由法而致用顾无刻本盖未定之书也又有缉古算经细草一卷图解三卷马义一卷刊行于世又有彗星谱一册其弟子有乌程张南坪福禧归安丁宝书兆庆皆明算而未成着述算法大成中录其两边夹一角径求对边术解颇为明晰
钱唐项梅侣名达其算学之书已刻者曰下学算书凡三种曰句股六术图解变通旧术分术为六使题之相同者通为一术图解明晰比例精简曰平三角和较术曰弧三角和较术极数究理于无可比例中寻得比例婉转妙合古所未有惜其图解尚无成书未刻者曰象数一原项氏原书祗六卷而卷四仅六纸为未完之书殁后其友人戴鄂士校补之始成全帙凡七卷卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论卷三卷四曰零分起度弦率矢论皆以两等边三角明其象递加法定其数末乃申论其算法卷五曰诸术通诠取新立此弧弦矢求他弧弦矢二术半径求弦矢二术及董氏杜氏诸术按术诠解之卷六曰诸术明变杂列所定弦矢求八术开诸乘方捷术算律管新术椭圆求周术皆从递加数转变而得者也卷七曰椭圆求周图解则鄂士所补纂也其弟子钱唐王吉甫大有笃嗜算术涉中西两家言尝校刻割图捷术合编不知有他着述否
乌程徐壮愍公有壬着务民义斋算学已刻者凡七种曰测圆密率本杜德美董方立辈屡乘屡除之法而广为互求之术曰造表简法以垛积招差之法求西人立表之根曰椭圆正术因新法盈缩迟疾皆以椭圆立算而取径迂回布算繁重爰撰是术法简而密尤便对数曰截球解义直抉球与等径等高之圆囷其外面皮积亦等之理为几何所未发曰弧角拾遗括旧法垂弧次形矢较诸目而统归于和较施之对数尤便曰表算日食三差以西法步算多资于表独日食未立步法故用新法补之曰朔食九服里差增广畴人旧术为见食各州郡随时测验之准其未刻者尚有堆垛测圆三卷圆率通考一卷四元算式一卷校正九执术一卷古今积年解源二卷强弱率通考一卷毁于兵燹不可得见矣
钱唐戴鄂士煦粤雅堂丛书中刻其所着求表捷术三种共九卷其一曰对数简法续对数简法始以开方表求诸对数继因假设对数即讷白尔对数以求定准对数即十进对数续悟开无量数乘方法用连比例求诸对数而得数益捷此求对数表捷术也曰外切密率用连比例互相比例借杜德美求弦矢诸术变通之以求切割二割圆之法乃大备此求八表捷术也曰假数测圆创为负算对数可舍八而径用弧背入算以求其八对数此求八对数表捷术也又有四元玉监细草与罗茗香所着略同而图解明畅过之音分古义二卷以连比例立算与古律分合皆未刻
吴县冯景亭桂芬着弧矢算术细草图解一卷本李四香十三题而详演天元加减乘除开方各式意浅语详有裨初学刻入昭代丛书中咸丰之季西人新术初入中土通其法者尟而李壬叔所译代微积拾级一书尤为难读因取其书逐节疏解与上元陈子瑒同撰西算新法直解一书惟轻改其所记之号所代之字此正如戴东原之变易旧名转足以疑误后学也又有中星表按咸丰辛亥天正冬至星度立算
金山顾尚之观光着书甚多全稿名曰武陵山人杂着其言算者有十一种曰算賸初续编凡二卷曰九数存古依九章为九卷而以堆垛大衍四元旁要重差夕桀割圆弧矢诸术附焉皆采自古书而分门隶之曰九数外录则括西术为对数割圆八平三角弧三角各等面体圆锥三曲静重学动重学流质重学天文重学作记十篇曰六厤通考据开元占经所纪黄帝颛顼夏殷周鲁积年而为之考证曰九执厤曰回回厤解皆就其法而疏通证明之曰推步简法曰新厤推步简法曰五星简法皆就畴人所用术改度为百分趋于简易而省其纡曲曰算賸余稿曰杂着则身殁之后余师张啸山先生为之分别编次者也
杭州夏紫笙鸶翔遗书凡四种曰万象一原曰致曲术图解推究纵横之条理研求微积分之奥窍曰洞方术探索夫递加数尖堆底之原可以加减代乘除为求弦矢之捷径曰少广缒凿专立捷术以开各类乘方通为一术可径求数十位方根无论益积翻积俱视为坦途矣
临川纪慎斋大奎着笔算便览其书以笔算为名而兼及筹算述宣城梅氏之义具见简明同治庚午南昌梅氏重梓算经十书曾取其书附刻于后
广州何报之梦瑶曾删订算法统宗及辑梅定九朱吟石两家之书共为四卷经复钞撮数理精蕴得八卷合为一书凡得十二卷名曰算迪今伍氏刻本祗八卷盖非其全稿也
南海邹特夫伯奇遗书曰学计一得以算术解经义为治经者之助曰补小尔雅释度量衡三篇博引传注考证详明曰格术补述梦溪之遗绪为算学之支流曰对数尺记因西人对数表而变通之以尺代表制简用广曰乘方捷术首立开方四术以明其理又立求对数较四术以探其赜末设对数开方计息诸草以着其术之切于日用曰存稿则杂文也尝绘舆地全图其经度无盈缩而纬度渐狭相视皆为半径与余弦之比横九幅纵十幅合一之则成地球滂沱四隤之形以圜绘圜其形维肖又准咸丰甲寅岁前恒星经纬绘赤道南北恒星图二幅其未定之书尚有测量备要二册其弟子伊善卿德龄有求弦矢通街一卷刻入传习录中
嘉定时清夫曰醇熟于求一之术尝以大衍一术求等约分头绪不一撰求一术指一书晚年目已双瞽犹能手按珠盘口授其子着百术衍二卷以张邱建百一题衍为大中小三色皆有分子之题以尽通分之妙每题分立两法一驭以方程一驭以求一以示术理相通每问各列三答以存其概然疏略甚多若以代数求之则合问之答数尚不止此也
兴化刘融斋熙载着天元正负歌四则简捷易明最便初学见昨非集
长沙丁果臣取忠为楚南绝学之倡尝校刻白芙堂算学丛书其所撰述者曰数学拾遗多发明古今算家未尽之旨曰舆地经纬度里表据魏氏海国图志以补张氏揣龠小录为之析旗部增海国推距里惟魏图辗转钩摹所纪经纬不足为据而据以推算不无毫厘千里之谬即如今实测英国伦顿为中国京师中偏西一百十六度二十八分而此表乃云一百二十七度十分差至一千二百余里其他各国误率类是曰粟布演草其书以发商生息为题汇辑各家术草以明开方之术而邹特夫截算续商二法亦藉以附见焉曰对数详解一本乎代数之法而阐明对数之理与用算式繁重演算不易则曾栗諴之力也
海甯李壬叔善阑尝与西士伟烈亚力续译几何原本之后九卷以竟徐文定公未完之业又译代数学十三卷代微积拾级十八卷重学二十卷曲说三卷谈天十八卷刊行于世代数者犹中法之天元四元也惟天元四元之所重者在行列位次而代数则不论行列位次一切皆以记号明之故其理虽同而为用尤广微分积分者凡面体皆设为由小渐大一刹那中所增之积即微分也其全积即积分也一切曲及曲所函面曲面及曲面所函体八弧背互求真数对数互求昔之所谓无法而难求者今皆有法求之而甚易矣重学者其学分动静两支静重学所推者力相定动重学所推者力生速速有平速渐加速之分而其理之大要有二曰分力力曰重心则静动两学所共也又有流质重学其力有二曰互摄力曰互推力曲者圆锥三曲也一为椭圆二为双曲三为抛物置圆锥形截之其截面锥底交角小于锥腰锥底交角者为椭圆大于锥腰锥底交角者为双曲等于锥腰锥为底交角者为抛物谈天者西士候失勒所着天文之书也其言日与恒星不动而地与五星俱绕日而行地与五星之绕日与月之绕地其轨道俱系椭圆而历时等则所过面积亦等此真顺天以求合而非为合以验天也凡此数者皆西人至精之诣中土未有之奇以视明季所译殆远过之矣所自着者有则古昔斋算学凡十四种曰方圆阐幽曰弧矢启秘曰对数探源皆以尖锥立算发古人未发之秘曰垛积比类则本玉监遗法而分条别派详细言之于九章外别立一帜曰四元解指明算例改定算格详演细草图解术虽深读此可豁然矣曰麟德术解以李氏盈朒迟速二法为授时术平定二差所托始因取史志所载校正而解明之曰椭圆正术解以徐所立正术俱极精深逐术为补图详解之曰椭圆新术则又变通正术而益趋于简易曰椭圆拾遗拾西说之遗义以究曲之极致曰火器真诀以抛物之法通之于平圆曰尖锥变法释考西术之异同别用法之正变可以抉对数之藩篱而无余蕴矣曰级数回求为一切级数互求之准绳曰天算或问则杂纪其答问之词单文賸义剖晰入微曰考数根法数根者惟一可度而他数不能度之数也立法凡四可补几何之未备
新化邹叔积汉勳与丁果臣同治算学尤研究天文推步之书着有颛顼宪考其弟季深汉池亦通算学丁氏之度里表多出其手
长沙李晋夫锡蕃着借根句股细草一卷括七十八题为二十五术大旨与李四香天元句股细草相仿而西法之借根即中法之天元也固可相附而行
湘阴左壬叟所着有割圜八缀术补草缀术释明缀术释戴等书一贯以天元寄分之法用以立式巧变莫测又有通分捷法一帙将分母分子析为极小数根而同者去之任以多项通分顷刻可得
湘乡曾栗諴纪鸿文正公之次子也着圆率通考据西士尤拉之法见代数术二十五卷而立新术推得圆率百位为从古所未有其他算稿尚未成书卒以用心过度呕血而卒
算学至今日可谓极矣中华之天元四元即西人代数之理但不及代数之变化代数又不及微积之尽变数十年前项戴所造之法甚近微分此后积世积人积智更于代微积外别树一帜或有其人然不能必也余友崔君聘臣名朝庆者观理澄澈于算学尤深入奥窔尝与余论算曰算学自项戴诸君子出观止矣足征心得之语兹选辑二十余人之作虽不能尽如项戴然亦多近项戴者余固实领其着述之精非同便为钞录读是辑者即是文已足见一斑矣丁亥秋日湘乡葛道殷心水氏识于江南机器制造总局繙译馆中
皇朝经世文续编卷九
学术九师友
座师门生辨
康乃心
商海梁药亭先生佩兰中丁酉解元与京师一巨公号同学兄弟交好甚笃梁自丁酉至戊辰绝意仕进已三十余年巨公恳招之入都令载试礼部是岁巨公适典试事梁成进士登科后梁以门生礼来谒巨公徘徊微顾曰吾辈老兄弟奈何既而曰否者当先拜故人遂彼此为四拜礼若断前好者拜已受梁拜如师生仪河山氏曰君臣之道重于朋友万古之通义也然所谓君臣者经礼曲礼纲常名教之大闲耳若夫受爵公朝而拜恩私室则私也非公也至是友谊为重矣国家之制以座师门生称者例有禁非有必不可解与夫万不可逃之义也方巨公之招梁也何为乎以其故人宿儒也而恳之试同学之雅以人事君之诚也出其门而弟子之是以朝廷之爵位为一己之德名利之媒也且二人之不为好友也无论矣如曰布衣同学数十年而以四拜者尽之弃置若骛焉则其为友也亦仅矣安坐而受拜以故人为弟子是戕友也是欺名也有所为而招之以试是以故人为名而植党朋比以为实也无一而可者也且夫巨公之所以重梁者岂仅以门人弟子为贵哉巨公之为门人也亦已名矣必曰彼名士也而吾能录之夫与其以名士而弟子之之为荣也无甯以名士而友之而兄弟之之为尤重且大也汲长孺曰使大将军有揖客顾不重耶嗟夫世风之降也罔上行私一以富贵利达为归巨公故称雄杰而亦不免焉则流俗之卑鄙古道之无存也抑已久矣
寄鲁裕珊同年
俞德渊
分承另示胡公一事节相言之最早亦不解其何由得知节相耳目甚宽有常情所不能及者渊辈虽日聆其言而亦莫名其妙想天分高人数倍不仅好问周谘已也再闻楚北传言称阁下有胆有识风骨棱棱此语节相早知之极为称赏渊再三诵说钦佩实深顾有一言窃思奉质秉正嫉邪固吾人之本性藏锋敛锷亦处世之微权昔韩魏公务容小人善恶黑白不大分明故忌之者少范富欧尹尝欲分君子小人故忌怨日至朋党亦起宦场本属险途近世人情尤多叵测我辈自守宜严不妨如乔松孤立待人则当居和与介之间不宜大着象窃愿阁下为韩公不欲其为范公也渊戆直性成有言必尽前在长洲四年径情直行幸所遇皆君子未至蹉跌自道光五年首邑卸事后回思前事动触微机因改号默斋以自儆不意此番复出又居首郡欲默不能去岁摘取吕子呻吟语刻图记二方一曰浑涵不露圭角最妙一曰只气盛而色浮便浅盖对病之言也然虽知自省究亦不能自克常隐痛于厥心阁下英材卓越固非促促辕下者可比然渊以夙夜鍼砭之为良友之药石殆不啻以自爱者爱阁下耳若论形之疏本不当谬附知己第叨居谱末又自揣气味略同不觉率臆陈之以自托于古人神交之列阁下闻之应笑作吏十年尚未脱书生之气则渊之为幸多矣
潘四农手札书后
朱琦
叶润臣中翰裒其师手札十余通出以示琦且曰此吾曩昔所谓潘四农先生者也先生山阳人名德舆博学有挚行尤长于诗其与手书署曰生曰生云者今时师于其弟子之称也初先生随计北上润臣与论诗长安风雪中纵酒歌呼相乐十余年来往复不厌其后先生归淮上不复出润臣遂拜书执弟子礼先生退然不敢居既而曰吾以存师弟子之真也昔昌黎有感于李蟠作师说贻之谓近世士大夫耻于相师呜呼其果耻于相师耶今之时去古人之时又远矣士大夫汲汲有求于人自座主及仕宦有荐拔之恩者皆谓之师其为师也多矣曰师曰弟子云者以势而已矣彼座主犹以文字知者也谓之师可也仕宦有官守者也而强名曰师何为者也且今之人既以宦达矣于其少所执业者无加礼焉其他有毫毛轻重礼之辄过其分岂其厚于古人哉盖古之人耻于相师而师之实犹存今之人不耻于相师而师之实亡故曰势而已矣传云学不称师曰悖吾未见以势者之果能不倍也先生一诗人之穷者耳今其没也有年矣人之知之已或寡矣而润臣独惓惓于此其异于世之以势交而终倍之者与余既重润臣能行古道又尝读先生养一斋诗知先生之不仅为诗人也乃为之记
与黎樾乔编修书
成毅
别来久未奉书匪惟疏慵亦以数载之间都无进益不堪告语某自去年秋仲栖身此地冷如冰每念古人为贫而仕转以自慰既不能以精神才力出膺世务便合如此安顿岂复有他望也心既无营气亦自靖端居无事惟取往时所尝思议而有得者时自反复私心辨正颇觉少时亦有所得惜当时未获遂与明师益友一一质证以坚所见坐此悠忽不能有所成也近颇欲以其心之所自得者举而达之于言然条绪已多心中往复颇自了了及欲遂成一说则伸纸执笔便尔中辍此亦祗为从前尚未蹋着实地故至今胆气不能壮王益信此事有本有末入之深养之久而后可以发之而莫御也窃见一切文章并资根柢以此求之餍心者少大率根柢非可以强致也自来此间亦有二三学者执业相问某意欲就时文一事引而至于道义之域每令沈反复于圣贤言语着实体认务有心得若人果肯于此致力久久为之自然确有见界确有把柄则时文一事固即可以当讲学也然学者固谓此事祗为猎取科名之计如某所言鲜不以为悠谬而无当矣足下近司分校得士已多当其取之自不能不稍徇时尚且场屋之文俯就绳尺暗中摸索不过如此惟窃以为从此及门已多提唱后学最宜着力晨钟暮鼓时与警惕中间必有英隽之才闻言而相信也窃谓衡文相士一时之荣成就人才全在平日近来学校废弛都无所谓师友之谊惟知遇之际尚相浃洽彼既奉吾为师则固可举生平得力诚诚恳恳为相告语是其所及为甚远且大也某闻欧阳文忠公好与学者言吏事李文正公门生满朝下直之时引与讲伦文蓺窃谓性情嗜好各有所主然专论文蓺不如切究实用之为得也范文正公是千古第一秀才然亦惟公肯向世务上着实理会耳若果肯理会即中才必获实用此事全恃玉堂诸公极力提挈庶为天下储几许有用才耳尝谓天下名山得数掌教直省按临得数学政馆阁教习得数学士如此而人才不兴未之有也盖惟此数公者其力可以转移而根本尤在馆阁其势然也足下往时见赠之作时用展玩辄窥深意彼时奉酬数语然某至今尚犹戚戚以谓吾生内无益于己外无益于人坐废岁月为可浩叹故闻同辈交好一有得意之处即为心喜非为通显足广声援幸吾友有可为则亦足以引领而自慰也某前所云经济一言此非腐语书生通病视名位为希奇视世务为平常究竟希奇之物有时而至平常之事束手无能昔人谓富贵如亭台名德如树木某犹以为才具优绌半由资质半由学力若使闻见广博细心谙练从容无事之时精神闲暇便如置身当事具有经纬古人所谓事豫则立盖此道也古来经济名臣多于闲暇之日发为文章此非徒欲以文自见盖其操笔为文即若经理世务反复曲折精详审慎其心始快用心既久于以取而试之临事即安有不裕如者也近时仕途惟馆职最优一受 知遇即膺重任足下已列上考藏器待时知必有以自矢者矣暇时幸举所得以示
复曾制军书
胡林翼
天下惟左右近习不可不慎左右近习无正人即良友直言亦不能进也危乎微乎宫中府中之事大抵以此为消长否泰之关昔年在黔与黄心斋魏将侯纵谈凡官自督抚司道至于牧令均应岁奉千余金或数百金敦请道德忠鲠之儒以为师友匡正其心思增益其耳目知虑之所不及必如是而后德可修名可保也黄公魏公均韪其言祖庚寄耳目于抚标弁兵寄爪牙于卢袁寄心腹于杨恩绂未有不溃败决裂者近年颇举此义以戒鄂中友朋质之高明以为何如甯国是进兵之路此机不失秋冬战功必有伟绩不仅有益于浙江之兵事兼可大慰朝野之人心此地不守则处处为坚城坚垒所阻功效稍迟耳皖南吏治必以佳者来助善守境者守于境外林翼早知此义矣近事非从吏治人心痛下工夫涤肠荡胃必难挽回斯言也其平吴之第一功乎丈已得其纲领游夏不复赞词
量交
王柏心
巽而正恭而无失处上交之道也肃而不慢惠而不昵处下交之道也虚而有容和而不流处泛爱之交也善则相劝过则相规处同心之交也敬以远狎厚以远薄处故旧之交也开之而后达其衷测之而后入其言处新集之交也交必信未有己不信而能孚于人者也交必慎未有始不慎而能固其终者也信矣慎矣择之以明推之以恕而交之道得矣易合者必易暌好誉者必好毁多同者必多异怨莫大于恃望深隙莫大于求无已衅莫大于广攀援殃莫大于痛绳人尚其公无尚其通交乃有功执其贞无执其情交乃可成贵元黄之适于色也不贵琴瑟之胶于一也贵淄渑之呈其味也不贵甘醴之湛于醉也贵椒兰之袭于人也不贵荃茅之变于后也易着三人之损复占二人之同诗陈伐木之仁复戒阴雨之薄百尔君子敬哉敬哉交而后量则必败量而后交则无悔
答人论先生书
袁翼
阁下为通家子作墓志疑称先生为太重而辱商于愚此固无庸疑也按先生之名昉于礼记四书诸子犹先达先进之义若杂家之书神仙之传见于三皇五帝时者乃后人私撰之称非三皇五帝时已有此称也故君可施于臣子弟可施于父兄弟可施于师妻可施于夫可施于外舅乡里士庶可施于缙绅庠序之彦道途逆旅可施于年齿稍长不知谁何之人黄冠有加号于其上者孝子高人义士有加諡于其上者有置其姓名而加以字者有佚其名而加以姓者有敬其人于百世以上而称之者有年齿卑幼道德功业卓然成就虽问业之师服之尊长为撰墓志而称之者载籍具在班班可考盖天下之达称也今阁下疑先生为尊加老稍卑尚狃于世俗之见而不考前明之以加老为尊也王弇洲先生云京师称谓极尊者曰老先生自内阁以至大小九卿皆如之二司自方伯佥宪称抚台曰老先生门生称座主亦如之其说详觚不觚录中愚按 国初士人致书尊者犹沿此称康熙己未开鸿博大科一时云集京师者半胜朝耆旧人之称之者无异词焉今则惟座主称门生之子掌院及六部堂官称后辈司员反曰老先生若平辈往来而以是称翰院六曹九卿则必怫然见于面刺然蔕于心是竟以加老为卑矣此风不知起于何时亦不知何所据而然也闻某氏子事亲孝为吏廉人伦重望孰有加于此者阁下铭其墓而尊之曰先生彼必当之无惭色矣
送江岷樵同年归新甯序
邓瑶
道光乙巳夏吾友江岷樵同年送其师邓君铁松丧归湘乡已从湘乡过邵访余叔父濂溪讲院信宿即归新甯省亲瑶乃再拜敬送而复申之以辞曰方今友道不讲久矣平日申盟誓肝胆披露真若可以患难与共死生相托及有故背弃不复顾如秦越人之相视者比比朋友之伦既丧推之父子兄弟之闲皆可从薄又推之君臣之义尚望其忠贞靡懈临大节而不可夺乎江君笃于友谊如此其能孝且友出而忠于吾 君必矣始邓君主讲新甯书院岷樵从之游邓君察其志意独异之其后邓君应礼部试居都岷樵亦留京师已邓君病岷樵侍疾至谨而其友关中邹孝廉兴愚亦卧病京邸岷樵往来治汤药日夜无暇晷邹君寻死邓君病益笃思归岷樵乃以一车载邹君丧属其同宗溥霖送归陕而自护其师返楚行八日邓君死舆中仆言不宜以尸入旅舍恐主人有违言岷樵叱之曰旷野乌可殓急驱之入主人即亦无如何乃从容市槥殓毕复载之行备历艰险始至汉舍陆登舟以达连道之滨而归于其家经四千里之程积六十日之久斧资匮乏仆夫瘏瘁而君无丝毫德色吁可云难矣两汉独行之士其于师友之丧用意独至往往不惮数千里躬送之归盖其时风气厚道义充衍故士君子皆知以学行相淬厉死生患难之际尤不忍恝然相置捄之恒恐弗力而其时史臣之采至行者于此特详着之以风示后世顾此道不讲久矣江君其有古之遗风乎虽然犹有说后汉济北戴封诣太学师事东海申君申君卒送丧至东海道当经其家父母豫为娶妻封暂过拜亲不宿而去还京师卒业瑶尝读其传而疑之以谓薄父母之恩亏夫妇之礼虽勤学窃未之取君无子有父母年衰老既久居京师旷定省兹之归宜久留膝下即以其时益讲求经世之务俟有子慰老人含饴愿始再出因大发抒其所蕴蓄为世用则江君于伦常之际无毫发遗憾即他日之名位勋业余又乌能测其所至哉