皇朝经世文统编 - 第 255 页/共 287 页

０００００一八九０三九二八四四九六五四一　内减一００００四之对数０００００一七三七一四三一八四九八０九二　减得００００００一五三二四九六五九九八四四九　内减一０００００三之对数００００００一三０二八八一四九一三八八五　减得０００００００二二九六一五一０八四五六四　以借用本数之对数０００００００四三四二九四二六四七五六二　除之得０五二八七０八五九０二一二０　　　　　　　借用率数　　假如有对数一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求其真数法依前求得借用率数０五二八七０八五九０二一二０乃以借用本数首位单一下加十九空位得一０００００００００００００００００００为第一数正　次以借用本数减去单一得００００００一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七０八五九０二一二０为第二数正　乘法乘第二数又以率数反减一得０四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负　乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正　乃并诸正数得一０００００五二八七０八五九０二一二一内减第三负数得一００００００五二八七０八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一０００００三与一００００四与一０００二与一０五与一０四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也本数　　一０００００一乘数　　一０００００一第一数　一０００００００００００００００００００　降六位率数乘之得　二　　　　　　　　　五二八七０八五九０二一二０　降六位率数减一乘之二除之得　三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率数减二乘之三除之得　四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一本数　一００００００五二八七０八五九０二一二一减得　　一００００００五二八七０八四六五六一九二　以一０００００三乘之得　　　　一０００００三五二八七一００五一七四四六　以一００００四乘之得　　　　一００００四三五二八八五一二００一四六七　以一０００二乘之得　　　　一０００二四三五三七五五六九七０三八六七　以一００五乘之得　　　　一００五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一０四乘之得　　　　一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得　　　　一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得　　　　二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　弃零进一升一位　　　二三　按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大干单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一００一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣　　割圜连比例术图解序　　　　　董佑诚元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示海张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反复寻绎究其立法之原即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢互求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉　　割圜连比例后序　　　　　董佑诚割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于锺祥李氏乾隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反复推衍使弧矢奇耦率可互通隐探赜杂而不越师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元鉴菱草形果垛迭藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰并记之　　少广缒凿　　　　　夏鸾翔　　开平方捷术一小初商为一借根　以一借根除本积得二借根　并一二借根半之为三借根　以三借根除本积得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止　　此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根　　算例　　假如平积一百二十一求方根　　小初商□０为一借根　一借根除本积得一□二一为二借根　并一二借根半之得一□一０五为三借根　三借根除本积得一□０九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根　并三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根　　开平方捷术二大初商为一借根　以一借根除本积得二借根　并一二借根半之得三借根　以三借根除本积得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止　此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根　算例　假如平积九十九求方根　大初商一　为一借根　一借根除本积得□九九为二借根　并一二借根半之得□九五为三借根　三借根除本积得□九九四九七四借根　并三四借根半之得□九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根　　开诸乘方捷术一小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷　算例　假如平积五十求方根　以□七一之平积五０四一为外积□七一为外根求得一□四二为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四□九减本积余以除法除之得００七０四以加一借根得□七０七０四为二借根　二借积四□九九０五五六减本积余以除法除之得００００六六五以加二借根得□七０七一０六五为三借根截去末二位得□七０七一０即方根　　开诸乘方捷术二大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与方根密合而止　算例　假如平积八八求方根　以□三之平积□九为外积□三为外根求得□六为递次除法　大初商□三为一借根　一借积□九内减本积余以除法除之得００三三三三三以减一借根余□二九六六四八一为三借根截去末二位得□二九六六四即方根　　开诸乘方捷术三小初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根　下皆如是求至借根小者渐小与方根密合而止