皇朝经世文统编 - 第 250 页/共 287 页
算学中门径甚多歧途百出非备尝此中之艰苦者不能洞悉其曲折所以学算亦不可无法也
学算之人其志向各有不同故其所学之事遂亦从此分焉综而计之大约可分为两类一为阐明数理以成著作一为推演各数施之实用
算学中可施之实用者皆无难为之事如推田亩之积步仓之积斛商功之积尺测量高深广远推步日月五星皆已有成法在前依其法而演之祗须知加减乘除及比例之法已绰乎有余其须用开方者固不多见也
即进而论造表之法如八线与弧背互相求真数与对数互相求或从纵横两线求各曲线之长及其所函之面积皮积体积若既有其本题之级数式依其式而演之亦不过用加减乘除开方而已并无难为之事也
所以学算者之志向若只求见用于当世为衣食名利之计则祗须熟习整数分数小数之三种加减乘除开方再从各书中摘录测量推步各种成法藏之箧中便已无所不能算矣天元代数之术皆可不必究心也
若非急于求用而务欲阐明数理则其所学之事非株守成法者所可比因数学中深奥之理无穷则其明理之法亦非一端所能尽故必兼综各法乃于理无障之处也
一切算法皆从条之理而生故算学中浅近之理皆可以几何之法明之惟笃信几何之人每自恃其点线面体之学而不信天元且不肯再习天元此乃为几何所囿而不得自脱者也
用几何之法以明算理每题必作一图每图必系以说有图无说有说无图皆不足以发明题义然至立方以上其条之理已不能绘图则几何之术穷矣天元之术不必处处言条而一切条之理无不包括于其中此益古演之所由名也至如积相消而条之理终不肯紊乱所以无论若干乘方亦无论如何带纵不必分别其形象而概以一例推之
惟演元之书其所设之各题大抵务为深奥而不适于用习天元者不能不习其题则从此又生魔障矣此非为天元所误乃为天元书中之题所误也
即如句股弦可以彼此相求又能以和较之互相求又能以和较之和较互相求亦可谓极其变化之妙矣犹不肯已则以同式之各句股又成和较而一一识别其彼此相关之理标名立目条分缕析以解之创之者自诩神奇传之者共推绝学师以此授其弟官以此课其士萃古今能算之才使之困顿老死于句股之中而不自知悔悟者李栾城之力也
几何之学从条以明题理故条明而题理亦明天元之学从题理以明条故题理明而条亦明惟几何之条必藉夫图天元之条则无藉乎图也所以天元所明之理能比几何更深
然天元但能将未知之数明其条而其已知之数则浑和于太极之中不能一望而知其条如何惟代数之术则无论已知之数未知之数其条之理莫不一二分明故代数所明之理又能广于天元
学者既明代数之术则于数理之奥赜者固无不能明矣然犹有言之或甚繁求之或甚难而不得简易之法以赅之者何哉因代数但能推一切常数而不能推其变数也惟微分积分之术则能推一切变数故有微分积分之术而代数之用愈广矣
或有问者曰如子之说天元胜于几何代数胜于天元微分积分又胜于代数则学者何不径习微积而必从几何元代以及微积耶
答之曰不习几何则于如积之理不能尽明故不可径习天元不习天元则于正负开方之理不能尽明虽从代数得其相等之式亦不易求其同数微分积分其算式仍籍代数为用不习代数乌能径习微积所以几何元代微积其学必循序而及不可躐等而进也
或又问曰微积之必由代数而出固无疑矣若谓习代数者必先知天元习天元者必先明几何此乃欺人之论也夫天元中法也几何代数皆西法也中西各创其法曾未彼此相谋则创天元者固不知有几何也创代数者亦不知有天元也不知者尚且能创而谓反不能学者天下有是理乎
答之曰余之所谓循序而及者言如此学之则易于入耳非谓舍此即不能学也创天元者固未见几何之书而天元之理则无非几何之理也创代数者虽未见天元之书而代数之理则犹之天元之理也然则几何元代其明理之法虽异而其所明之理则同惟几何为初学所最易明故必从几何入手天元之书难于几何而易于代数以其有数可核也代数之法繁于天元而其用则广于天元故既明天元方可学代数
又有问者曰演数与明理既分为两途则演数者固不必明理矣惟不知明理者亦能演数否且不知明理者所演之数有异于不明理者所演之数否
答之曰明理之人惟不喜演数耳非不能演数也使强明理之人为演数之事其演得之数亦无异于演数者所演之数也惟专门演数之人因已演之甚熟故速而且准为明理者所不能及耳
或又问曰算法之事所用者数也明其理而不善演其数则是能说而不能行矣又曷取乎明理为哉
答之曰演数者祗能用法而明理者则能创法凡演数者所用之法皆明理者之所创也算法古疏今密古拙今巧苟非明其理而精益求精安能至此乎明理之人譬如创业演数之人譬如守成其劳逸难易有不可同日而语者明理之人非但能创前所未有之法又能以因为创而将从前已有之法改之使更便于用故有至难之法一变而为至易者亦有至繁之法一变而为至简者即如圆径求周古时用割圆之法开方数十次仅能得数位密率今用屡乘屡除可任求若干位密率而不必开方又如求八线之法古时用六宗三要二简法而不能任求某角之线今则弧背与八线能彼此相求又如真数求对数古时用中比例之法以代开数十百次之方今用级数可以任求而不必用中比例其简易不知几何倍矣
或又问曰明理始能创法是创法之人无有不明其理者也吾见近时算学之书每有但言其所立之各术而于立术之理则不赘一辞岂其理祗能自明而不能与人共明欤抑秘其立术之理而惟恐人之得明欤
答之曰子所言之书其创法之时用天元之术以演各尖堆之积枝枝节节而为之此中曲折之故祗为创法者所自明若欲与人共明其理则取径纡布算繁重演之非易言之甚难不能如微分积分之直捷简明也卷帙既多则刊校均非易事故先刊各术而其释术之书将俟续出后因已见微积之术觉己法不足以传示后世遂焚弃其稿未可知也或身遭兵燹就义成仁而遗稿飘零散失亦未可知也
或又问曰有数种算学之书其所立之术虽未尝自匿其理而观其释术之语终不能明白晓畅其故何也
答之曰立术之理若非从大公至正之轨悟入每觉可以意会而不可以言传故自明其理则易欲使他人共明其理则难其人虽有深致远之心思而笔墨所达未能曲尽其妙则他人观之仍不能明此亦由于观是书者功夫尚浅未能领略其语耳
或又问曰今之算术密矣巧矣简而易矣蔑以加矣吾恐从此以后即有钻研数数之人亦未必能再创新术矣
答之曰他事皆有止境而算学无止境也古人创术之时何尝不自以为巧密逮有功密于古术者则以古术为拙矣后之视今亦犹今之视昔安知此后更无再巧再密之术而视今之巧密者为拙耶
论比例之用
华蘅芳
中法之异乘同除即西法之四率比例也九章之中惟粟米一章真为四率比例之题方田差分商功均输虽非全是比例而其中藏有比例之理故皆可以比例通之若少广盈朒方程句股每章各有专术不必强以比例明之罗茗香作比例汇通将一切算法皆归比例识者讥之
题中所藏之比例其理未必尽显是在乎学者探索题意而得其相比之理则能将题中各数用加减乘除造成比例之率有祗用一次比例者亦有必用数次比例者所以比例之名甚多有正比例转比例合率比例按分递折比例递加递减比例超位加减比例和较比例等名名目愈多头绪愈乱余以为比例只有一法乃二三两率相乘以一率除之而得四率也其名目之多乃是造此诸率之法随题异形稍有分别耳
新译几何原本序代曾文正公
张文虎
几何原本前六卷明徐文定公受之西洋利玛窦氏同时李凉庵汇入天学初函而圜容较义测量法义诸书其引几何颇有出六卷外者学者因以不见全书为憾咸丰间海李壬叔始与西士伟烈亚力续译其后九卷复为之订其舛误此书遂为完帙松江韩绿卿尝刻之印行无几而板毁于寇壬叔从余安庆军中以是书子曰此算学家不可少之书今不刻行复绝矣会余移驻金陵因属壬叔取后九卷重校付刊继思无前六卷则初学无由得其蹊径而乱后书籍荡泯天学初函世亦稀觏近时广东海山仙馆刻木纰缪实多不足贵重因并取六卷者属校刊之我中国算书以九章分目皆因事立名各为一法学者泥其而求之往往毕生习算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而视为绝学者无他徒眩其法而不知求其理也传曰物生而后有象象而后有滋滋而后有数然则数出于象观其象而通其理然后立法以求其数则虽未前人已成之法而设之若合符契至于探赜索隐推广古法之所未备则益远而无穷也几何原本不言法而言理括一切有形而概之曰点线面体点线面体者象也点相引而成线线相遇而成面面相迭而成体而线与线面与面体与体其形有相兼有相似其数有和有较有有等有无等有有比例有无比例洞悉乎点线面体而御之以加减乘除譬诸闭门造车出门而合辙也奚敝敝然逐物而求之哉然则九章可废乎非也学者通乎声音训诂之端而后古书之奥衍者可读也明乎点线面体之理而后数之繁难者可通也九章之法各适其用几何原本则彻乎九章立法之源而凡九章所未及者无不赅也致其知于此而验其用于彼其如肆力小学而收效于籍者欤
象数一原序一
项名达
方圜率古不相通也径求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必资六宗三要二简法非可径求所以然者方有尽圜无穷势难强合也自杜氏术出而方圜之率始通其术用连比例一率半径二率通弦三率倍矢由是递求诸率有径即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其数亦最真顾是术也梅氏赤水遗珍载焉而未释明静庵先生捷法解释焉而未抉其原当自为一书非正释也自董氏术出而方圜率相通之理始显术凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢审定乘除法以明率数倍分率圜所以通方也析分率分所以通圜也其释倍分率以方锥堆而方锥堆实出于三角堆弦之二率即两堆根相并数四率即两立积相并数矢之三率即两平积相并数五率即两三乘积相并数四五率以下多乘积以还莫不如是故递次乘除皆求堆积法也而即以之求弦矢弦之分有奇无偶矢之分奇偶俱全至析分率则三角堆无其数即假倍分之率较量而反释之可为独具只眼矣所疑者堆积既与率数合何以有倍分无析分倍分中弦率又何以有奇分无偶分且弦矢联于圜中于三角堆何与蓄是疑有年丁酉归自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆数起于一递加一得堆根递加根得平积递加平积得立积递加数也弦矢率由圜中两等边三角挨次比例而生亦起于半径之一半径即一率递加一率得二率递加二率得三率递加三率得四率亦递加数也数有整必有零起整分者曰整数递加祗一式即三角堆相连两根积相并与倍分矢率倍分中奇分弦率等数起零分者曰零数递加有无量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率实参列其间不惟若是倍分者一分弧之几常以一为分母析分者几分弧之一常以一为分子今得零分则分子母不必定一任设几分弧之几无不可求因立此弧求他弧两术以补所未备又不惟若是分子母既可任设则六十度通弦倍矢与与半径等诸率齐同取为分母任设某度为分子并诸率本数可省去不求但求递加差数即得逐度分秒之正弦正矢因更立半径求弦矢两术以备制表之用似便于用弧约言之弦矢诸率其比例生于两等边三角其数本于递加两等边三角尖象也递加数尖数也通方圜必以尖故自来割圜术不离勾股而得其象未得其数取数不无繁重自有零整分递加而后象与数会分于是定率亦于是通分即递加数之根率即递加数之积分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶应乎内方就圜也割圜术至此始无余蕴爰乘数月暇着为图说二卷友人王子琴逸嗜算术遍涉中西见是术爱之欲与杜董术合刊为一册嘱余序其大意余因详术所由不嫌辞费者亦以此通贯方圜之率非董氏理无自彰非杜氏法无自立非句股割圜等法以为导亦无自察象稽数以底于至精然则古人创始之难其可忽哉
象数一原序二
项名达
向玩弦矢诸率会得递加数复析圜得两等边三角其象适与数会因草成图解一册聊自达意而脱甚多丙午冬谢去紫阳讲席笔墨就闲渐编定整分半分起度两种弦矢率而梁楚香中丞复以紫阳大小课艺嘱选辞不获遂又见阻杨缃芸农都在京见旧刻割圜捷术序中言及图解亟思一见丁未冬来杭见访因示以所编缃芸谓书未半而君年垂迈是书断不可不成且不可缓成克期以一载临别尚谆切致嘱余感其意为之定书名曰象数一原卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论卷三卷四曰零分起度弦矢率论卷五曰诸术通诠卷六曰诸术明变随将卷三编定选课毕复阻于病今夏始将卷四着有六纸不料病躯重感湿热兼肝乘脾几不可救医治两月无起色乃又重感燥火致脏腑无不病者遍体血脉不行医尽束手自知残灯微焰断难久延而是书从此搁笔矣缺而不完世间事大都如是何必恋恋所歉者负缃芸谆嘱之心耳然书虽未完而零分各腰率零分递加数卷三中已衍成其式惟义赜绪繁拟分条详论于卷四业论至易率法之相当率寄分毕则论用率寄分论定率寄分皆宜分别奇偶论之而易率法毕次论衍递加数法亦论寄分论子母论正负论奇行偶行积子母互异论直行并行积子母互异而递加数毕次论递加数即各形腰率而正负不同论心角形腰与腰较率正负相反论并积即弦矢率易正负有定法论矢率弦率子母全半之不同而弦矢率毕末乃依半分起度式分六术以明其算特彼论全半此论子母异同处略一分别可也至卷五卷六皆有旧稿且经编定只须照式录之今将各卷总为一束设有本鄙意而续成者惟条论稍难六术则易于从事无续成者卷四作未完之书亦无不可
对数简法跋
项名达
求对数旧法言之綦详而数重绪多初学恒未易了鄂士先生揭其精要而变通之着为对数简法首论开方自浅入深而约以七术继复立累除法省数十次开方用表已备极能事尤妙者舍开而求假设数夫对数折半真数开方开至单一下空多位之零数于是真数对数遂得其会通此开方所由重也顾必累开不已始得会通何如径就会通处假一数以通之迨展转相通而七十二对数之等差已备具于假设诸数中一比例而定准之数出矣以是知数之为用带零求整难设整御零易凭所知课所求顺推而入难借所求通所知逆转而出易苟悟此可以得用数之方岂惟是对数一门有裨后学耶
对数简法识
戴煦
对数以加减代乘除用之甚便而求之甚难旧法求诸对数皆先求自一至九递至单一下九空位零一至九之九十九数而求之之法大略有三先定十百千万之对数而其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两真数相乘开方得中率之真数以首率末率两假数相加折半得中率之假数渐求渐近以至适合如旧法求九之假数用中比例求至二十六次而得八位之对数此一法也凡假数之首位因真数之位数而递加以真数递次自乘至多位而其位数即假数首位以前之数然后以自乘第几率除之即得真数第一率之假数如旧法求二之对数自乘至一千三百余亿率除自乘之位数四百十余亿位而得十二位之假数又一法也既定十之对数为一乃以真数十开方五十四次三十三位以假数折半五十四次为逐次假数列为开方表乃以第五十四次真假两数比例得单一下十五空位零一之假数为率于是以应求对数之真数开方四五十次求得十五空位与为比例然后以开方第几次之率数乘之而得二十二位之假数或真数开方二十余次求得九空位与表内九空位开方数为比例亦以率数乘之而得十三四位之假数如旧法求二与六之对数又一法也顾此数法布算极繁甚至经旬累月而不能竟求一数故言算者鲜不望之而生畏夫立泣太繁则较算不易深虑寖久而失其真也因复详加探索始悟求十一二位之对数开方表祗须二十一次一十四位已属敷用而既有开方表则求诸对数可不必更开方较之旧法省算数倍且不特此也凡诸对数皆定于十之对数而实生于单一下五六空位零一之对数今欲以十之对数求单一下五六空位零一之对数势不得不屡次开方若借一算为单一下五六空位零一之对数转求十之借数即可得其比例之率知累除之法可代开方而用二十一次之开方表犹属舍易求难然是术也立法殊简用意非深西士若往讷白尔之徒既能立对数虑无有不知此者意者彼时欧逻巴人故匿其易而术其难以夸中土欤兹为揭出俾求对数者有取焉
续对数简法
戴煦
前岁之秋予以对数简法呈梅侣项先生翼日谓予曰递求数可开平方亦可开诸乘方会得二术属稿未定予归而思之亦得二术以呈先生而先生亦以定稿见示其逐数皆正一术与予正负相间者不同其第一数正而以下皆负一术则若合符节焉于是开诸乘方遂有三术予思既有三术必更有一术因补衍之将呈先生而先生适以补衍一术见示又若合符节焉惟先生以乘数加一为廉率谓诸乘方第一廉与末一廉之数也而予以连比例率推之复一一合因以其法用代累乘求积亦无不可通乃知廉率本生于连比例率也夫对数开平方多次以开方旧法至十二乘已属繁重断难开至亿兆乘故以平方代开耳今开诸乘方既通为一法可不必代开由是因繁得简复推得开极多位九乘方之法而对数之简法出矣前术用假设对数乃立天元一术即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法为母今须累除数百次则寄母极繁不可算不得不径用除法则数百次之畸零累积其差甚大故难求至多位不如连比例递求数之所差极微也至对数还原即代累乘求积之法而变通之因亦类焉
对数生于连比例率如设一数为本数第一率命为方根则其自乘之积为倍大第二率再自乘之积为倍大第三率三自乘之积为倍大第四率故以本数之对数二乘之即自乘积之对数三乘之即再乘积之对数四乘之即三乘积之对数若反言之则设一数为本数第一率命为方积而其开平方之根为折小第二率开立方之根为折小第三率三乘方之根为折小第四率故以本数之对数二除之即平方根之对数三除之即立方根之对数四除之即三乘方根之对数推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率与连比例率相应而折小各率不相应者谓二率平方积自乘一率方根除之得三率立方积二三率平方立方二积相乘一率方根除之得四率三乘方积推之各率皆然析小各率则不然倍大之率率数也故求对数用乘法折小之率率分也故求对数用除法倍大不仅率数亦有率分如以二率之二除一率之一得０五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得０三三三零即倍大第三率之率分折小不仅率分亦有率数如０五即折小第二率之率数０三三三零即折小第三率之率数其倍大折小同率之率分率数恒两两反对其每率之率分率数恒与第一率之一为三率连比例而必以一为中率故以率分除之或以率数乘之得数必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分为整数即率数为整数零率者如有一数较本数开平方根则不足较本数开立方根则有余其率分必为二而下带畸零小余或较本数自乘积则有余较本数再乘积则不足其率数亦必为二而下带畸零小余而以此种带畸零之率分或率数为首率一为中率求其末率必仍带畸零是此种倍大折小之率分率数皆带畸零而成零率矣若今所用之对数正真数之率数也非率分而其本数为一率为一０故一０之对数为一即一率之一而一００为本数倍大第二率其对数亦为二一０００为本数倍大第三率其对数亦为三若一以上一０以下自二至九则不满一率故对数首位为０而下带畸零一０以上一００以下自十一至九十九则不满二率故对数首位为一而下带畸零此即所谓零率也知对数之为连比例率数而求对数之法可得而言矣
倍大率
率数一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００
一率
方根