数学九章 - 第 22 页/共 29 页
次列前土工图筑一万七千一百一十一工九分工之一及穿工一万二百六十六工三分工之二各通分内子筑率得一十五万四千穿率得三万八百担率一亿七千三百四十九万六百二十五按术当以通率图诸母互乗诸率令騐担母九千四百七十七可用筑母九约亦可用穿母三约故从省以筑母九约担母九千四百七十七得一千五十三为筑率乗数又以穿母三约担母九千四百七十七得三千一百五十九为穿率乗数各以乗数乗本率名曰就母图乃以九千四百七十七变名曰就母先以筑率一十五万四千乗乗数一千五十三得一亿六千二百一十六万二千为筑分次以穿率三万八百乗乗率三千一百五十九得九千七百二十九万七千二百为穿分就以担率一亿七千三百四十九万六百二十五为担分并三分共得四亿三千二百九十四万九千八百二十五为总工分实以就母九千四百七十七除之得四万九千六百八十五工九千四百七十七分工之三千八十为总用功具图如后
置各县日程约税力得力率副并为科法工置甲县力一十三万三千八百六十六以一日程为之只得此为甲率又置乙县力二十三万七千九百八十四以二日约得一十一万八千九百九十二为乙率又置丙县力三十一万二千三百五十四以三日约得一十万四千一百一十八为内率
列三求等得一万四千八百七十四俱约之甲得九乙得八丙得七各为定率副并得二十四具图如后
乃以总分四亿三千二百九十四万九千八百二十五遍乗三县定率为各实以就母九千四百七十七乗并率二十四为科法甲得三十八亿九千六百五十四万八千四百二十五乙得三十四亿六千三百五十九万八千六百丙得三十亿三千六十四万八千七百七十五各为实法得二十二万七千四百四十八为科法除各实具图如后
乃以科法除各实甲得一万七千一百三十一工不尽一十三万六千七百三十七为甲县工乙得一万五千二百二十八不尽二万四百五十六为乙县工丙得一万三千三百二十四不尽一十三万一千六百二十三为丙县工诸县不尽皆辈为一工甲合科一万七千一百三十二工乙合科一万五千二百二十九工丙合科一万三千三百二十五工
按此以上所求担土定一返数误其到土工数及总用工数三县合科工数皆误盖题言筑台至少半至中半至太半当自平地至三分之一三分之一至二分之一二分之一至三分之二三分之二至台顶共四段其分数自下而上逐层数应取两分数之较草中所列诸分子下设一数上即列三分数其段数既不确又即用各分子全数故求得棚道七十二仅当平道七十九与题中所言二当五三当七当五之数显然不合矣今推歩改正于后
法先求分子较以三之一为第一段分数以三之一与二之一分母对乗得六分母互乗分子三之一得六之二二之一得六之三相减余六之一得第二段分数以二之一与三之二分母对乗得六分母互乗分子二之一得三三之二得四相减余六之一为第三段分数以三分之二与全台三分之三相减余三之一为第四段分数然后列四段母数于右子数于左以各分母连乗又互乗分子得
三百二十四为总分母第一段一
百零八第二段五十四第三段五
十四第四段一百零八为各分子求等数得五十四徧约之总母得六分子第一段得二第二段得一第三段得一第四段得二为各段分母子
次列棚道一当平道一为下第一段三当五为第二段三当七为第三段二当五为第四段以棚道数为分母以平道数为分子分母连乗又互乗分子得一十八为总分母第一段得一十八第
二段得三十第三段得四十二第四段得四十五为各分子求等数得三徧约之总母得六分子第一段得六第二段得十第三段得一十四第四段得一十五次列前后两分母分子【已约之数】各对乗得总母三十六分子第一段得一十二第二段得一十第三段得一十四第四段得三十并诸子得六十六为总子又求等得六各约之得定母六为棚道数定子一十一为平道数此即合全台数总计凡棚道六当平道一十一也乃以定子一十一乗棚道四十步得四百四十步为次以棚道四十步减一百六十步余一百二十步为平道以定母六乗之得七百二十步加次共得一千一百六十步以踟蹰加一于身得一千二百七十六步又以载输二十步乗定母六得一百二十步义加次共得一千三百九十六歩为统数以定母六除之得二百三十二步又三分步之二为定一返步乃复通分内子得六百九十八为到法乃置程里六十以三百六十步通之得二万一千六百步乗上一尺三寸得二万八千零八十尺以到法分母三乗之得八万四千二百四十尺为到实以到法除之得一百二十尺不尽四百八十约之为三百四十九分尺之二百四十旧名到土复到土复者一工每日所担之坚土数也通分内子得四万二千一百二十以壤母三因之得一十二万六千 百六十尺为壤法次以到土复母乗壤积七百七十万尺得二十六亿八千七百三十万尺为壤实实如法而一得二万一千二百六十七工不尽一千八百八十约之得三千一百五十九分工之四十七为担土工次列筑工穿工担工三数及分母分子互乗以齐之
列三工数各通分内子得筑率一十五万四千穿率三万零八百担率六千七百一十八万二千五百验担母数筑穿二母数皆可度尽用就母法以筑母除担母得三百五十一为筑东率以穿母除担母得一千零五十三为穿乗率各以乗率乗本率得筑分五千四百零五万四千穿分三千二百四十三万二千四百担率六千七百一十万二千五百即为担分同以担分母为总分母乃并三分数得一亿五千三百六十六万八千九百分为实以总分母为法除之得四万八千六百四十四工不尽二千五百零四约之不变即命为三千一百五十九分二之二千五百零四为总用工数次置三县力役以里数远近通之先以乙丙二里数求等得六十各约之乙得二丙得三以乙二徧乗甲丙以丙三徧乗甲乙得甲率八十万零三千一百六十九乙率七十一万三千九百五十二丙率六十二万四千七百零八三率求等得八万九千二百四十四徧约之甲得乙得八丙得七各为率并率得二十四乃以工总分一亿五千三百六十六万八千九百分乗三县各率得甲实一十三亿八千三百零二万零一百乙实一十二亿二千九百三十五万一千二百丙实一十亿零七千五百六十八万二千三百以就母三千一百五十九乗并率二十四得七万五千八百一十六为科法除各实不尽者各进一工得甲县合科一万八千二百四十二工乙县合科一万六千二百一十五工丙县合科一万四千一百八十九工
求甎者倍转道并濶六尺得一丈二尺遍加台上下广袤变各为上下濶长以甎厚六寸加台高
先以甎长一尺二寸濶六寸厚二寸五分相乗之得一百八十寸为甎积法次列石版长五尺濶二尺厚五寸相乗得五千寸为石积法具图如后
騐得诸法皆寸乃以变各图上下长濶直按术求率倍上长八百二十寸得一千六百四十寸加下长一千八百二十寸得三千四百六十乗上濶六百二十得二百一十四万五千二百为寄次倍下长一千八百二十得三千六百四十加上长八百二十得四千四百六十乗下濶一千六百二十得七百二十二万五千二百并寄得九百三十七万四百乗台直一千二百六寸得一百一十三亿七十万二千四百寸仍为寄乃騐土积图土率九千二百四十丈以一百万寸通之得九十二亿四千万寸以减寄余二十亿六千七十万二千四百寸如六而一得三亿四千三百四十五万四百寸为泛
次置南道高五分之二北道高强半系四分之三及台原高一千二百寸具图如后
乃以南道高子二乗原台高得二千四百寸为南寔以南道高子三乗原台高得三千六百寸为北寔各如本母而一得四百八十寸约为四丈八尺为南道两隅又为东外道巽隅高又为西道坤隅高所得九百寸约为九丈为北道两隅高又为西道干隅高又为东里道艮隅高具图如后
以北道高九丈减台高一十二丈余三丈为上停高以南道高四丈八尺减北道高九丈余四丈二尺为中停髙命南道高四丈八尺为下停高
三停高皆如履级寸而一得五十为东里道级数得七十为西道级数得八十为东外道级数次以上长八百二十寸减下长一千八百二十寸余一千寸以半之得五百寸为勾以乗南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一半之【按上下长较已半得数又半之误】得一百寸为底率以率减下长一千八百二十余一千七百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺一寸五分为外道踏踪又以底率一百寸减底股一千七百二十寸余一千六百二十寸为中股乃以勾五百寸乗中停高四丈二尺得二十一万寸为实如台高一千二百寸而一得一百七十五寸为中率以中率减中股一千六百二十寸余一千四百四十五寸为上股以西道级七十除上股一千四百四十五寸得二尺一寸四分寸之九为西道踏踪又以勾五百寸乗上停高三百寸得一十五万寸为实如台高一千二百寸而一得一百二十五寸为上率并中率一百七十五寸得三百减上股一千四百四十五寸余一千一百四十五寸为实如里道级五十而一得二尺二寸九分为里道踏踪各得具图以见如后
次以道濶六尺并下长一千八百二十寸得一千八百八十寸为补以南北道高并台高共得二千五百八十寸乗补得四百八十五万四百寸为需【按此二数不合其法太疎故也】次以上广五百寸减下广一千五百寸余一千寸为址乗南道高四百八十寸得四十八万寸为实以台高一千二百寸除之得四百寸为减率以减下广一千五百寸余一千一百寸为南道长并下广一千五百寸得二千六百乗南道高四百八十寸得一百二十四万八千寸加需又以址一千寸乗北道高九百寸得九十万寸为实亦如台高一千二百而一得七百五十以减下广一千五百寸余七百五十寸为北道长并下广一千五百得二千二百五十寸乗北道九百寸得二百二万五千寸又加需共得八百一十二万三千四百以半道濶三尺乗之得二亿四千三百七十万二千寸并泛三亿四千三百四十五万四百得五亿八千七百一十五万二千四百寸为共率次以基脚七层乗石版厚五寸得三十五寸为基高次倍道濶得一百二十并下濶一千六百二十寸得一千七百四十乗下长一千八百二十得二百一十六万六千八百为基率次以下广一千五百寸乗下袤一千七百寸得二百五十五万减基率余六十一万六千八百寸乗基高三十五寸得二千一百五十八万八千寸为石率以石率减共率余五亿六千五百五十六万四千四百寸为甎率以甎积法一百八十寸除之得一【按三讹一】百一十四万二千二十四片九分片之四乃以石积法五千寸除石率二千一百五十八万八千寸得四千三百一十七片为石版不尽三十寸弃之不辈合问
按右草自求甎砌台身积至级数皆无误求踏踪数有误至求补数需数其法更多未合如题内云先用甎砌台身次用甎砌转道周围五带并濶六尺南北二平道东西三峻道如自台下艮隅南升至巽西折行至坤北升至干东折行至艮复南升至巽乃登台顶是南北二平道至台址皆如一面平堆形西峻道至台址东里峻道至台址皆上如一面三角斜堆下如一面平堆形东外峻道至台址如一面三角斜堆形法当按各形取积草中取二平道皆如法至取峻道乃以道濶并下长为补以南北道高台高三数并乗之为需然后以半道濶乗之为积其意殊不可解然以数考之有差至三之一者又台身外四面甎砌各加六尺转道东面加二层三面各加一层是台基长一十九丈四尺濶一十八丈草中以下濶为一千七百四十寸差少六尺下长仍用一千八百二十寸差少一丈二尺皆疎漏之误今自求踏踪至末皆另步之法以台上长减下长余一千寸半之得五百寸为勾率以乗南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一得二百寸为底率以减下长得一千六百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺零二分半为东外道踏踪又以底率减底股余一千四百二十寸为中底以勾率五百乗中停高四百二十寸得二十一万寸如台高寸而一得一百七十五寸为中率以减中底余一千二百四十五寸为中股以西道级七十约之得一尺七寸七分又七分分之六为西道踏踪以中率减中股余一千零七十寸为上底以勾率五百乗上停高三百寸得一十五万寸如台高而一得一百二十五寸为上率以减上底余九百四十五寸为上股以里道五十约之得一尺八寸九分为里道踏踪次以道濶加下长与下停高相乗得九十万二千四百寸为倍东外峻道三角形立面中底与中停高相乗得五十九万六千四百寸为倍上下外濶相减余一千寸以北道高乗之得九十万以台高寸数除之得七百五十寸以减北下外濶得九百九十寸为北道上濶与北下外濶相加以北道乗之得二百四十五万七千寸为倍北道至台址平堆形立面并倍二面数得三百九十九万三千寸又并前五数之共数得九百九十六万九千寸以半道濶三十寸乗之得二亿九千九百零七万寸为共道峻道积又并前砌台身积三亿四千三百四十五万零四百寸得总积六亿四千二百五十二万零四百寸为共率次二因道濶与下长相加得一千九百四十寸与南道下外濶一千八百寸相乗得三百四十九万二千寸又以原下广一千五百寸下袤一千七百寸相乗得二百五十五万寸以减外长濶相乗余九十四万二千寸以石基三十五寸乗之得三千二百九十七万寸为西峻道上三角形立面中底下底并与下停高相乗得一百五十五万五千二百寸为倍西峻道下平堆形立面上底上停高相乗得三十二万一千寸为倍东里道上三角形立面上底下底并与中停高下停高并相乗得二百六十万零一千寸为倍东里道下平堆形立面倂五数共得五百九十七万六千寸比旧草所用需数大一百一十二万五千六百寸次求南北平道立面先以上下濶俱加三道濶得上外濶八百寸下外濶一千八百寸上下外濶相减余一千寸以南道高乗之得四十八万寸以台高寸除之得四百寸为减率以减下外濶得一千四百寸为南道上濶与下外濶相并以南道高乗之得一百五十三万六千寸为倍南道至台址平堆形立面又以上下濶各加倍道濶得北上外濶七百四十寸北下外濶一千七百四十寸北石率以石率减共率余六亿零九百五十五万零四百寸为甎率以甎长濶厚连乗得一百八十寸为甎法以石长濶厚连乗得五千寸为石法以甎法除甎率得三百三十八万六千三百九十一片九分片之一为共用甎数以石法除石率得六千五百九十四片为共用石数
堂隍程筑
问有营造地基长二十一丈濶一十七丈先令七人筑坚三丈计功二日今涓吉立木有日欲限三日筑了每日合收杵手几何
答曰日收五百五十五工三分工之一
术曰以长乗濶又乗原日原人为实以限日乗筑丈数为法除之得人夫
草曰以长二十一丈乗濶一十七丈得三百五十七丈又乗原二日得七百一十四又乗原七人得四千九百九十八为工实以限三日乗原筑三丈得九为法除实得五百五十五工不尽三与法俱三约之为三分工之一为日收五百五十五工三分工之一合问
砌甎计积
问有交到六门甎一十五垜每垜高五尺濶八尺长一丈其甎毎片长八寸濶四寸厚一寸欲砌地面使用堂屋三间各深三丈共濶五丈二尺书院六间各深一丈五尺各濶一丈二尺后閤四间各深一丈三尺内二间濶一丈次二间濶一丈五尺亭子地面之长濶几何
答曰见有一十八万七千五百片今用一万六千四百六片四分片之一外余一十七万一千九十三片四分片之三
术曰以少广求之置各地面深濶相乗以间数若所数乗之共为实甎长濶相乗为甎平法除得今用甎数次以甎垜高长濶相乗为实却以甎法乗厚得数为甎积法除之得毎垜甎数次以垜数乗之得见有甎以减今用甎得余甎
草曰置堂濶五丈二尺乗深三丈得一十五万六千寸于上又置书院深一丈五尺乗濶一丈二尺得一万八千寸又以六间乗之得一十万八千寸加上共得二十六万四千寸并上又置后閤濶一丈并濶一丈五尺得二丈五尺又以各二间乗之得五百寸以乗各深一丈三尺得六万五千寸加上得三十二万九千寸并上次置亭基一丈四尺自乗得一万九千六百寸以一十所乗之得一十九万六千寸又并上共得五十二万五千寸为实以甎长八寸乗濶四寸得三十二寸为甎平法除之得一万六千四百六片四分片之一为共用甎次置毎垜高五尺乗濶八尺得四千寸又乗长一丈得四十万寸为毎垜实却以甎平法三十二寸乗厚一寸只得三十二寸为甎积法除之得一万二千五百片又以十五垜乗之得一十八万七千五百片为见有甎内减今用甎余有一十七万一千九十三片四分片之三为外余瓦数合问