清史稿 - 第 57 页/共 291 页
求初亏高下差。
求初亏东西差。
求初亏南北差。
求初亏视行，以初亏、东西差与真时东西差相减并初亏食甚同限则减，初亏限东食甚限西则并。为差分，以加减初亏、复圆距弧为视行。相减为差分者，食在限东，初亏东西差大则减，小则加。食在限西反是。相并为差分者恆减。
求初亏真时，以初亏、视行化秒为一率，初亏、复圆距时化秒为二率，初亏、复圆距弧化秒为三率，求得四率为秒。以时分收之，为初亏距分。以减食甚真时，得初亏真时。
求复圆春秋分距午赤道度，以复圆用时变赤道度求之。馀同用时。后诸条仿此，但皆用复圆度分立算。
求复圆春秋分距午黄道度。
求复圆正午黄赤距纬。
求复圆黄道与子午圈交角。
求复圆正午黄道宫度。
求复圆正午黄道高。
求复圆黄平象限距午。
求复圆黄平象限宫度。
求复圆月距限，置太阳黄道经度，加初亏、复圆距弧，又加减真时东西差，依真时距分加减号。得复圆太阴黄道经度。馀同用时。
求复圆限距地高。
求复圆太阴高弧。
求复圆黄道高弧交角。
求复圆白道高弧交角。
求复圆高下差。
求复圆东西差。
求复圆南北差。
求复圆视行，以复圆东西差与真时东西差相减并为差分，复圆食甚同限，则减；食甚限东，复圆限西，则并。以加减初亏、复圆距弧为视行。相减为差分者，食在限东，复圆东西差大则加，小则减。食在限西反是，相并为差分者恆减。
求复圆真时，以复圆视行化秒为一率，初亏、复圆距时化秒为二率，初亏、复圆距弧化秒为三率，求得四率为秒。以时分收之，为复圆距分。以加食甚真时，得复圆真时。
求食限总时，以初亏距分与复圆距分相并，即得。
求太阳黄道宿度，同日躔。
求太阳赤道宿度，依恆星求赤道经纬法求得本年赤道宿钤，馀同日躔求黄道法。
求初亏、复圆定交角，求得初亏、复圆各视纬，与食甚法同。以求各纬差角。各与黄道高弧交角相加减，为初亏及复圆之定交角。法与月食同。
求初亏、复圆方位，食在限东者，定交角在四十五度以内，初亏上偏右，复圆下偏左。四十五度以外，初亏右偏上，复圆左偏下。適足九十度，初亏正右，复圆正左。过九十度，初亏右偏下，复圆左偏上。食在限西者，定交角在四十五度以内，初亏下偏右，复圆上偏左。四十五度以外，初亏右偏下，复圆左偏上。適足九十度，初亏正右，复圆正左。过九十度，初亏右偏上，复圆左偏下。京师黄平象限恆在天顶南，定方位如此，在天顶北反是。
求带食分秒，以本日日出或日入时分初亏或食甚在日出前者，为带食出地，用日出分；食甚或复圆在日入后者，为带时入地，用日入分。与食甚真时相减，馀为带食距时。乃以初亏、复圆距时化秒为一率，初亏、复圆视行化秒为二率，带食在食甚前，用初亏视行；带食在食甚后，用复圆视行。带食距时化秒为三率，求得四率为秒。以度分收之，为带食距弧。又以半径千万为一率，带食距弧之馀切为二率，食甚距纬之馀弦为三率，求得四率为馀切，检表得带食两心相距。乃以太阳全径为一率，十分为二率，并径内减带食两心相距为三率，求得四率，为带食分秒。
求各省日食时刻及食分，以京师食甚用时，按各省东西偏度加减之，得各省食甚用时。乃按各省北极高度，如京师法求之，即得。
求各省日食方位，以各省黄道高弧交角及初亏、复圆视纬，求其定交角，即得。
绘日食图法同月食，但只用日月两半径为度，作一大虚圈，为初亏、复圆月心所到。不用内虚圈，无食既、生光二限。
凌犯用数，具七政恆星行及交食。
推凌犯法，求凌犯入限，太阴凌犯恆星，以太阴本日次日经度，查本年忄互星经纬度表，某星纬度不过十度，经度在此限内，为凌犯入限。复查太阴在入限各星之上下，如星月两纬同在黄道北者，纬多为在上，纬少为在下。同在黄道南者反是。一南一北者，北为在上，南为在下。太阴在上者，两纬相距二度以内取用；太阴在下者，一度以内取用。相距十七分以内为凌，十八分以外为犯，纬同为掩。太阴凌犯五星，以本日太阴经度在星前、次日在星后为入限，馀与凌犯恆星同。五星凌犯恆星，以两纬相距一度内取用。相距三分以内为凌，四分以外为犯，馀与太阴同。五星自相凌犯，以行速者为凌犯之星，行迟者为受凌犯之星。如迟速相同而有顺逆，则为顺行之星凌犯逆行之星，皆以此星经度本日在彼星前、次日在彼星后为入限。馀同凌犯恆星。
求日行度，太阴凌犯恆星，即以太阴一日实行度为日行度。凌犯五星，以太阴一日实行度与本星一日实行度相加减，星顺行则减，逆行则加。为日行度。五星凌犯恆星，以本星一日实行度为日行度。五星自相凌犯，以两星一日实行度相加减，顺逆同行则减，异行则加。为日行度。
求凌犯时刻，以日行度化秒为一率，刻下分为二率，本日子正相距度化秒为三率，求得四率为分。以时刻收之，初时起子正，即得。
求太阴凌犯视差，五星视差甚微，可以不计。以刻下分为一率，太阳一日实行度化秒为二率，凌犯时刻化分为三率，求得四率为秒。以度分收之，与本日子正太阳实行相加，为本时太阳黄道度。依日食法求东西差及南北差。
求太阴视纬，置太阴实纬，以南北差加减之，加减之法，与日食同。即得。求太阴距星，以太阴视纬与星纬相加减，南北相同则减，一南一北则加。得太阴距星。取相距一度以内者用。
求凌犯视时，以太阴一小时实行化秒为一率，一小时化秒为二率，东西差化秒为三率，求得四率为秒。收为分，以加减凌犯时刻，太阴距限西则加，东则减。得凌犯视时。
志二十五 时宪六
△雍正癸卯元法上
日躔改法之原：
一，更定岁实以衡消长。岁实古多而今少，故授时有消长之术。西人第谷所定，减郭守敬万分之三。至奈端等屡加测验，谓第谷所减太过，定为三百六十五日二四二三三四四二０一四一五，比第谷所定多万分之一有奇。以除周天三百六十度，得每日平行，比第谷所定少五纤有奇。本法用之。
一，更定黄赤距纬以徵翕辟。黄赤大距，古阔而今狭，恆有减而无增，西人利酌理、噶西尼测定黄赤大距二十三度二十九分，比第谷所定少二分三十秒，比刻白尔所定少一分。本法用之。一，细考清蒙气差以祛歧视。西人第谷悟得蒙气绕地球之周，日月星照蒙气之外，人在地面为蒙气所映，必能视之使高。而日月星之光线入蒙气之中，必反折之使下。故光线与视线蒙气之内合而为一，蒙气之外，歧而为二。二线所交，即为蒙气差角，然未有算术。噶西尼反覆精求，谓视线光线所歧虽有不同，相合则有定处。自地心过所合处作线抵圆周，即为蒙气割线。视线与割线成一角，光线与割线亦成一角，二角相减，得蒙气差角。爰在北极出地高四十四度处，屡加精测，得地平上最大差为三十二分一十九秒，蒙气之厚为地半径千万分之六千零九十五，视线角与光线角正弦之比例，常如一千万与一千万零二千八百四十一。用是推得逐度蒙气差。本法用之。如图甲为地心，乙为地面，丙乙为蒙气之厚，丑甲为割线，癸乙为视线，子戊为光线，癸戊子为蒙气差角，癸寅、子卯为两正弦。
一，细考地半径差以辨蒙杂。康熙十一年壬子秒分前十四日夜半，火星与太阳冲，西人噶西尼于富郎济亚国测得火星距天顶五十九度四十分一十五秒，利实尔于同一子午线之噶耶那岛测得火星距天顶一十五度四十七分五秒，同时用有千里镜能测秒微之仪器，与子午线上最近一恆星，测其相距。噶西尼所得火星较低一十五秒，因恆星无地半径差以之立法，用平三角形，推得火星在地平上最大地半径差二十五秒，小馀三七。又据歌白尼、第谷测得火星距地与太阳距地之比，如一百与二百六十六，用转比例法，求得太阳在中距时地平上最大地半径差一十秒，其逐度之差，以半径与正弦为比例。本法用之，以求地半径与日天半径之比例，中距为一与二万零六百二十六，最高为一与二万零九百七十五，最卑为一与二万零二百七十七，地平上最大地半径差最高为九秒五十微，最卑为一十秒一十微。
一，用橢圆面积为平行以酌中数。西人刻白尔以来，屡加精测，盈缩之最大差止一度五十六分一十二秒。以推逐度盈缩差，最高前后，本轮失之小，均轮失之大；最卑前后，本轮失之大，均轮失之小。乃以盈缩最大差折半，检其正弦，得一六九０００为两心差。以本天心距最高卑为一千万，作橢圆，自地心出线，均分其面积，为平行度，以所夹之角为实行度，以推盈缩。在本轮、均轮所得数之间，而逐度推求，苦无算术。噶西尼等乃立角积相求诸法，验诸实测，斯为菂合。本法用之。如图甲为地心，乙为本天心，丁为最高，丙为最卑，戊己为中距，瓜分之面积为平行，所对之平圆周角度为黄道实行。一，更定最卑行以正引数。西人噶西尼等测得每岁平行一分二秒五十九微五十一纤零八忽，比甲子元法多一秒四十九微有奇。本法用之。
一，更定平行所在以正岁首。用西人噶西尼所定，推得雍正癸卯年天正冬至为丙申日丑正三刻十一分有奇，比甲子元法迟二刻。次日子正初刻最卑过冬至八度七分三十二秒二十二微，比甲子元法多十七分三十五秒四十二微。
月离改法之原：
一，求太阴本天心距地及最高行，随时不同，以期通变。自西人刻白尔创隋圆之法，奈端等累测月离，得日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒，两心差为四三三一九０。日当月天最高，或当月天最卑，则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒，两心差为六六七八二０。日历月天高卑而后，两心差渐小；中距而后，两心差渐大；日距月天高卑前后四十五度，两心差適中。又日当月天高卑时，最高之行常速，至高卑后四十五度而止；日当月天中距时，最高之行常迟，至中距后四十五度而止；与日月之盈缩迟疾相似，而周转之数倍之。因以地心为心，以两心差最大最小两数相加折半，得五五０五０五，为最高本轮半径。相减折半，得一一七三一五，为最高均轮半径。均轮心循本轮周右旋，行最高平行度；本天心循均轮周起最远点右旋，行日距月天最高之倍度。用平三角形，推得最高实均。又推得逐时两心差，以求面积。如日躔求盈缩法，以求迟疾，名曰初均。本法用之。如图戊为地心，甲壬癸子为本轮，乙丁丑丙为均轮，丙丁皆本天心，丙为最远，丁为最近，戊丙两心差大，己庚橢圆面积少，戊丁两心差小，辛申橢圆面积多。
一，增立一平均数以合时差。西人刻白尔以来，奈端等屡加测验，得日在最卑后太阴平行常迟，最高平行、正交平行常速。日在最高后反是。因定日在中距，太阴平行差一十一分五十秒，最高平行差一十九分五十六秒，正交平行差九分三十秒。其间逐度之差，皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例，名曰一平均。本法用之。
一，增立二平均数以均面积。西人奈端以来，屡加精测，得太阳在月天高卑前后太阴平行常迟，至高卑后四十五度而止。在月天中距前后反是。然积迟、积速之多，正在四十五度，而太阳在最高与在最卑，其差又有不同。因定太阳在最高，距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分三十四秒；太阳在最卑，距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十六秒。高卑后为减，中距后为加，其间日距月最高逐度之差，皆以半径与日距月最高倍度之正弦为比例。太阳距地逐度之差，又以太阳高卑距地之立方较与太阳本日距地同太阳最高距地之立方较为比例，名曰二平均。本法用之。
一，增立三平均数以合交差。西人奈端以来，定白极在正交均轮周行日距正交之倍度，因定太阳在黄白两交后，则太阴平行又稍迟；在黄白大距后，则太阴平行又稍速；其最大差为四十七秒。两交后为减，大距后为加。其逐度之差，皆以半径与日距正交倍度之正弦为比例，名曰三平均。本法用之。
一，更定二均数以正倍离。西人噶西尼以来，屡加测验，定日在最高朔望前后四十五度，最大差为三十三分一十四秒；日在最卑朔望前后四十五度，最大差为三十七分一十一秒。朔望后为加，两弦后为减。其间月距日逐度之二均，则以半径与月距日倍度之正弦为比例。其太阳距最高逐度二均之差，又以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地同太阳最高距地之立方较为比例，与二平均同。本法用之。
一，更定三均数以合总数。西人噶西尼以来，取月距日与月高距日高共为九十度时测之，除末均之差外，其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等。又取月距日与月高距日高共为四十五度时测之，亦除末均差外，其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等。乃定太阴三均之差，在月距日与月高距日高之总度半周内为加，半周外为减。其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒。其间逐度之差，以半径与总度之正弦为比例。本法用之。
一，增立末均数以合距度。西人噶西尼以来，测日月最高同度或日月同度两者只有一相距之差，则止有三均。若两高有距度，日月又有距度，则三均之外，朔后又差而迟，望后又差而速。及至月高距日高九十度、月距日亦九十度时，无三均，而其差反最大。故知三均之外，又有末均。乃将月高距日高九十度分为九限，各于月距日九十度时测之，两高相距九十度，其差三分；八十度，其差二分三十九秒；七十度，其差二分一十九秒；六十度，其差二分；五十度，其差一分四十三秒；四十度，其差一分二十八秒；三十度，其差一分一十六秒；二十度，其差一分七秒；一十度，其差一分一秒。其间逐度之差，用中比例求之。其间月距日逐度之差，皆以半径与月距日之正弦为比例。朔后为减，望后为加。本法用之。
一，更定交均及黄白大距以合差分。西人奈端、噶西尼以来，测得日在两交时，交角最大为五度一十七分二十秒；日距交九十度时，交角最小为四度五十九分三十五秒。朔望而后，交角又有加分。因日距交与月距日之渐远，以渐而大，至日距交九十度、月距日亦九十度时，加二分四十三秒。交均之最大者，为一度二十九分四十二秒。乃以最大、最小两交角相加折半，为绕黄极本轮；相减折半，为负白极均轮。分均轮全径为五，取其一，内去朔望后加分，为最大加分小轮全径，设于白道，馀为交均小轮全径。与均轮全径相减，馀为负小轮全径，与均轮同心，均轮负而行，不自行。均轮心行于本轮周，左旋，为正交平行。交均小轮心在负小轮周，起最远点，右旋，行日距正交之倍度。白极在交均小轮周，起最远点，左旋，行度又倍之。而白道上之加分小轮，其周最近。黄道之点，与朔望之白道相切，其全径按日距正交倍度为大小，常与最大加分小轮内所当之正矢等。又按本时全径内取月距日倍度所当之正矢为所张之度，验诸实测，无不菂合。本法用之。如图甲为黄极，乙为本轮，丙为均轮，丁为负小轮，戊己皆为交均小轮，庚辛皆为白极，壬为黄道，丑、癸皆为朔望时白道，寅、子皆为两弦时白道，卯、辰皆为白道上加分小轮。
一，更定地半径差以合高均。求得两心差最大时，最高距地心一０六六七八二０，为六十三倍地半径又百分之七十七；最卑距地心九三三二一八０，为五十五倍地半径又百分之七十九。两心差最小时，最高距地心一０四三三一九０，为六十二倍地半径又百分之三十七；最卑距地心九五六六八一０，为五十七倍地半径又百分之一十九；中距距地心一千万，为五十九倍地半径又百分之七十八。又用平三角形，求得太阴自高至卑逐度距地心线及地平上最大差。其实高逐度之差，皆以半径与正弦为比例。
一，更定三种平行及平行所在。太阴每日平行，比甲子元法多千万分秒之二万二千三百一十六，最高每日平行，比甲子元法少百万分秒之七千二百五十一，正交每日平行，比甲子元法少十万分秒之一百三十七。雍正癸卯天正冬至，次日子正，太阴平行所在，比甲子元法多二分一十四秒五十七微，最高平行所在，比甲子元法少三十六分三十七秒一十微，正交平行所在，比甲子元法多五分六秒三十三微。
交食改法之原：
一，用两时日躔、月离黄道度求实朔、望。先推平朔、望以求其入交之月，次推本日、次日两子正之日躔、月离黄道经度以求其实朔、望之时，又推本时次时两日躔、月离以比例其时刻。与甲子元法止用两日及用黄白同经者不同。一，用两经斜距求日、月食甚时刻及两心实相距。以黄白二道原非平行，而日、月两经常相斜距。若以太阳为不动，则太阴如由斜距线行，故求两心相距最近之线，不与白道成正角，而与斜距线成正角。其距弧变时，亦不以月距日实行度为比例，而以斜距度为比例。如图甲乙为黄道，戊乙为白道，甲戊为实朔、望距纬，甲癸为太阳一小时实行，戊丑为太阴一小时实行。设太阳不动而合癸与甲，则太阴不在丑而在寅。戊寅为一小时两经斜距线，甲卯与戊寅成正角，即为两心相距最近之线，戊卯为食甚距弧，皆借弧线为直线，用平三角形求之。初亏、复圆，则以并径为弦作勾股。一，更定日、月实径与地径之比例。西人默爵制造镜仪，测得日视径最高为三十一分四十秒，中距为三十二分一十二秒，最卑为三十二分四十五秒；月视径最高为二十九分二十三秒，中距为三十一分二十一秒，最卑为三十三分三十六秒。用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六，月实径为地径百分之二十七，小馀二六强，太阳光分一十五秒。本法用之。
一，更定求影半径法及影差。以日、月两地半径差相加，内减去日半径，馀即为实影半径。又月食时日在地下，蒙气转蔽日光，地影视径大于实径约为太阴地半径差六十九分之一，是为影差。如图甲丁辛三角形，丁辛二内角与壬甲辛一外角等，丁角即太阳地半径差，辛角即太阴地半径差，甲丁线略与甲丙日天半径等，甲辛线略与甲己月天半径等，其角皆与地半径甲乙相当故。壬甲己对角丙甲丁即日半径。故以丁角、辛角相加，即得壬甲辛角，内减壬甲己角，馀己甲辛角，即实影半径。
图形尚无资料
一，更定求日食食甚真时及两心视相距。借弧线为直线，用平三角形，以食甚用时两心实相距为一边，用时高下差为一边，用时白经高弧交角为所夹之角，求得对角之边，为两心视相距，并求得对两心实相距角。复设一时，限西向后设，限东向前设。求其两心实相距及高下差为二边。白经高弧交角与对设时距弧角相减，馀为所夹之角，求得对角之边，为设时两心视相距，亦求得对两心实相距角。乃取用时、设时两白经高弧交角较，与用时对两心实相距角相减。又加设时对两心实相距角，又与全周相减为一角，用时、设时两视相距为夹角之二边，求其对边为视行，求其中垂线至视行之点，为食甚真时所在，垂线为真时视相距。以上加减，据向后设而言。然后以所得真时，复考其两心视相距果与所求垂线合，即为定真时。如图乾为日心，乾子为用时两心实相距，乾壬为高下差，壬子为两心视相距，乾午为设时两心实相距，乾己为高下差，己午同壬未为两心视相距，壬丑中垂线为真时视相距。初亏、复圆法同，但以并径为比考真时之限。至带食则以地平为断，亦迳求两心视相距，不用视行。
恆星改法之原，见天文志。
土星改法之原，见推步因革篇。
罗★、计都更名，乾隆五年，和硕庄亲王等援古法奏请更正，下大学士、九卿议奏，乾隆九年更正。
紫气增设之原，大学士、伯讷尔泰等议覆，更定罗★、计都名目，★援古法增入紫气，约二十八年十闰而气行一周天，每日行二分六秒，小馀七二０七七七。以乾隆九年甲子天正冬至，次日子正在七宫十七度五十分十四秒五十三微为元。
日躔用数，雍正元年癸卯天正冬至为法元。壬寅年十一月冬至。
周岁三百六十五日二四二三三四四二。
太阳每日平行三千五百四十八秒，小馀三二九０八九七。
最卑岁行六十二秒，小馀九九七五。
最卑日行十分秒之一又七二四八。
本天橢圆大半径一千万，小半径九百九十九万八千五百七十一，小馀八五，两心差十六万九千。
宿度，乾隆十八年以前，用康熙壬子年表，十九年以后，用乾隆甲子年表，俱见天文志。
各省及蒙古、回部、两金川土司北极高度、东西偏度，见天文志。
黄赤大距二十三度二十九分。
最卑应八度七分三十二秒二十二微。
气应三十二日一二二五四。
宿应二十七日一二二五四。
宿名，乾隆十八年以前，同甲子元，十九年以后，易觜前参后，馀见甲子元法。
推日躔法求天正冬至，同甲子元法。
求平行，同甲子元法。
求实行，先求引数，同甲子元法。乃用平三角形，以二千万为一边，倍两心差为一边，引数为所夹之角，六宫内用内角，六宫外与全周相减用其馀。求得对倍两心差之角，倍之为橢圆界角。又以本天小半径为一率，大半径为二率，前所夹角正切为三率，求得四率为橢圆之正切，检表得度分秒。与引数相减，馀为橢圆差角。最卑前后各三宫与橢圆界角相加，最高前后各三宫与橢圆界角相减，自初宫为最卑后，以此顺计。为均数。置平行，以均数加减之，引数初宫至五宫为加，六宫至十一宫为减。得实行。
求宿度。
求纪日值宿。
求节气时刻。
求距纬度。
求日出入昼夜时刻。★同甲子元法。
月离用数太阴每日平行四万七千四百三十五秒，小馀０二三四０八六。
最高每日平行四百零一秒，小馀０七０二二六。
正交每日平行一百九十秒，小馀六三八六三。
太阳最大均数六千九百七十三秒。
太阴最大一平均七百一十秒。
最高最大平均一千一百九十六秒。
正交最大平均五百七十秒。
太阳最高立方积一０五一五六二。
太阳高卑立方大较一０一四一０。
太阳在最高，太阴最大二平均二百一十四秒。
太阳在最卑，太阴最大二平均二百三十六秒。