乐律全书 - 第 76 页/共 124 页

第一问曰古云黄钟长九寸今云黄钟长十寸何也答曰所谓九寸者法度之名也度生于律者也非律生于度也古之神瞽考中声而制律当此之时律尚未成度尚未有则何以知黄钟乃九寸哉及律成后遂将黄钟之管命为一尺故先儒谓度本起于黄钟之长是知黄钟之长即度法一尺也若谓黄钟止长九寸外加一寸而后成尺则非所谓度本起于黄钟之长葢九寸者筭率云耳率也者假如之法也穿四壤五坚三句三股四五之类是也假如黄钟长九寸则林钟长六寸假如林钟长六寸则太簇长八寸创此率者主意不过专为三分损益而设今既察知三分损益其率疎舛不用三分损益则彼黄钟九寸之説亦不可宗矣今则取法河图之数详列于左五与十居中央为土为宫为君【十寸至尊故黄钟之宫长十寸】四与九居西方为金为商为臣【九寸次之故黄钟之商长九寸】三与八居东方为木为角为民【八寸次之故黄钟之角长八寸】二与七居南方为火为徴为事【七寸次之故黄钟变征长七寸】一与六居北方为水为羽为物【六寸次之故黄钟之羽长六寸】 　　第二问律家先求黄钟犹厯家先求冬至也次求蕤賔犹夏至也又次求夹钟犹春分也又次求南吕犹秋分也然后求大吕除黄钟外诸律吕之首也其次求应钟诸律吕之终也亦犹厯家所谓履端举正归余也黄钟履端于始蕤賔举正于中应钟归余于终故曰律厯一道今黄钟正律长十寸蕤賔倍律正律各长几何答曰黄钟长十寸是为平方靣其两隅斜即蕤賔倍律倍律折半即蕤賔正律也若以蕤正为平方靣而其斜即黄正也周礼防氏为量内方尺而圆其外筭法求方之斜即圆之径得斜一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三○九五○四八八○一六八九即蕤賔倍律也折半得七寸○七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五二四四○○八四四五即蕤賔正律也【纤已下数不立名色余皆放此】法曰【依句股求筭】置方面【自南至北一十寸】自乗【得一百寸】为股羃别置方面【自东至西一十寸】自乗【得一百寸】为句羃相并【共得二百寸】为羃就置羃【二百寸】为实看前式内【一百已上该开一十寸命作一归】为下法用开方归除法除之于实首位归实【呼逢一进一十得一十寸】有归不除余实【一百寸】倍下法【一十寸改作二十寸命曰二归】自此已后有归有除于实第一位归实【呼二一添作五起一还二只得四寸】下法亦置【四寸于二十寸之下共得二十四寸】于实第二位除实【呼四四除一十六】余实【四寸】倍下法【四寸改作八寸共得二十八寸】于实第三位归实【呼逢二进一十得一分】下法亦置【一分于二十八寸之下共得二十八寸一分】于实第三位除实【呼一八退位除八】于第四位除实【呼一一退位除一】余实【一寸一十九分】倍下法【一分改作二分共得二十八寸二分】于实第三位归实【呼二一添作五起一还二只得四厘】下法亦置【四厘于二十八寸二分之下共得二十八寸二分四厘】于实第四位除实【呼四八除三十二】于第五位除实【呼二四退位除八】于第六位除实【呼四四除一十六】余实【六分○四厘】倍下法【四厘改作八厘共得二十八寸二分八厘】于实第五位归实【呼逢四进二十得二毫】下法亦置【二毫于二十八寸二分八厘之下共得二十八寸二分八厘二毫】于实第五位除实【呼二八除一十六】于第六位除实【呼二二退位除四】于第七位除实【呼二八除一十六】于第八位除实【呼二二退位除四】余实【三十八厘三十八毫】倍下法【二毫改作四毫共得二十八寸二分八厘四毫】于实第六位归实【呼逢二进一十得一丝】下法亦置【一丝于二十八寸二分八厘四毫之下共得二十八寸二分八厘四毫一丝】于实第六位除实【呼一八退位除八】于第七位除实【呼一二退位除二】于第八位除实【呼一八退位除八】于第九位除实【呼一四退位除四】于第十位除实【呼一一退位除一】余实【一十厘○○七毫五十九丝】倍下法【一丝改作二丝共得二十八寸二分八厘四毫二丝】于实第六位归实【呼二一添作五起二还四只得三忽】下法亦置【三忽于二十八寸二分八厘四毫二丝之下共得二十八寸二分八厘四毫二丝三忽】于实第七位除实【呼三八除二十四】于第八位除实【呼二三退位除六】于第九位除实【呼三八除二十四】于第十位除实【呼三四除一十二】于第十一位除实【呼二三退位除六】于第十二位除实【呼三三退位除九】余实【一厘五十九毫○六丝三十一忽】倍下法【三忽改作六怱共得二十八寸二分八厘四毫二丝六忽】于实第七位归实【呼二一添作五得五微】下法亦置【五微于二十八寸二分八厘四毫二丝六忽之下共得二十八寸二分八厘四毫二丝六忽五微】于实第八位除实【呼五八除四十】于第九位除实【呼二五除一十】于第十位除实【呼五八除四十】于第十一位除实【呼五四除二十】于第十二位除实【呼二五除一十】于第十三位除实【呼五六除三十】于第十四位除实【呼五五除二十五】余实【一十七毫六十四丝一十七忽七十五微】倍下法【五微改作一忽○微共得二十八寸二分八厘四毫二丝七忽○微】于实第八位归实【呼二一添作五逢二进一十得六纤】下法亦置【六纤于二十八寸二分八厘二毫二丝七忽○微之下共得二十八寸二分八厘四毫二丝七忽○六纤】于实第九位除实【呼六八除四十八】于第十位除实【呼二六除一十二】于第十一位除实【呼六八除四十八】于第十二位除实【呼四六除二十四】于第十三位除实【呼二六除一十二】于第十四位除实【呼六七除四十二至第十五位下法空微无除】于第十六位除实【呼六六除三十六】余实【六十七丝一十二忽一十二微六十四纤】 　　自此已后开至二十五位其术同前但纤已下不立名色共得斜一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三○九五○四八八○一六八九即蕤賔倍律也折半即得蕤賔正律与下条开方所得蕤賔正律数同 　　第三问黄正为方面斜即蕤倍前条既明之矣黄正为斜方面即防正亦须明之今黄钟正律长十寸其防賔正律长几何 　　答曰长七寸○七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五二四四○○八四四五即防賔正律也法曰【依求股术筭】置斜【即黄正长十寸】自乗【得一百寸】为羃于内减去句羃【正方者句与股相同去五十寸】余【五十寸】为股羃就置股羃【五十寸】为实看前式内【四十九已上该开七寸命作七归】为下法用开方归除法除之于实首位归实【呼七五七十一得七寸】倍下法【七寸改作一十四寸命作一归呼逢七进七十虽进一位仍作七寸】有归不除余实【一寸】自此以后有归有除第一位【得空分】于第二位归实【呼见一无除作九一起二还二只得七厘】下法亦置【七厘于一十四寸○分之下共得一十四寸○分七厘】于实第三位除实【呼四七除二十八第四位下法空分无除】于第五位除实【呼七七除四十九】余实【一分五十一厘】倍下法【七厘改作一分四厘共得一十四寸一分四厘】于实第四位归实【呼逢一进一十得一毫】下法亦置【一毫于一十四寸一分四厘之下共得一十四寸一分四厘一毫】于实第四位除实【呼一四退位除四】于第五位除实【呼一一退位除一】于第六位除实【呼一四退位除四】于第七位除实【呼一一退位除一】余实【九厘五十九毫】倍下法【一毫改作二毫共得一十四寸一分四厘二毫】第五位【得空丝】于第六位归实【呼逢六进六十得六忽】下法亦置【六忽于一十四寸一分四厘二毫○丝之下共得一十四寸一分四厘二毫○丝六忽】于实第六位除实【呼四六除二十四】于第七位除实【呼一六退位除六】于第八位除实【呼四六除二十四】于第九位除实【呼二六除一十二第十位下法空丝无除】于第十一位除实【呼六六除三十六】余实【一厘一十毫○四十七丝六十四忽】倍下法【六忽改作一丝二忽共得一十四寸一分四厘二毫一丝二忽】于实第六位归实【呼见一无除作九一起二还二只得七微】下法亦置【七微于一十四寸一分四厘二毫一丝二忽之下共得一十四寸一分四厘二毫一丝二忽七微】于实第七位除实【呼四七除二十八】于第八位除实【呼一七退位除七】于第九位除实【呼四七除二十八】于第十位除实【呼二七除一十四】于第十一位除实【呼一七退位除七】于第十二位除实【呼二七除一十四】于第十三位除实【呼七七除四十九】余实【一十一毫四十八丝一十五忽一十一微】倍下法【七微改作一忽四微共得一十四寸一分四厘二毫一丝三忽四微】于实第七位归实【呼见一无除作九一起一还一得八纤】下法亦置【八纤于一十四寸一分四厘二毫一丝三忽四微之下共得一十四寸一分四厘二毫一丝三忽四微八纤】于实第八位除实【呼四八除三十二】于第九位除实【呼一八退位除八】于第十位除实【呼四八除三十二】于第十一位除实【呼二八除一十六】于第十二位除实【呼一八退位除八】于第十三位除实【呼三八除二十四】于第十四位除实【呼四八除三十二】于第十五位除实【呼八八除六十四】余实【一十六丝七十八忽○三微一十六纤】 　　自此已后开至二十五位其术同前但纤已下不立名色所得方面七寸○七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五二四四○○八四四五即蕤賔正律也加倍即得蕤賔倍律与上条开方所得蕤賔倍律数同 　　第四问以黄钟正律乗蕤賔正律得平方积七十寸○七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五开平方所得即夹钟正律其长几何 　　答曰长八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤五二五三七一四五四三○三一一二五即夹钟正律也法曰置所得蕤賔长【七寸○七厘一毫○六忽七微八纤一一八六五四七五二四四○○八四四五】以黄钟长【十寸】乗之得平方积【七十寸○七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】为实看前式内【六十四已上该开八寸命作八归】为下法用开方归除法除之于实首位归实【呼八七八十六得八寸】倍下法【八寸改作一十六寸命作一归呼逢八进八十虽进一位仍作八寸】有归不除余实【六寸七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】自此已后有归有除于实第二位归实【呼逢四进四十得四分】下法亦置【四分于一十六寸之下共得一十六寸四分】于实第二位除实【呼四六除二十四】于第三位除实【呼四四除一十六】余实【一十五分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】倍下法【四分改作八分共得一十六寸八分】第二位【得空厘】于第三位归实【呼见一无除作九一起一还一得八毫】下法亦置【八毫于一十六寸八分○厘之下共得一十六寸八分○厘八毫】于实第四位除实【呼六八除四十八】于第五位除实【呼八八除六十四第六位下法空厘无除】于第七位除实【呼八八除六十四】余实【一分六十二厘一十四毫一十一丝八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】倍下法【八毫改作一厘六毫共得一十六寸八分一厘六毫】于实第四位归实【呼见一无除作九一得九丝】下法亦置【九丝于一十六寸八分一厘六毫之下共得一十六寸八分一厘六毫九丝】于实第五位除实【呼六九除五十四】于第六位除实【呼八九除七十二】于第七位除实【呼一九退位除九】于第八位除实【呼六九除五十四】于第九位除实【呼九九除八十一】余实【一十厘○七十八毫九十丝○八十六忽五十四微七十五纤二四四○○八四四五】倍下法【九丝改作一毫八丝共得一十六寸八分一厘七毫八丝】于实第五位归实【呼见一无除作九一起三还三得六忽】下法亦置【六忽于一十六寸八分一厘七毫八丝之下共得一十六寸八分一厘七毫八丝六忽】于实第六位除实【呼六六除三十六】于第七位除实【呼六八除四十八】于第八位除实【呼一六退位除六】于第九位除实【呼六七除四十二】于第十位除实【呼六八除四十八】于第十一位除实【呼六六除三十六】余实【六十九毫八十三丝七十忽○五十四微七十五纤二四四○○八四四五】倍下法【六忽改作一丝二忽共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽】于实第七位归实【呼逢四进四十得四微】下法亦置【四微于一十六寸八分一厘七毫九丝二忽之下共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽四微】于实第七位除实【呼四六除二十四】于第八位除实【呼四八除三十二】于第九位除实【呼一四退位除四】于第十位除实【呼四七除二十八】于第十一位除实【呼四九除三十六】于第十二位除实【呼二四退位除八】于第十三位除实【呼四四除一十六】余实【二毫五十六丝五十三忽五十八防七十五纤二四四○○八四四五】倍下法【四微改作八微共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽八微】于实第八位归实【呼逢一进一十得一纎】下法亦置【一纎于一十六寸八分一厘七毫九丝二忽八微之下共得一十六寸八分一厘七毫九丝二忽八微一纎】于实第八位除实【呼一六退位除六】于第九位除实【呼一八退位除八】于第十位除实【呼一一退位除一】于第十一位除实【呼一七退位除七】于第十二位除实【呼一九退位除九】于第十三位除实【呼一二退位除二】于第十四位除实【呼一八退位除八】于第十五位除实【呼一一退位除一】余实【八十八丝三十五忽六十五微九十四纎有竒】自此已后开至二十五位其术同前但纤已下不立名色所得长八寸四分○八毫九丝六忽四微一纤五二五三七一四五四三○三一一二五即夹钟正律也倍之得一尺六寸八分一厘七毫九丝二忽八微三纤○五○七四二九○八六○六二二五一即夹钟正律也 　　第五问以黄钟正律乗蕤賔倍律得平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三二忽○九防五十纤○四八八○一六八九开平方所得即南吕倍律其长几何 　　答曰长一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纤五○○二七二一○六六七一七五○○即南吕倍律也 　　法曰置所得蕤賔长【一十四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三○九五○四八八○一六八九】以黄钟长【十寸】乗之得方平积【一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】为实看前式内【一百已上该开一十寸命作一归】为下法用开方归除法除之于实首位归实【呼逢一进一十得一十寸】有归不除余实【四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】倍下法【一十寸改作二十寸命作二归】自此已后有归有除于实第二位归实【呼逢二进一十得一寸】下法亦置【一寸于二十寸之下共得二十一寸】于实第二位除实【呼一一退位除一】余实【二十寸○四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽　九微○十纎○四八八○一六八九】倍下法【一寸改作二寸共得二十二寸】于实第二位归实【呼见二无除作九二起一还二得八分】下法亦置【八分于二十二寸之下共得二十二寸八分】于实第三位除实【呼二八除一十六】于第四位除实【呼八八除六十四】余实【二寸一十八分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】倍下法【八分改作一寸六分共得二十三寸六分】于实第三位归实【呼见二无除作九二得九厘】下法亦置【九厘于二十三寸六分之下共得二十三寸六分九厘】于实第四位除实【呼三九除二十七】于第五位除实【呼六九除五十四】于第六位除实【呼九九除八十一】余实【四分九十二厘五十六毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】倍下法【九厘改作一分八厘共得二十三寸七分八厘】于实第五位归实【呼逢四进二十得二毫】下法亦置【二毫于二十三寸七分八厘之下共得二十三寸七分八厘二毫】于实第五位除实【呼二三退位除六】于第六位除实【呼二七除一十四】于第七位除实【呼二八除一十六】于第八位除实【呼二二退位除四】余实【一十六厘九十二毫二十三丝七十三忽○九微五十纤○四八八○一六八九】倍下法【二毫改作四毫共得二十三寸七分八厘四毫】第五位【得空丝】于第六位归实【呼二一添作五逢四进二十得七忽】下法亦置【七忽于二十三寸七分八厘四毫○丝之下共得二十三寸七分八厘四毫○丝七忽】于实第七位除实【呼三七除二十一】于第八位除实【呼七七除四十九】于第九位除实【呼七八除五十六】于第十位除实【呼四七除二十八第十一位下法空丝无除】于第十一位除实【呼七七除四十九】余实【二十七毫三十五丝二十四忽○九微五十纎○四八八○一六八九】倍下法【七忽改作一丝四忽共得一十三寸七分八厘四毫一丝四忽】于实第八位除实【呼逢二进一十得一微】下法亦置【一微于二十三寸七分八厘四毫一丝四忽之下共得二十三寸七分八厘四毫一丝四忽一微】于实第八位除实【呼一三退位除三】于第九位除实【呼一七退位除七】于第十位除实【呼一八退位除八】于第十一位除实【呼一四退位除四】于第十二位除实【呼一一退位除一】于第十三位除实【呼一四退位除四】于第十四位除实【呼一一退位除一】余实【三毫五十六丝八十二忽六十八微五十纎○四八八○一六八九】倍下法【一微改作二微共得二十三寸七分八厘四毫一丝四忽二微】于实第九位归实【呼逢二进一十得一纎】下法亦置【一纎于二十三寸七分八厘四毫一丝四忽二微之下共得二十三寸七分八厘四毫一丝四忽二微一纎】于实第九位除实【呼一三退位除三】于第十位除实【呼一七退位除七】于第十一位除实【呼一八退位除八】于第十二位除实【呼一四退位除四】于第十三位除实【呼一一退位除一】于第十四位除实【呼一四退位除四】于第十五位除实【呼一二退位除二】于第十六位除实【呼一一退位除一】余实【一毫一十八丝九十八忽五十四微二十九纎四八八○一六八九】 　　自此已后开至二十五位其术同前但纎已下不立名色所得长一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五○○即南吕倍律也半之得五寸九分四厘六毫○三忽五微五纎七五○一三六○五三三三五八七五○即南吕正律也 　　初学立方凡例 　　凡开立方将筭盘梁上帖纸一条写千百十寸百十分百十厘百十毫百十丝百十忽百十微百十纎之名至于纎已下位数不立名色只隔二位画一圈使开方除实不错耳 　　隅法定式 　　一减○○一　　二减○○八　　三减○二七四减○六四　　五减一二五　　六减二一六七减三四三　　八减五一二　　九减七二九 　　第六问置夹钟正律以黄钟再乗得立方积八百四十寸○八百九十六分四百一十五厘二百五十三毫七百一十四丝五百四十三忽○三十一微一百二十五纎开立方所得即大吕正律也其长几何 　　答曰长九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎二六八一六九三四九六六四一九一三四即大吕正律也 　　法曰置所得夹钟正律长【八寸四分○八毫九丝六忽四微一纎五二五三七一四五四三○三一一二五】初以黄钟正律长【一十寸】乗之【得八十四寸八分九十六厘四十一毫五十二丝五十三忽七十一微四十五纎四三○三一一二五】名平方积再以黄钟正律长【一十寸】乗之【得八百四十寸○八百九十六分四百一十五厘二百五十三毫七百一十四丝五百四十三忽○三十一微一百二十五纎】名立方积为实 　　商第一位【得九寸】 　　看式【七百三十九寸已上】该商【九寸】置于左而于实内减去再乗数【七百二十九寸】余实【一百一十一寸有竒】 　　商第二位【得四分】 　　三因所商【九寸得二尺七寸】置于右为下法与实【一百一十一寸】相商【五则太过三则不及】所得【该四】为分置于上商【九寸】之下【共得九寸四分】别置【九寸四分】以所商【四分】乗之【得三百七十六分】又以下法【二尺七寸】乗之满千分为寸【得一百○一寸五百二十分】隅法【六十四分】相并减实【一百○一寸五百八十四分】余实【一十寸○三百一十二分有竒】 　　商第三位【得三厘】 　　三因所商【四分得一寸二分】并入下法【共得二尺八寸二分】与实【一十寸三百一十二分】相商【四则太过二则不及】所得【该三】为厘置于上商【九寸四分】之下【共得九寸四分三厘】别置【九寸四分三厘】以所商【三厘】乗之满千厘为分【得二分八百二十九厘】又以下法【二尺八寸二分】乗之满千分为寸【得七寸九百七十七分七百八十厘】隅法【二十七厘】相并减实【七寸九百七十七分八百○七厘】余实【二寸三百三十四分六百○八厘有竒】 　　商第四位【得八毫】 　　三因所商【三厘得九厘】并入下法【共得二尺八寸二分九厘】与实【二寸三百三十四分六百○八厘】相商【九则太过七则不及】所得【该八】为毫置于上商【九寸四分三厘】之下【共得九寸四分三厘八毫】别置【九寸四分三厘八毫】以所商【八毫】乗之满千毫为厘【得七十五厘五百○四毫】又以下法【二尺八寸二分九厘】乗之满千厘为分满千分为寸【得二寸一百三十六分○○八厘一百六十毫】隅法【五百一十二毫】相并减实【二寸一百三十六分○○八厘六百七十二毫】余实【一百九十八分五百九十九厘五百八十一毫有竒】 　　商第五位【得七丝】 　　三因所商【八毫得二厘四毫】并入下法【共得二尺八寸三分一厘四毫】与实【一百九十八分五百九十九厘五百八十一毫】相商【八则太过六则不及】所得【该七】为丝置于上商【九寸四分三厘八毫】之下【共得九寸四分三厘八毫七丝】别置【九寸四○三厘八毫七丝】以所商【七丝】乗之满千丝为毫【得六百六十毫○七百○九丝】又以下法【二尺八寸三分一厘四毫】乗之满千毫为厘满千厘为分【得一百八十七分○七十三厘一百四十六毫二百六十丝】隅法【三百四十三丝】相并减实【一百八十七八○七十三厘一百四十六毫六百○三丝】余实【一十一分五百二十六厘四百三十五毫一百一十一丝有竒】 　　商第六位【得四忽】 　　三因所商【七丝得二毫一丝】并入下法【共得二尺八寸三分一厘六毫一丝】与实【一十一分五百三十六厘四百三十五毫一百一十一丝】相商【五则太过三则不及】所得【该四】为忽置于上商【九寸四分三厘八毫七丝】之下【共得九寸四分三厘八毫七丝四忽】别置【九寸四分三厘八毫七丝四忽】以所商【四忽】乗之满千忽为丝满千丝为毫【得三毫七百七十五丝四百九十六忽】又以下法【二尺八寸三分一厘六毫一丝】乗之满千毫为厘满千厘为分【得一十分○六百九十厘○七百三十二毫二百二十八丝五百六十忽】隅法【六十四忽】相并减实【一十分○六百九十厘○七百三十二毫二百二十八丝六百二十四忽】余实【八百三十五厘七百○二毫八百八十二丝九百一十九忽有竒】 　　商第七位【得三微】 　　三因所商【四忽得一丝二忽】并入下法【共得二尺八寸三分一厘六毫二丝三忽】与实【八百三十五厘七百○二毫八百八十二丝九百一十九忽】相商【四则太过二则不及】所得【该三】为防置于上商【九寸四分三厘八毫七丝四忽】之下【共得九寸四分三厘八毫七丝四忽三防】别置【九寸四分三厘八毫七丝四忽三防】以所商【三微】乗之满千防为忽满千忽为丝【得二十八丝三百一十六忽二百二十九防】又以下法【二尺八寸三分一厘六毫二丝二忽】乗之满千丝为毫满千毫为厘【得八百○一厘八百○八毫五百六十九丝九百三十四忽三百八十防】隅法【二寸七微】相并减实【八百○一厘八百　八毫五百六十九丝九百三十四忽四百○七微】余实【三十三厘八百九十四毫三百一十二丝九百八十四忽六百二十四微有竒】 　　商第八位【得一纎】 　　三因所商【三微得九微】并入下法【共得二尺八寸三分一厘六毫二丝二忽九微】与实【三十三厘八百九十四毫三百一十二丝九百八十四忽六百二十四微】相商【二则太过一则适足】所得【该一】为纎置于上商【九寸四分三厘八毫七丝四忽三微】之下【共得九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎】别置【九寸四分三厘八毫七丝四忽三微一纎】以所商【一纎】乗之满千纎为防满千防为忽【得九十四忽三百八十七微四百三十一纎】又以下法【二尺八寸三分一厘六毫二丝二忽九微】乗之满千忽为丝满千丝为毫满千毫为厘【得二十六厘七百二十六毫九百六十一丝一百○九忽一百七十六微九百九十纎】隅法【一纎】相并减实【二十六厘七百二十六毫九百六十一丝一百○九忽一百七十六微九百九十一纎】余实【七厘一百六十七毫三百五十一丝八百七十五忽四百四十七微一百三十四纎】 　　如欲开至二十五位须用八十一位筭盘先将防賔夹钟等律各开至七十余位然后乃得立方积实其商除法俱与前同 　　或问二十五位主意何也答曰河图中数五五自乗得二十五易曰天数二十有五筭家立方积从千寸至几百几十几纎是二十五位从一至京亦是二十五位故以二十五位为极数耳亦犹俗间筭盘皆十七位从一至兆为极则之数也 　　第七问置南吕倍律以黄钟再乗得立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七百一十七微五百○○纎开立方所得即应钟倍律也其长几何 　　答曰一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五 　　法曰置所得南吕倍律长【一尺一寸八分九厘二毫七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五○○】初以黄钟正律长【一十寸】乗之【得一百一十八寸九十二分○七厘一十一毫五十丝○○二忽七十二微一十纎○六六七一七五○○】名平方积再以黄钟正律长【一十寸】乗之【得一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七百一十七微五百○○纎】名立方积为实 　　商第一位【得一尺】 　　看式【一千寸已上】该商【一十寸】置于左而于实内减去再乗数【一千寸】余实【一百八十九寸有竒】 　　商第二位【得空寸】 　　商第二位【得空寸】 　　三因所商【一十寸得三十寸】置于右为下法与实【一百八十九寸】相商【一寸该三百三十寸实不及减】所得【空位】为寸置于上商【一十寸】之下【共得一十空寸无减】余实【同上】 　　商第三位【得五分】 　　三因所商【一十空寸得三十空寸】为下法与实【一百八十九寸】相商【六则太过四则不及】所得【该五】为分置于上商【一十空寸】之下【共得一十寸○五分】别置【一十寸○五分】以所商【五分】乗之【得五百二十五分】又以下法【三十空寸】乗之满千分为寸【得一百五十七寸五百分】隅法【一百二十五分】相并减实【一百五十七寸六百二十五分】余实【三十一寸五百八十二分有竒】 　　商第四位【得九厘】 　　三因所商【五分得一寸五分】并入下法【共得三十一寸五分】与实【三十一寸五百八十二分】相商【九则适足八则不及】所得【该九】为厘置于上商【一十寸五分】之下【共得一十寸○五分九厘】别置【一十寸○五分九厘】以所商【九厘】乗之满千厘为分【得九分五百三十一厘】又以下法【三十一寸五分】乗之满千分为寸【得三十寸○○二十二分六百五十厘】隅法【七百二十九厘】相并减实【三十寸○○二十三分三百七十九厘】余实【一寸五百五十八分七百三十六厘有竒】 　　商第五位【得四毫】 　　三因所商【九厘得二分七厘】并入下法【共得三十一寸七分七厘】与实【一寸五百五十八分七百三十六厘】相商【五则太过三则不及】所得【该四】为毫置于上商【一十寸○五分九厘】之下【共得一十寸○五分九厘四毫】别置【一十寸○五分九厘四毫】以所商【四毫】乗之满千毫为厘【得四十二厘三百七十六毫】又以下法【三十一寸七分七厘】乗之满千厘为分满千分为寸【得一寸三百四十六分二百八十五厘五百二十毫】隅法【六十四毫】相并减实【一寸三百四十六分二百八十五厘五百八十四毫】余实【二百一十二分四百五十厘○四百一十八毫有竒】 　　商第六位【得六丝】 　　三因所商【四毫得一厘二毫】并入下法【共得三十一寸七分八厘二毫】与实【二百一十二分四百五十厘○四百一十八毫】相商【七则太过五则不及】所得【该六】为丝置于上商【一十寸○五分九厘四毫】之下【共得一十寸○五分九厘四毫六丝】别置【一十寸○五分九厘四毫六丝】以所商【六丝】乗之满千丝为毫【得六百三十五毫六百七十六丝】又以下法【三十一寸七分八厘二毫】乗之满千毫为厘满千厘为分【得二百○二分○三十厘○五百四十六毫三百二十丝】隅法【二百一十六丝】相并减实【二百○二分○三十厘○五百四十六毫五百三十六丝】余实【一十分○四百一十九厘八百七十二毫一百八十五丝有竒】 　　商第七位【得三忽】 　　三因所商【六丝得一毫八丝】并入下法【共得三十一寸七分八厘三毫八丝】与实【一十分○四百一十九厘八百七十二毫一百八十五丝】相商【四则太过二则不及】所得【该三】为忽置于上商【一十寸○五分九厘四毫六丝】之下【共得一十寸○五分九厘四毫六丝三忽】别置【一十寸○五分九厘四毫六丝三忽】以所商【三忽】乗之满千忽为丝满千丝为毫【得三毫一百七十八丝三百八十九忽】又以下法【三十一寸七分八厘三毫八丝】乗之满千毫为厘满千厘为分【得一十分○一百○二厘一百二十八毫○二十九丝八百二十忽】隅法【二十七忽】相并减实【一十分○一百○二厘一百二十八毫○三十九丝八百四十七忽】余实【三百一十七厘七百四十四毫一百五十五丝二百一十九忽有竒】 　　商第八位【得空微】 　　三因所商【三忽得九忽】并入下法【共得三十一寸七分八厘三毫八丝九忽】与实【三百一十七厘七百四十四毫一百五十五丝二百一十九忽】相商【一微该三百三十六厘实不及减】所得【空位】为防置于上商【○十寸○五分九厘四毫六丝三忽】之下【共得一十寸○五分九厘四毫六丝三忽空防无减】余实【同上】 　　商第九位【得九纎】 　　三因所商【空微得空微】并入下法【共得三十一寸七分八厘三毫八丝九忽○微】与实【三百一十七厘七百四十四毫一百五十五丝二百一十九忽】相商【九则适足八则不及】所得【该九】为纎置于上商【一十寸○五分九厘四毫六丝三忽○微】之下【共得一十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纎】别置【一十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纎】以所商【九纎】乗之满千纎为防满千防为忽【得九百五十三忽五百一十六微七百八十一纎】又以下法【三十一寸七分八厘三毫八丝九忽○微】乗之满千忽为丝满千丝为毫满千毫为厘【得三百○三厘○六十四毫七百二十四丝八百○四忽五百八十微○九百纎】隅法【七百二十九纎】相并减实【三百○三厘○六十四毫七百二十四丝八百○四忽五百八十一微六百二十九纎】余实【一十四厘六百七十九毫四百三十丝○四百一十五忽一百三十五微八百七十一纎】 　　如欲开至二十五位须用八十一位筭盘先将防賔南吕等律各开至于七十余位然后乃得立方积实其商除法俱与前同 　　第八问子午夘酉四律谓之四正其象二至二分而为律厯之要故曰律与厯一道也上文既明兹无疑矣又有正倍半律之説不与厯同何也 　　答曰厯者天道也人事寓焉律者人道也天象具焉记曰律居隂而治阳厯居阳而治隂律厯迭相治其间不容髪此之谓也安有不同之理夫黄钟正律人君之象也倍律象君之父又象郊社宗庙孝经曰虽天子必有尊也言有父也又曰宗庙致敬不忘亲也孝弟之至通于神明光于四海非乐孰能保此黄钟倍律以之其黄钟半律者人君之继嗣也宋仁宗时李照建议不用四清二变刘羲叟曰不用防賔有北极无南极不用应钟有始无终惑之兆甚着又不用黄钟半律则继嗣缺矣时人皆以羲叟之言为然独陈乐书以李照为是倍半之説闗系甚重律家不可不知且如厯家周天半周象防朔防望防防之类即是正倍半也何谓不与厯同 　　第九问正倍半之説既明矣然所疑者丑未巳亥四律谓之四辅尤为至要四辅之説亦湏明之 　　答曰大吕仲吕林钟应钟此四者居南北二极两邻以象四辅之星仲吕属隂而生黄钟其倍律象人君之母正律半律象人君之姑侄姊妹林钟属隂而乃黄钟所生其倍律象人君之后正律半律象人君之宫眷子女又有一説大吕象左辅应钟象右弼仲吕象前疑林钟象后丞兹所谓四辅也易曰黄裳元吉书曰钦四邻诗曰予曰有疏附予曰有先后予曰有奔奏予曰有御侮皆此之谓也是故丑未己亥四律筭律之家以为至要观下文二图其义可见矣 　　左旋相生 　　分宫徴商 　　羽角和中 　　右旋相生 　　分中和角 　　羽商徴宫 　　一均七律 　　是为七同 　　宫商角中 　　征羽和宫 　　宫则连和 　　征则近中 　　其余隔一 　　均均皆同 　　周而复始 　　是为旋宫 　　第十问大吕倍律自乗所得折半即是太簇倍律太簇倍律自乗所得折半即是姑洗倍律夹钟倍律自乗所得折半即是防賔倍律姑洗倍律自乗所得折半即是夷则倍律仲吕倍律自乗所得折半即是无射倍律防賔倍律自乗所得折半即是黄钟正律已上六条系长律生短律故须折半乃得○应钟倍律自乗所得即是无射倍律无射倍律自乗所得即是夷则倍律南吕倍律自乗所得即是防賔倍律夷则倍律自乗所得即是姑洗倍律林钟倍律自乗所得即是太簇倍律防賔倍律自乗所得即是黄钟倍律已上六条系短律生长律不须折半即得诸律各长几何 　　答曰凡学多位乗除筭盘梁上安一竹条其上冩所求二十五位数乗法自尾至首除法自首至尾次第那移筭则不错其倍正半三十六律二十五位开列于后 　　二【黄钟首位二是二尺余律首位一是一尺】 　　右乃黄钟倍律积筭【置黄钟倍律积筭为实以应钟倍律积筭为法除之得大吕】 　　一八八七七四八六二五三六三三八六九九三二八三八二六 　　右乃大吕倍律积筭【置大吕倍律积筭为实以应钟倍律积筭为法除之得太簇】 　　一七八一七九七四三六二八○六七八六○九四八四五二 　　右乃太簇倍律积筭【置太簇倍律积筭为实以应钟倍律积筭为法除之得夹钟】 　　一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○六二二五二 　　右乃夹钟倍律积筭【置夹钟倍律积筭为实以应钟倍律积筭为法除之得姑洗】 　　一五八七四○一○五一九六八一九九四七四七五一七○六 　　右乃姑洗倍律积筭【置姑洗倍律积筭为实以应钟倍律积筭为法除之得仲吕】 　　一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七九九二八一 　　右乃仲吕倍律积筭【置仲吕倍律积筭为实以应钟倍律积筭为法除之得防賔】