测圆海镜 - 第 3 页/共 10 页
边内减底即皇极差 边股内减底股即髙差【又】为底内减大勾 边勾内减底勾即平差【又】为大股内减边也
大勾减底余即半径为勾之中差也 大股内减边余即半径为股之中差也 边股底勾相并即大 若以相减即通中差也
二髙股一虚差合成一个股圆差 二平勾一虚差合成一个勾圆差【按此二条误当云二明股一虚股合成一个股圆差 二□勾一虚勾合成一个勾圆差也】
明双差亦为明□二大差其较则明差也 □双差亦为明□二小差其较则□差也 明双差内减明差即虚黄 □双差上加□差亦同上 以明双差加明和即两明 以□双差加□和则两□也 以明双差减明和而半之即明黄【又】为虚大差 以□双差减于□和而半之即□黄【又】为虚小差也 以虚大差减明和即为明 以虚小差减□和即□也 明双差□双差相较则次差也 明双差□双差相并加于明□二和共则为两个极双差 若以减于明□二和共则为两个虚双差也 明双差上加虚双差即明□二股共 □双差上加虚双即明□二勾共也
以明□二股共为明□黄共则髙差虚黄共为之较【按明又□黄较】为明大小差虚大小差共则明□二股共内去两个虚双差为之较也【按明大小差虚大小差之较】以明□二勾共为□明黄共则以平差虚黄
较为之较【又】为□大小差虚大小差共则明□二勾共内减两个虚大小差为之较也【按虚大小差□大小差之较】
明□二和共内减旁差即二虚 虚内加旁差明股□勾共也
明和内去平差即明股□勾共 □和上加髙差亦同上也 明和内去髙差即虚 □和上加平差亦同上 明内去髙差即虚勾 □上加平差即虚股也 明股内去□股即髙差 去□勾则极差也 明勾内去□股即虚差 去□勾则平差也
明□二股并内减虚即明差 明□二勾并减于虚即□差
明□二和共【又】为明□二共与明□二黄共数也其较则明双差□双差共数也 其明□二和共数内减旁差即二虚也 若内减虚双差即明□二共也
极得极差为大差大差内减明和则髙内减虚大差也 内减极差则为小差小差内减□和则是平内减虚小差也 又大差内减明和与髙股共余则为虚勾不及明勾数 小差内减□和与平勾共余则为□股不及虚股数也
右诸差
边勾边股差【又】为皇极差与髙差共也【又】为边内去大勾也 边勾边共【又】为大勾边股共 边勾边较【又】为大差内减半径也 边股边较【又】为□股和
底勾底股差【又】为皇极差平差共【又】为大股内去底【又】为髙股内去底小差 底勾底共为大内少个底股大勾差 底勾底较【又】为明上勾弦和 底股底共与边勾边共同 底股底较【又】为底勾内少小差股也
边股内减髙余则髙股 内减大差余则明勾内减底即底股内减大勾也【又】为髙内减
底勾也
底勾内减平余即平勾 内减小差余即□股以底勾减于边余即大股内减边勾也【又】为
边股内减平也
边内减底股与底内减边勾同为皇极内减半径也
皇极勾内减明勾余即平勾也若减□勾即半径也倍之则为底勾明勾共 皇极股内减□股余即髙股也若减明股余即半径也倍之则为边股□股共也
明股得虚股即髙股 明勾得虚勾即半径 □股得虚股即半径 □勾得虚勾即平勾也 髙内减髙股即□股 平内减平勾即明勾也明内减明差即虚股 □内加□差即虚勾也 髙股即虚明二股共 平勾即虚□二勾共也 明明勾并数与髙股同 □□股并数与平勾同也
明股□勾相倂减于极即虚和【又】为极黄虚黄共数也
明□二并 内减□双差即明□二股并 内减明双差即明□二勾并 内加虚即极 内减虚即明大差□小差并也
以明和为明明黄共则明双差为之较 以□和为□□黄共则□双差为之较也 明和【又】为髙差虚共【又】为极差与明□二勾共数 □和【又】为平差少于虚数【又】为极差少于明□二股数
半之三事和内加半黄方即勾股共 若减之则也 半圆径内加半虚黄即虚和 减半虚黄即虚也【又】以半虚黄加明和即髙股以半虚黄加□和即平勾也 加明股则明 加□股则□也 减明勾则明黄 减□股则□黄也 以虚黄加明黄则为虚股 以加□黄则虚勾也
右诸率见
髙□共为极其差即虚极差共也 髙股□股共为髙其差即虚股髙差共也 髙勾□勾共为平其差即半径内减□勾也 髙和□和共为极和其差即极和内少二□和也 髙差□差共为极差其差即虚差旁差共也 髙黄□黄共为虚其差即□黄不及虚股数也【髙黄即虚股】髙大差□大差共即明其差即半虚黄不及明股数也此髙大差即明股此□大差即半虚黄也髙小差【即□股】□小差共即□其差即□小差
不及□股数也 明平二共亦为极其较即虚不及极差数也 明平二股共亦为髙其较即明股内减半径也 明平二勾共亦为平其较即平差内去虚勾也 明平二和共亦为极和其较即极和内少二之平和也 明平二差共亦为极差其较即虚差不及旁差数也 明平二黄共亦为虚其较则虚勾【按虚勾即平黄】不及明黄数也 明平二大差共亦为明其较即明勾不及明大差数【平大差即明勾】 明平二小差共亦为□其较则□勾不及半虚黄数也此明小差即半虚黄此平小差即□勾
右四位相套
边 自减其股为平勾 自减其勾为明股明并 减于通余平 减于通股余平差 内减通勾余边差 内减底余极差 内减底股为半径旁差共【又】为极内少半径 内减底勾即大股内去边勾也 内减黄广余□ 内减黄广股即小差股内去平差 内减黄广勾即大差股内去平差 内减黄长【又】得黄长【按此条误】 内减黄长股与内减黄广勾同 内减黄长勾即大股内去极勾虚勾共 内减皇极余髙
底 自减其股为□勾□并 自减其勾为髙股 减于通余髙 减于通股余底差 内减通勾余髙差 减于边余极差 减于边股即底差内去半径 内减边勾即髙差平勾共减于黄广余为明大差□小差并【按此条亦系数偶合】减于黄广股即底差内去小差股 内减黄广勾即一个明一个黄长股较 内减去黄长余明 内减黄长股与内减黄广勾同 内减黄长勾余为髙股明勾共 内减极为平减于边股【又】为底股内去大勾
髙差平差共【又】为平勾髙股差 以半径减髙股即髙差 半径内减平勾即平差 明勾内减□勾与平差同 明股内减□股与髙差同 股圆差内减极股即髙差也 勾圆差减于极勾即平差正股内去边即平差也 底内去正勾即
髙差也 大差勾内去极勾即平差也 极股内去小差股即髙差也 极差内去□差即髙差也内去明差即平差也
旁差即城径极较也【又】为明差□差较【又】为髙差平差较 极差得之为大差差也去之则为小差差也
又髙差平差下 明和内去虚即髙差 虚内去□和即平差
大差内加虚差即黄广股 小差股内减虚差即黄长勾
通差内去髙差即底差 内去平差即边差也虚大差得二虚勾即勾圆差之股 虚小差得二虚股即股圆差之勾也
明股较与勾共即虚股也 □勾较与股共即虚勾也
半虚黄 □勾得之即□也减于此数即虚黄内去□也 □股得之虚勾也去之即□黄方也□得之即平勾内去□黄也去之则□勾也明勾内得之即虚股也去之则明黄方也 明
股得之即明也去之则明内去个虚黄方也明得之即髙股内去明黄也去之则明股也右拾遗
按识别杂记约五百条皆随时録其所得未经审定者故难易浅深不拘先后要皆精思妙义足以开示数理之蕴奥者徐光启亟新法而于勾股义中独推是书其必有所见矣
测圆海镜卷一
钦定四库全书
测圆海镜卷二
元 李冶 撰
正率一十四问
假令有圆城一所不知周径四面开门门外纵横各有十字大道其西北十字道头定为干地其东北十字道头定为艮地其东南十字道头定为防地其西南十字道头定为坤地所有测望杂法一一设问如后
或问甲乙二人俱在干地乙东行三百二十步而立甲南行六百步望见乙问径几里
答曰城径二百四十步
法曰此为勾股容圆也以勾股相乗倍之为实并勾股幂以求复加入勾股共以为法
草曰置甲南行六百步在地以乙东行三百二十步乘之得一十九万二千步倍之得三十八万四千步为实以乙东行步自之得一十万零二千四百步为勾幂以甲南行步自之得三十六万步为股幂二幂相并得四十六万二千四百步为方实以平方开之得六百八十步则也以加勾股共共得一千六百步以为法如法而一得二百四十步则城径也合问
或问甲乙二人俱在西门乙东行二百五十六步甲南行四百八十步望见乙问答同前
法曰此为勾上容圆也以勾股相乘倍之为实并勾股幂以求加入股以为法
草曰置甲南行四百八十步在地以乙东行二百五十六步乘之得一十二万二千八百八十步倍之得二十四万五千七百六十步为实以乙东行步自之得六万五千五百三十六步为勾幂以甲南行步自之得二十三万零四百步为股幂勾股幂相并得二十九万五千九百三十六步为方实以平方开之得五百四十四步为也以加入南行步共得一千零二十四步以为法而一得二百四十步则城径合问
或问甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲南行三百七十五步望见乙问答同前
法曰此为股上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾股幂求加入勾以为法
草曰置甲南行三百七十五步以乙东行二百步乘之得七万五千步倍之得一十五万步为实以乙东行自之得四万步为勾幂以甲南行自之得一十四万零六百二十五步为股幂勾股幂相并得一十八万零六百二十五步为方实如平方而一得四百二十五步则也加入乙东行二百步共得六百二十五步以为法以法除之得二百四十步则城径也合问
或问甲乙二人俱在圆城中心而立乙穿城向东行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望见乙问答同前
法曰此为勾股上容圆也以勾股相乘倍之为实并勾股幂如法求以为法
草曰以二行步相乘得三万四千六百八十步倍之得六万九千三百六十步为实置乙东行自之得一万八千四百九十六步为勾幂又以甲南行自之得六万五千零二十五步为股幂二幂相并得八万三千五百二十一步为方实以平方开之得二百八十九步即也便以为法如法除实得二百四十步即圆城之径也合问
或问甲乙二人同立于干地乙东行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城径之半问答同前
法曰此为上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾股和为法
草曰以二行步相乘得六万四千八百步倍之得一十二万九千六百步为实并二行步得五百四十步以为法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲乙二人俱在坤地乙东行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙与城防相直问答同前法曰此为勾外容圆也以勾股相乘倍之为实以较和为法
草曰以二行步相乘得六万九千一百二十步倍之得一十三万八千二百四十步为实置乙东行自之得三万六千八百六十四步为勾幂又置甲南行自之得一十二万九千六百步为股幂二幂相并得一十六万六千四百六十四步为方实以平方开之得四百零八即也又置甲南行步内减乙东行步余一百六十八步即较也以较加共得五百七十六步以为法实如法而一得二百四十步为城径也合问
按此题用勾股求得即可加减得较较为城径今必以勾股相乘倍积为实求得加减得较和为法而后始得较较为城径者盖欲因此并明勾股相乘之倍积为较较较和相乘之积非故为纡廻也
或问甲乙二人同立于艮地甲南行一百五十步而止乙东行八十步望乙与城防相直问答同前
法曰此为股外容圆也以勾股相乘倍之为实以较较为法
草曰二行步相乘得一万二千倍之得二万四千步为实以甲南行自之得二万二千五百步为股幂又以乙东行步自之得六千四百步为勾幂勾股幂相并得二万八千九百步为方实以平方开之得一百七十步即也以二行步相减余七十步为勾股较也以此较又减余一百步即较较也便以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问按此题系较和为城径其用法实以较取和之意与上题同
或问甲乙二人同立于防地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙与城防相直问答同前
法曰此为外容圆也勾股相乘倍之为实以和较为法
草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步为实以甲北行自之得八千一百步为股幂又以乙西行自之得二千三百零四步为勾幂并二幂得一万零四百零四步为方实以平方开之得一百零二步为也又并二行步得一百三十八步为和以减和余三十六步得黄方以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问
按此题和和即城径其以勾股相乘倍积为实黄方为法者亦以明和和黄方相乘之积与勾股相乘之倍积为相等也
或问甲乙二人俱在南门乙东行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙与城防相直问答同前法曰此为勾外容圆半也以勾股相乘倍之为实以大差为法
草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一万九千四百四十步为实又以乙东行自之得五千一百八十四步为勾幂又以南行自之得一万八千二百二十五步为股幂二幂相并得二万三千四百零九步为方实以平方开之得一百五十三步即也以乙东行七十二步为勾以减余八十一步即勾差也便以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问
或问甲乙二人俱在东门甲南行三十步而止乙东行一十六步回望甲与城防相直问答同前
法曰此为股外容圆半也以勾股相乘倍之为实以小差为法
草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步为实又以乙东行自之得二百五十六步为勾幂又以甲南行自之得九百步为股幂二幂相并得一千一百五十六步为方实以平方开之得三十四步即也以甲南行三十步为股以减余四步以为法以法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲出西门南行四百八十步而止乙出东门南行三十步望见甲问答同前
法曰此为半矮梯也以二行步相乘为实如平方而一得半径
草曰以二行步相乘得一万四千四百步为实以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
又问甲乙二人乙出南门折而东行七十二步而止甲出北门折而东行二百望见乙问答同前
法曰以二行步相乘得数四之为实如平方而一得城径
草曰二行步相乘得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问
又假令乙出南门折东行二十步甲出北门折东行七百二十步如此之类亦同上法【以上三问是以半矮梯求之】按右三题通为一问
或问甲乙二人乙在艮地东行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望见乙问答同前
法曰此为两差求黄方也以二行步相乘倍之为实以平方开得城径
草曰二行步相乘得二万八千八百步倍之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问 别得甲南行即股圆差也乙东行即勾圆差也
或问甲出东门四十八步而立乙出南门四十八步见之问答同前
法曰此当以方五斜七求之每出门二步管径十步草曰置出门步在地以五之得二百四十步即城径也据此法合置出门步在地以十之二而一以二数相折故五因便是合问
按方五斜七古率非密率也设问以尽此题之变故率之踈密勿论
或问出西门南行四百八十步有树出北门东行二百步见之问答同前
法曰以二行步相乗为实二行步相并为从二步常法得半径
草曰立天元一为半径置南行步在地内减天元半径得□□为股圆差【按斜画者少之记也□□是为四百八十步少一元也下仿此】又置乙东行步在地内减天元得下式□□为勾圆差以勾圆差乘股圆差得丨□□【按丨□□为一平方少六百八十元多九万六千步】为半段黄方幂即城幂之半也【寄左】又置天元幂以倍之得□□亦为半段黄方幂与左相消得丨□□如带纵法之得半径合问【按相消者取上两相等之数同加减相等之数使一为步数一为方元数仍相等也如寄数内减一平方加六百八十元则得九万六千步又数内亦减一平方加六百八十元则得一平方六百八十元是为一平方六百八十元与九万六千步等故其式为丨□□旧稿方元数皆作斜画以别之然遇方元数有多少异号者殊混人目今不用】
又法识别得二行并即大也立天元一为半径置甲南行步加天元一得□□为大股又置乙东行步加天元得□□为大勾也勾股相乘得丨□□为一个大直积以天元除之得下式□□□为三事和【寄左黄方除倍积得三事和今以半黄方除直积亦为三事和也】然后并二行步又并入勾股共得□□为同数与左相消得□□□以带纵平方开之得一百二十步倍之得全径也合问按是书皆先法后草草者以立天元一推衍而得其方元积数者也法者又取推衍中之支节条目融防而归于简约者也草者法之本法者草之用法使人易于推步而草则存其义以俟知者二者相须不可偏废顾应祥仅演其开方乘除之数而去其细草盖亦不得其理矣
按元时未有笔算故加减乘除之式不能详载观者遂以为无下手处今借根方法既明视此则涣如氷释矣