弧矢算术 - 第 3 页/共 5 页

术曰积自之得三千九百○六歩二五　矢自之乗积得一千五百六十二步五相减余二千三百四十三步七五为实矢自乗再乗得一百二十五为法除之得一十八步七五矢乗虚隅一步二分五厘得六步二分五厘加入即圆径二十五 　　截积与截求圆径 　　术曰先求得矢矢除半筭加矢即径 　　圆不知径从旁截积一千三百一十二步半截长八十步问圆径几何 　　答曰圆径八十九步 　　术曰先倍积以为从方平方开之得矢二十五步后用半自之得一千六百步以矢除之得六十四为矢径差加矢即圆径 　　截积与截矢求截弧背【求弧背同】 　　术曰先求得径以除矢筭得半背差 　　截矢与求圆径 　　术曰半自之如矢而一为矢径差 　　圆不知径从旁截一弧矢阔九步长五十四步问圆径 　　答曰圆径九十步 　　术曰半自之得七百二十九以矢除之得八十一为矢径差加矢即径 　　截矢与求截弧背 　　术曰先求得径以除矢筭为半背差 　　截矢与截求截积 　　术曰以矢加以乗矢得二积 　　截与外周求截矢【外周乃割残之周也】 　　术曰筭半筭相乗四而三之为实并及残周乗半筭为益方倍半筭加筭为从上亷并及残周为下亷以隅并上亷减从以余从并下亷为法三乗方法开之 　　平圆旁割一弧截处五十四步外残周二百一十四步二分问截矢几何 　　答曰矢九步 　　术曰自之得二千九百一十六为筭　半自之得七百二十九为半筭　二筭相乗得二百一十二万五千七百六十四四而三之得一百五十九万四千三百二十三为正实　并残周共二百六十八步二分以半筭乗之得一十九万五千五百一十七步八分为益方　倍半筭加全筭得四千三百七十四为从上亷　并残周得二百六十八步二分为下亷一为隅法 　　商得九　置一于左上为法　置一乗上亷得三万九千三百六十六为减亷　置一自之为八十一以乗下亷得二万一千七百二十四步二分为益亷置一自乗再乗得七百二十九为隅法并入减亷共四万○○九十五　以减从方余一十五万五千四百二十二步八分并入下亷共一十七万七千一百四十七步为下法 　　圆田一段西边被水浸入一弧长二十步外残周五十三步问矢阔田径田积 　　答曰截矢阔五步圆径二十五步　弧背二十二步术曰如积求之得三万为正实　七千三百为益方六百为从上亷七十三为益下亷　一为正隅　三乗方开之得矢阔　矢除半筭加矢得径　倍矢筭以径除之得背差加即弧背　径自之四而三之得田积 　　圆田水浸一弧长七十二步外有残周一百九十○步八分问矢阔 　　答曰矢阔一十八步　弧背七十九步二分 　　圆径九十歩　原田二十五畆三分一厘二毫五丝术曰先求矢阔　筭五千一百八十四　半筭一千二百九十六相乗得六百七十一万八千四百六十四步四归三因得五百○三万八千八百四十八为正实　并及残周共二百六十二步八分以半筭乗之得三十四万○五百八十八步八分为益从方　倍半筭加全筭得七千七百七十六为减上亷　并残周二百六十二步八分为益下亷 　　初商一十　置一于左上为法　置一乗减上亷得七万七千七百六十为减亷　置一自之以乗益下亷得二万六千二百八十为益亷　置一自乗再乗得一千为减隅并入减亷共七万八千七百六十为减从之算以减益方余二十六万一千八百二十八步八分为从方并益亷共二十八万八千一百○八步八分为下法　与上法相乗除实二百八十八万一千○八十八　余实二百一十五万七千七百六十未尽 　　二因减上亷得一十五万五千五百二十 　　三因益下亷得七万八千八百四十为益亷之方四因隅法得四千为方法 　　又以初商三之以乗益下亷得七千八百八十四为益亷之亷　初商自之六因得六百为隅上亷初商四之得四十为隅下亷 　　次商八　置一于左上为法　置一乗初减上亷得六万二千二百○八加入前二因上亷得二十一万七千七百二十八为减亷　置一乗益亷之亷得六万三千○七十二步并益亷之方共一十四万一千九百一十二为益亷之筭　置一自之以乗初益下亷得一万六千八百一十九步二分并入益亷之筭共一十五万八千七百三十一步二分为益亷　置一乗隅上亷得四千八百　置一自之以乗隅下亷得二千五百六十　置一自乗再乗得五百一十二为隅法并方法上下亷隅法共一万一千八百七十二为减隅　并减亷共二十二万九千六百为减从之筭以减原从余一十一万○九百八十八步八分加益亷共二十六万九千七百二十为下法与上法相乗除实尽 　　矢除半筭得七十二为矢径差加矢即圆径倍矢筭以圆径除之得七步二分为背差加即弧背　圆径自之四而三得六千○七十五步以畆约之为畆 　　解曰求矢者起于与径今不知径而有残周故以自乗半自乗相乗为实方中取圆故四而三之为三乗方实以并残周与半筭相乗为从方而从方之中又多一筭两半筭及矢自乗再乗之数故以全筭与倍半筭为上亷并求出矢自乗再乗之数以减之却以并残周为益下亷以求出矢两度乗之并余从以为法盖隅与上亷专主于减从而下亷所以益从也 　　筭为平方以乗之为立方又以半筭乗是为三乗方 　　正实五百○三万八千八百四十八乃三乘方数内下亷该除一百五十三万二千六百四十九步六分从方该除三百五十○万六千一百九十八步四分从方三十四万○五百八十八步八分乃立方之数内上亷减一十三万九千九百六十八隅减五千八百三十二止存一十九万四千七百八十八步八分以矢十八因之以除实 　　上亷减从除实用减从开平方法 　　从方带上亷一度矢乗之数共三十三万四千七百五十六步八分以十八因之该正实六百○二万五千六百二十二步四分欠二百五十一万九千四百二十四乃上亷减去之数 　　初商一十　置一为上法　置一乗上亷得七万七千七百六十以减从方余二十五万六千九百九十六步八分与上法相乗除实二百五十六万九千九百六十八余实九十三万六千二百三十○步四分　倍上防得一十五万五千五百二十为亷法 　　次商八　置一为上法　置一乗上亷得六万二千二百○八并亷法共二十一万七千七百二十八以减原从余一十一万七千○二十八步八分为下法与上法相乗除实尽 　　从方假作平方形长一十九万四千七百八十八步八分濶一十八步带十八因上亷共长三十三万四千七百五十六步八分　初商十步十因上亷止除七万七千七百六十少减六万二千二百○八步计多除正实六十二万二千○八十　次商濶八步如从方原长该除实一百五十五万八千三百一十○步八分今止余实九十三万六千二百三十○步四分欠六十二万二千○八十正合初商多除之数　次商倍亷法多减七万七千七百六十以八因之其数适合此自然之妙凡用减从者俱如此 　　隅减从用减从开三乗方法 　　隅立方并从共二十○万○六百二十○步八分以十八因该正实三百六十一万一千一百七十四步四分欠一十○万四千九百七十六乃隅减之数初商一十　置一为上法　置一自乗再乗得一千为方法以减从方余一十九万九千六百二十○步八分为下法与上法相乗除实一百九十九万六千二百○八步余实一百五十○万九千九百九十○步四分　四因方法得四千为方法　初商自之六因得六百为上亷初商四之得四十为下亷次商八　置一为上法　置一乗上亷得四千 　　八百　置一自之以乗下亷得二千五百六十置一自乗再乗得五百一十二为隅法并方亷隅共一万一千八百七十二为减从以减原从余一十八万八千七百四十八步八分为下法与上法相乗除实尽 　　初商多存长四千八百三十二濶十步共四万八千三百二十次商多减六千○四十以八因之相合下亷除实 　　下亷二百六十二步八分十八因之得四千七百三十○步四分为平方积又十八因得八万五千一百四十七步二分为立方积又十八因得一百五十三万二千六百四十九步六分为三乗方积 　　初商一十　置一为上法　置一自之以乗下亷得二万六千二百八十为下法与上法相乗除实二十六万二千八百余实一百二十六万九千八百四十九步六分　三因下法得七万八千八百四十为方法　三因初商以乗下亷得七千八百八十四为亷法　次商八置一为上法　置一乗亷法得六万三千○七十二步置一自之以乗下亷得一万六千八百一十九步二分并方亷共一十五万八千七百三十一步二分为下法除尽 　　方圆术【附】 　　圆求容方 　　术曰方径即圆径若求圆积四而三之不必立法惟以圆求方其法不一姑録于此盖径一则围不止于三所谓围三径一者举其大较耳 　　圆周五尺中容一斗斗方面几何 　　答曰斗靣一尺一寸六分六厘【三分厘之二】 　　术曰七因周得三尺五寸以三归之 　　此术载呉信民筭法以周为以方为股然七因五尺为三十五未是 　　圆材径二尺一寸为方靣几何 　　答曰方径一尺四寸五十八分寸之四十九 　　术曰径为股自之得四百四十一寸折半平方开之又曰三因径得六尺三寸七分因之三归得方靣一尺四寸一十分寸之七 　　圆径十尺问容方面几何 　　答曰容方面七尺 　　术曰三其径得三十尺以七寸因之得二十一尺三归得七尺方圆之术径一则围三有竒方五则斜七有竒难以一定之法例之【径自之折半平方开之多一筭】 　　圆径折变 　　圆周求径 　　古法围三径一　徽术周一百五十七径五十宻术周二十二径七 　　周八十四问径 　　古术答曰二十八 　　术用三归 　　徽答曰二十六步【一百五十七分步之一百一十八】术曰周五十因如一百五十七而一 　　宻答曰二十六步【一十一分步之八】 　　术曰周七因如二十二而一 　　周八十七【二十五分步之二十三】问径 　　古术答曰二十九步【七十五分步之二十三】 　　术曰分母通其全分子从之得二千一百九十八为实三因分母得七十五为法 　　徽答曰二十八步 　　术曰分母通其全分子从之以五十因之得一十○万九千九百为实　一百五十七因分母得三千九百二十五为法 　　宻答曰二十七步【二百七十五分步之二百六十八】术曰分母乗其全分子从之七因得一万五千三百八十六置分母以二十二因得五百五十为法不尽者法实俱半约之 　　假如厯法周天三百六十五度二十五分七十五秒问周天径几何 　　答曰一百二十一度七十五分二十五秒 　　此以围三径一求之 　　以徽术求之为径几何 　　答曰径一百一十六度三十二分四十秒【一百五十七分秒之七】 　　术曰五十因周得一万八千二百六十二度八十七分五十秒以一百五十七除之 　　以宻术求之为径几何 　　答曰一百一十六度二十一分八十二秒【二十二分秒之二十一】 　　术曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十五秒以二十二除之 　　圆径求周 　　圆径二十八问周 　　古法答曰八十四 　　术用三因 　　徽答曰八十七步【二十五分步之二十三】 　　术曰径一百五十七因得四千三百九十六如五十而一 　　宻答曰八十八步 　　术曰径二十二因如七而一 　　圆径二十六步【一百五十七分步之一百一十八】问周古法答曰八十步【一百五十七分步之四十】 　　术曰分母通其全分子从之三因得一万二千六百为实如分母而一 　　徽答曰八十四步 　　术曰分母通其全分子从之又一百五十七因得六十五万九千四百为实　分母五十因得七千八百五十为法 　　又曰分母通其全分子从之得四千二百如五十而一 　　宻答曰八十四步【一百五十七分步之一十二】术曰分母通其全分子从之又二十二因得九万二千四百为实　七因分母得一千○九十九为法 　　圆径二十六歩【一十一分步之八】问周