五礼通考 - 第 116 页/共 431 页
又曰淮南子谓置一而十一三之以为黄钟之大数即此置一而九三之以为寸法者其术一也夫置一而九三之既为寸法则七三之为分法五三之为厘法三三之为毫法一三之为丝法从可知矣律书独举寸法者葢已于生钟分内黙具律寸分厘毫丝之法而又于此律数之下指其大者以明凡例也一三之而得三三三之而得二十七五三之而得二百四十三七三之而得二千一百八十七九三之而得一万九千六百八十三故一万九千六百八十三以九分之则为二千一百八十七又以九分之则为二百四十三又以九分之则为二十七又以九分之则为三三者丝法也九其三得二十七则毫法也九其二十七得二百四十三则厘法也九其二百四十三得二千一百八十七则分法也九其二千一百八十七得一万九千六百八十三则寸法也一寸九分一分九厘一厘九毫一毫九丝以之生十一律以之生五声二变上下乗除参同契合无所不通盖数之自然也顾自淮南太史公之后即无识其意者如京房之六十律虽亦同此十七万七千一百四十七之数然乃谓不盈寸者十之所得为分又不盈分者十之所得为小分其余为强弱不知黄钟九寸以三损益数不出九苟不盈分者十之则其竒零无时而能尽虽泛以强弱该之而卒无以见强弱之为几何则其数之精防固有不可得而纪者矣至于杜佑胡瑗范蜀公等则又不复知有此数而以意强为之法故通典则自南吕而下各自为法固不可以见分厘毫丝之实胡范则止用八百一十分乃是以积实生量之数为律之长而其因乗之法亦用十数故其余算亦皆弃而不录盖非有意于弃之实其重分累析至于无数之可纪故有所不得而録耳夫自丝而下虽非目力之所能分然既有其数而或一算之差则法于此而遂变不以约十为九之法分之则有终不可得而齐者故淮南太史公之书其论此也已详特房等有不察耳
朱子曰十二律分寸厘毫丝之数郑氏与太史公说不同太史二说又自为异郑氏之言分寸审度之正法也太史之言欲其便于损益而为假设之权制也盖律管之长以九为本上下相生以三为法而郑氏所用正法破一寸以为十分而其下破分为厘破厘为毫破毫为丝破丝为忽皆必以十为数则其数中损益之际皆有余分虽有巧歴终不能尽是以自分而下遂不可析而直以九相乗歴十二管至破一寸以为一万九千余分而后略可得而记焉然亦苦于难记而易差终不若太史公之法为得其要而易考也盖其以子为一而十一三之以至于亥则得十七万七千一百四十七算而子为全律之数亥为全律之实可知矣以寅为子之寸数而酉为寸法则其律有九寸可知矣以辰为子之分数而未为分法则其寸有九分可知矣以午为子之厘数而已为厘法则其分有九厘可知矣以申为子之毫数而卯为毫法则其厘有九毫可知矣以戌为丝数而丑为丝法则毫有九丝可知矣下而为忽亦因丝而九之虽出权宜而不害其得乎自然之数以之损益则三分之数整齐简直易记而不差也其曰黄钟八寸十分一者亦放此意但以正法之数合其权法之分故不同耳其实则不异也
蕙田案蔡氏以九起算非止得太史公之法实黄钟律度为万事根本之妙蕴也黄钟以九为本以三为用神明自然乃造化之奥机其所谓九寸者不过假尺度之名以纪损益乗除之数而与尺度之积十为分积分为寸之寸截然不同朱子谓为假设之权制可谓得其意而与史记注合但止称其数整齐简直过于郑法之难记而易差不知黄钟自然之数妙合天成是以生律生声极其所至而无不通若郑以分寸审度之法拘泥推测不但与律度之本防霄壤悬殊即其算数已难记而不可行矣呜呼黄钟之蕴朱子且未能尽窥何怪算数家纷争执碍揣摩拟议而成万世不决之疑也非大圣人孰能心悟神防而与于此哉
右黄钟之实
史记律书生钟分子一分 丑三分二 寅九分八卯二十七分十六 辰八十一分六十四 巳二百四十三分一百二十八 午七百二十九分五百一十二未二千一百八十七分一千□□二十四 申六千
五百六十一分四千□□九十六 酉一万九千六百八十三分八千一百九十二 戌五万九千□□四十九分三万二千七百六十八 亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六
律吕新书此即三分损益上下相生之数其分字以上者皆黄钟之全数其分字以下者诸律所取于黄钟长短之数也其上下相生之序则晋志所谓在六律为阳则当位自得而下生于隂六吕为隂则得其所冲而上生于阳者是也大吕夹钟仲吕止得半声必用倍数乃与天地之气相应其寸分厘毫丝皆积九以为法
史记生钟术曰以下生者倍其实三其法【索隠曰以下生者谓黄钟下生林钟黄钟长九寸倍其实者二九十八三其法者以三为法约之得六为林钟之长也】以上生者四其实三其法【索隠曰四其实者谓林钟上生太簇林钟长六寸以四乗六得二十四以三约之得八即为太簇之长也】
律吕新书黄钟生十一律数子一分【一为九寸】丑三分二【一为三寸】寅九分八【一为一寸】卯二十七分十六【三为一寸一为三分】辰八十一分六十四【九为一寸一为一分】巳二百四十三分一百二十八【二十七为一寸 三为一分 一为三厘】午七百二十九分五百一十二【八十一为一寸 九为一分 一为一厘】未二千一百八十七分一千二十四【二百四十三为一寸 二十七为一分 三为一厘 一为三毫】申六千五百六十一分四千九十六【七百二十九为一寸八十一为一分 九为一厘一为一毫】酉一万九千六百八十三分八千一百九十二【二千一百八十七为一寸 二百四十三为一分 二十七为一厘 三为一毫 一为三丝】戌五万九千四十九分三万二千七百六十八【六千五百六十一为一寸 七百二十九为一分八十一为一厘 九为一毫 一为一丝】亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六【一万九千六百八十三为一寸 二千一百八十七为一分二百四十三为一厘 二十七为一毫 三为一丝一为三忽】
蔡氏元定曰黄钟生十一律子寅辰午申戌六阳辰皆下生丑卯巳未酉亥六隂辰皆上生其上以三歴十二辰者皆黄钟之全数其下隂数以倍者【即算法倍其实】三分本律而损其一也阳数以四者【即算法四其实】三分本律而増其一也六阳辰当位自得六隂辰则居其冲其林钟南吕应钟三吕在隂无所増损其大吕夹钟仲吕三吕在阳则用倍数方与十二月之气相应盖隂之从阳自然之理也
十二律之实子黄钟十七万七千一百四十七全九寸半无 丑林钟十一万八千□□九十八全六寸半三寸不用 寅太簇十五万七千四百六十四全八寸半四寸 卯南吕十□万四千九百七十六全五寸三分半二寸六分不用 辰姑洗十三万九千九百六十八全七寸一分半三寸五分 巳应钟九万三千三百一十二全四寸六分六厘半二寸三分三厘不用 午蕤宾十二万四千四百一十六全六寸二分八厘半三寸一分四厘 未大吕十六万五千八百八十八全八寸三分六厘六毫半一寸一分八厘三毫 申夷则十一万□□五百九十二全五寸五分五厘一毫半二寸七分二厘五毫 酉夹钟十四万七千四百五十六全七寸四分三厘七毫三丝半三寸六分六厘三毫六丝 戍无射九万八千三百□□四全四寸八分八厘四毫八丝半二寸四分四厘三毫四丝 亥仲吕十三万一千□□七十二全六寸五分三毫四丝六忽【余二算】半三寸二分八厘六毫二丝二忽
蔡氏元定曰十二律之实约以寸法则黄钟林钟太蔟得全寸约以分法则南吕姑洗得全分约以厘法则应钟蕤宾得全厘约以毫法则大吕夷则得全毫约以丝法则夹钟无射得全丝至仲吕之实十三万一千七十二以三分之不尽二算其数不行此律之所以止于十二也
蕙田案生钟分十二辰分字以上黄钟几分之数也分字以下诸律于黄钟之数取其几分也二与八与十六与六十四诸数阳生阴者倍其实阴生阳者四其实也子黄钟也一分者九寸也丑林钟也分黄钟九寸为三分每分三寸取二分得六寸也寅太簇也分黄钟九寸为九分每分一寸取八分得八寸也卯南吕也分黄钟九寸为二十七分每三分为一寸取十六分得五寸三分三厘三毫三丝三忽也辰姑洗也分黄钟九寸为八十一分每九分为一寸取六十四分得七寸一分一毫一丝一忽也巳应钟也分黄钟九寸为二百四十三分每二十七分为一寸取一百二十八分得四寸七分四厘零四丝七忽也午蕤宾也分黄钟九寸为七百二十九分每八十一分为一寸取五百一十二分得六寸三分二厘九丝八忽也未大吕也分黄钟九寸为二千一百八十七分每二百四十五分为一寸取一千二十四分得四寸二分一厘三毫为半大吕倍之得八寸四分二厘七毫也申夷则也分黄钟九寸为六千五百六十一分每七百二十九分为一寸取四千九十六分得五寸六分一厘八毫六丝五忽也酉夹钟也分黄钟九寸为一万九千六百八十三分每二千一百八十七分为一寸取八千一百九十二分得三寸七分四厘五毫七丝为半夹钟倍之得七寸四分九厘一毫五丝也戍无射也分黄钟九寸为五万九千四十九分每六千五百六十一为一寸取三万二千七百六十八分得四寸九分九厘四毫也亥仲吕也分黄钟九寸为十七万七千一百四十七分每一万九千六百八十三分为一寸取六万五千五百三十六分得三寸三分二厘九毫为半仲吕倍之得六寸六分五厘九毫也
【考津绪言呉氏鼎曰生钟分之分即算家分母分子之分法为分母十二分字以上皆分母也即三其法之法也实为分子分字以下皆分子也即倍其实四其实之实也总括之不过三分损益四字试置黄钟为实三分而损其一为林钟置林钟为实三分而益其一为太蔟置太蔟为实三分而损其一为南吕置南吕为实三分而益其一为姑洗此其为数与夫置黄钟为实三分而取其二为林钟置黄钟为实九分而取其八为太蔟置黄钟为实二十七分而取其十六为南吕置黄钟为实八十一分而取其六十四为姑洗未始有异也由前之法十二律递为其母而不以黄钟为共母由后之法未尝不递为其母而实以黄钟为共母自有生钟之数而十二律之长短自见原不必立寸分厘毫之名以相泥至若究其所用之实则生钟分乃言律之祖定律之根施之乐器悉范围而不过岂无所用而空有其说哉】
【呉氏鼐曰史记生钟术以下生者倍其实三其法以上生者四其实三其法案阳数起于一隂数起于二一一者倍其实之根二二者四其实之根置一而十一三之三其法之根也黄一则林二太八则南十六姑六十四则应一百二十八蕤五百十二则大一千二十四夷四千九十六则夹八千一百九十二无三万二千七百六十八则仲六万五千五百三十六也此下生者倍其实也林二则太八南十六则姑六十四应一百二十八则蕤五百十二大一千二十四则夷四千九十六夹八千一百九十二则无三万二千七百六十八也此上生者四其实也生钟分自子一至十七万零皆黄钟之实也乃十一律生于黄钟而以黄钟为母也若以隂阳各六分之则一者六律之母也二者六吕之母也又五律以黄钟为母五律以林钟为母也若以律取妻而吕生子递而衍之则递为母也故置一而十一三之者黄钟也置二而十三之者林钟也置八而九三之者太蔟也置十六而八三之者南吕也置六十四而七三之者姑洗也置一百二十八而六三之者应钟也置五百十二而五三之者蕤宾也置一千二十四而四三之者大吕也置四千九十六而三三之者夷则也置八千一百九十二而两三之者夹钟也置三万二千七百六十八而一三之者无射也至亥则极静不容再分矣故仲吕六万五千五百三十六则黄钟三分损益之极数也凡此皆参天之数也倍其实四其实两地之数也夫是之谓参天两地而倚数】
【李氏光地曰天地之间理也气也声也形也数也显防无间者也盖气者理之用形声者气之化而数者形声之纪也乐律之道其数相生故其气相生其气相生故其声亦相生而无不应也其必纪以九者何数之所以衍而不穷气之所以运而不息也其必成以六者何数之衍所以节而气之运所以裁也易卦尊阳而用九乐律亦尊阳而用九故穷则变变则通者用九之妙也易卦居阴而用六乐律亦居隂而用六故先后有序刚柔有偶者用六之功也黄钟之律长九寸幂九分积其长八十一分积其幂八百一十分莫非九九之用故其道循环而与元气终始成于六律究于十二管衍于六十调行于三百六十声莫非六六之用故其道有常而与天地相似然则数有阻格则于气有滞碍数有差缪则于气有乖逆者亦自然之理矣】
蕙田案黄钟为律吕之本何也律者法也黄钟法之本也法者何隂阳之理也阳变而声音之道出焉是为律隂合而声音之用备焉是为吕阳包乎隂吕亦律也故曰六律黄钟者六律之始声音之法也黄钟何以为声音之法黄钟九寸九九八十一分是其法也九寸何以为法寸者假度之名九其法也九何以为法九干老阳之防参天之数也参天者径一而围三数起于一行于三一三而三三三而九九则复为一至于九则数备矣九者三三之数也故黄钟之数用九也其用九何也用九者用三也用三者仍用九也以三用九故黄钟之实子一丑三寅九夘二十七辰八十一巳二百四十三午七百二十九未二千一百八十四申六千五百八十一酉一万九千六百八十三戍五万五千□□四十九亥十七万七千一百四十七其递加之数皆三也其全数皆九也其必以三递加而自子至亥者何也自子至亥而寸分厘毫丝之数与法备也其必备寸分厘毫丝之法与数者何也所以生十一律而正五音也十一律何以生隂阳之理自然而生也隂阳何以生隂阳互根也隂阳互根阳饶而隂乏故阳三分而损一以生隂则为吕吕三分而益一以生阳复为律或上或下不得不生也不得不生者黄钟以三用九之数必至于十二也必至于十二者天之辰十二次嵗之纪十二月地之方十二位隂阳自然之数也然则何以止于十二也其数不行也数何以不行亥仲吕也仲吕之实十三万一千七十二以三分之不尽二算故不行也此黄钟所以止生十一律而成十二也犹卦之自八而六十四大衍之数万有一千五百二十而其用四十有九也其正五音何也黄钟之数九九八十一以为宫三分去一而生征五十四征三分益一而生商七十二商三分去一而生羽四十八羽三分益一而生角六十四则五音备也五音何以备也其旋相为宫自十二均至六十调加二变为七音八十四声其相生之数皆黄钟之数也何以为黄钟之数也皆九也皆三分损益也三分损益何也倍其实四其实也倍其实四其实者一生二二生四两地之数也黄钟数九何以有两地之数也阳得兼隂隂不得兼阳故黄钟之数止用九也用九而天下之数备奚止律吕也然则以黄钟为十寸何也曰非也黄钟九寸者法也非度也十寸者度也非法也度生于法法不生于度也以黄钟为九寸寸十分者何也曰亦非也十分者度之分也非法之分也以黄钟为九寸寸九分者何也曰似矣而实非也分者法之分乃假借寸分厘毫丝之名以纪黄钟损益乗除之数而行其九九之法实非寻丈尺寸之度也故或以为是九而非十或以为是十而非九或以为可以九可以十者皆泥于尺度不知律为法者也不知黄钟为法之本者也不知黄钟为律吕之本者也
右黄钟生十一律
淮南子黄钟下生林钟林钟上生太簇太簇下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上生蕤宾蕤宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟夹钟下生无射无射上生仲吕仲吕极不生
蕙田案蕤宾夷则无射三律皆下生者律吕之本数也于隂阳修短之气未合故大吕夹钟仲吕俱用倍律此淮南子蕤宾重上生乃算律之防法歴代多宗之二者律法不同得寸数则一
前汉书律厯志黄钟之长三分损一下生林钟三分林钟益一上生太蔟三分太蔟损一下生南吕三分南吕益一上生姑洗三分姑洗损一下生应钟三分应钟益一上生蕤宾三分蕤宾损一下生大吕三分大吕益一上生夷则三分夷则损一下生夹钟三分夹钟益一上生无射三分无射损一下生仲吕隂阳相生自黄钟始八八为伍
【呉氏鼐曰汉志蕤宾下生大吕用倍数仍与上生同夷无二律亦然说本史记盖相生之正法也此与淮南子生法异而得数同】
吕氏春秋黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕南吕生姑洗姑洗生应钟应钟生蕤宾蕤宾生大吕大吕生夷则夷则生夹钟夹钟生无射无射生仲吕三分所生益之一分以上生三分所生去其一分以下生黄钟大吕太蔟夹钟姑洗仲吕蕤宾为上林钟夷则南吕无射应钟为下
【呉氏鼐曰晋书云吕不韦春秋言黄钟之宫律之本也下生林钟林钟上生太蔟太蔟下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上生蕤宾蕤宾下生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟夹钟下生无射无射上生仲吕三分所生益一分以上生三分所生损一分以下生后代言律者多宗此说据晋书所载与吕览原文不同今细绎之吕览原文有误字当作黄钟大吕太蔟夹钟姑洗仲吕蕤宾为下林钟夷则南吕无射应钟为上晋志是也防晋志所引蕤宾用倍数仍同淮南陈氏乐书本吕览淮南王安建蕤宾重上生之议郑康成之说也此说殊误彼盖据黄钟大吕太蔟夹钟姑洗仲吕蕤宾为上一语而以蕤宾为上生耳蕤既上生则黄大太夹姑仲岂尽皆上生耶】
蕙田案观呉氏说足订吕览之文有误
郑康成曰阳管为律隂管为吕布十二辰子为黄钟管圆九分而长九寸同位取妻隔八生子下生者三分去一上生者三分益一黄钟干之初九也隔八而下生林钟坤之初六林钟又隔八而上生太蔟之九二太蔟又下生南吕之六二南吕又上生姑洗之九三姑洗又下生应钟之六三应钟又上生蕤宾之九四蕤宾又上生大吕之六四大吕又下生夷则之九五夷则又上生夹钟之六五夹钟又下生无射之上九无射又上生中吕之上六五下六上乃一终矣
后汉书律厯志术曰阳以圆为形其性动隂以方为节其性静动者数三静者数二以阳生隂倍之以隂生阳四之皆三而一阳生隂曰下生隂生阳曰上生上生不得过黄钟之清浊下生不得及黄钟之数实皆参天两地圆盖方覆耦承竒之道也黄钟律吕之首而生十一律者也
通典十二律相生之法自黄钟始【黄钟之管九寸】三分损益下生林钟林钟上生太蔟太蔟下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上生蕤宾蕤宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟夹钟下生无射无射上生仲吕【仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四】此谓十二律长短相生一终于仲吕之法
朱子曰自黄钟至仲吕皆属阳自蕤宾至应钟皆属隂此是一个大隂阳黄钟为阳大吕为隂每一阳间一隂又是一个小隂阳
陈氏礼书先王因天地隂阳之气而辨十有二辰因十有二辰而生十有二律统之以三故黄钟统天林钟统地太蔟统人所以象三才生之以八故黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕之类所以象八风律生吕为同位所以象夫妇吕生律为异位所以象子母六上所以象天地之六气五下所以象天地之五行其长短有度其多寡有数其损益有宜始于黄钟终于仲吕黄钟太蔟姑洗损阳以生隂林钟南吕应钟益隂以生阳蕤宾夷则无射又益阳以生隂大吕夹钟中吕又损隂以生阳何则黄钟太蔟姑洗阳之阳也林钟南吕应钟隂之隂也阳之阳隂之阴则阳息隂消之时故阳常下生而有余阴常上生而不足蕤宾夷则无射阴之阳也大吕夹钟仲吕阳之阴也阴之阳阳之隂则阳消隂息之时故阳常上生而不足隂常下生而有余然则子午以左皆上生子午以右皆下生矣郑康成以黄钟三律为下生蕤宾三律为上生其说是也班固则类以律为下生吕为上生误矣
呉氏鼎曰上生下生之说先儒不同以律为下生吕为上生者史记生钟分及前汉志晋志刘歆京房蔡邕也以黄钟三律为下生蕤宾三律为上生者史记律寸及郑康成孔頴达淮南通典礼书也依律下生吕上生则大吕夷则仲吕止得半律依黄钟三律下生蕤宾三律上生则皆得正律朱子钟律篇各存其说而相生图则用郑孔蔡氏律吕新书以郑孔之说为隂阳错乱无伦而又谓大夹仲三吕在阳则用倍数是欲避律上生吕之名而仍用律上生吕之实矣陈氏以阳消隂息之理破错乱无伦之疑最为得之律吕正义律吕始黄钟终应钟止于十二者圣人审音制律其生声之理不得不止于十二故国语曰纪之以三平之以六成于十二天之道也至蕤宾之生大吕汉志下生通典主上生主下生者宗司马迁律书主上生者宗淮南之说也而朱子仪礼经传通解亦取上生盖蕤宾下生则三分损益仅得大吕之半必倍之始得其全上生则三分益一适得大吕之全其数则黄钟太蔟之中而声界黄钟太蔟之交与其下生而得其半孰若即用上生之直防简当耶此以声音度数言之而宜用上生者也黄钟一阳复始为十一月之律三分损益下生林钟为六月之吕此阳生隂宜下生也林钟三分益一上生太蔟为正月之律此隂生阳宜上生也太蔟三分损一下生南吕为八月之吕此阳生阴宜下生也南吕三分益一上生姑洗为三月之律此隂生阳宜上生也姑洗三分损一下生应钟为十月之吕此阳生隂宜下生也应钟三分益一上生蕤宾为五月之律此隂生阳宜上生也至蕤宾之生大吕复用上生者盖自黄钟十一月之律一阳始生而大吕十二月之吕二阳相继位虽居阴而气实应乎阳蕤宾五月之律一隂始生位虽居阳而气则属乎隂故蕤宾之生大吕实以隂生阳而宜上生者也自蕤宾一隂生而夷则七月之律无射九月之律气皆为隂自黄钟一阳生而夹钟二月之吕仲吕四月之吕气皆为阳故大吕生夷则为下生夷则生夹钟为上生夹钟生无射为下生无射生仲吕为上生是皆缘蕤宾上生而然此以隂阳理气言之而宜用上生者也古之圣王制为十二律吕以配十有二月节四时之变明消息之机一皆本乎隂阳阴阳之辨精则理明而数备故律吕三分损益上下相生之法诚千古不易之至理也
【呉氏鼐曰正义取陈用之之说而广其义与蔡邕阳生隂为下生隂生阳为上生之说及朱子律吕相生为小隂阳子午交界是大隂阳之说俱合其义精矣但陈氏以汉志为误殆不知汉志蕤夷无三律下生而又用倍者皆子一分丑三分二之本数也】
后汉书律厯志京房法黄钟十七万七千一百四十七林钟十一万八千九十八太簇十五万七千四百六十四南吕十万四千九百七十六姑洗十三万九千九百六十八应钟九万三千三百十二蕤宾十二万四千四百十六大吕十六万五千八百八十八夷则十一万五百九十二夹钟十四万七千四百五十六无射九万八千三百零四仲吕十二万一千七十二
【律吕新书桑氏悦曰蕤宾之实十二万四千四百一十六由是而下生大吕当损四万一千四百七十二而为大吕八万二千九百四十四可也何反益蕤宾之一而得十六万五千八百八十八之数乎先儒云黄钟生十一律子寅辰午申戌六阳辰皆下生丑夘巳未酉亥六隂辰皆上生隂数倍其实阳数四其实大吕当未未隂辰也而四其实可乎损之而益益之而损此律之所由成也蕤賔既益应钟之一大吕又益蕤宾之一可乎曰朱子云十二管隔八相生自黄钟之管阳皆下生隂皆上生自蕤宾之管隂反下生阳反上生以象天地之气也若拘古法而以阳必下生隂必上生则以之候气而气不应以之作乐而乐不和此郑氏重上生法所以为不易之论也惜乎西山当时失载其说不能不使初学之疑也范氏从子至已阳生隂退故律生吕言下生吕生律言上生从午至亥阳升隂退故律生吕言上生吕生律言下生梁氏寅曰班志隔八相生一下一上则终于中吕其长止三寸三分有竒京房之法则至蕤宾重上生凡五下六上终于中吕其长八寸六分有竒若仲吕止三寸三分有竒则虽三分益一不能复生黄钟之律故用六寸六分则三分益一而可以复生黄钟者也】
【陈氏埴曰律吕隔八生子上生者三分益一如林钟生太簇自六寸上生为八寸也下生者三分去一如黄钟生林钟自九寸下生为六寸也古史谓阳必下生隂必上生若拘此法则十二月之律无此降杀之序以之候气则气不应矣以之制乐则乐不和矣故郑康成有重上生法自黄钟生至蕤宾则阳反生上隂反生下六五而终矣其比次降杀之序可用以候气可用以制乐乃天然之法非巧算所能为者呉氏鼐曰京房以子丑寅卯辰五阳辰为下生巳午未申酉戌六隂辰为上生葢十二律中除仲吕不返生外惟蕤宾重上生余则一上一下此算律之防法也若其本法则大吕当八万二千九百四十四夹钟当七万三千七百二十八仲吕当六万五千五百三十六但本法大吕夹钟仲吕俱得子声倍之而正声乃合故本数者天地气化相生之缺防也倍之而合正声者人事辅相裁成之妙用也即重上生之防法亦所以补气化之缺防也】
蕙田案以上律吕三分损益之数蕤宾重上生法
律吕正义定律吕之长损益相生篇自古论律吕者必先考黄钟之长黄钟之长定而十一律吕皆由此定律吕新书言黄钟九寸寸作十分为九十分又言黄钟九寸寸作九分为八十一分夫九十分乃黄钟之正数而八十一分原于管子音五声度分史记淮南子遂以为管音度分新书虽兼取之而九寸之说实不可易但尺度不明则执九寸之说亦不能无失故定律吕之长必以古尺通之今尺比例推求然后真数可得以古尺言之黄钟九寸三分损益得六寸为林钟林钟三分益一得八寸为太蔟太蔟三分损一得五寸三分三厘三毫三丝三忽三防三纎有竒为南吕南吕三分益一得七寸一分一厘一毫一丝一忽一防一纎有竒为姑洗姑洗三分损一得四寸七分四厘零七丝四忽零七纎有竒为应钟应钟三分益一得六寸三分二厘零九丝八忽七防六纎有竒为蕤宾蕤宾三分益一得八寸四分二厘七毫九丝八忽三防五纎有竒为大吕大吕三分损一得五寸六分一厘八毫六丝五忽五防六纎有竒为夷则夷则三分益一得七寸四分九厘一毫五丝四忽零九纎有竒为夹钟夹钟三分损一得四寸九分九厘四毫三丝六忽零六纎有竒为无射无射三分益一得六寸六分五厘九毫一丝四忽七防四纎有竒为仲吕仲吕三分益一得八寸八分七厘八毫八丝六忽三防三纎有竒比之黄钟九寸不足一分二厘一毫一丝三忽六防六纎有竒以今尺言之黄钟之七寸二分九厘损益相生则林钟得四寸八分六厘太蔟得六寸四分八厘南吕得四寸三分二厘姑洗得五寸七分六厘应钟得三寸八分四厘蕤宾得五寸一分二厘大吕得六寸八分二厘六毫六丝六忽六防六纎有竒夷则得四寸五分五厘一毫一丝一忽一防一纎有竒夹钟得六寸零六厘八毫一丝四忽八防一纎有竒无射得四寸零四厘五毫四丝三忽二防有竒仲吕得五寸三分九厘三毫九丝零九防四纎有竒至仲吕上生比黄钟原数不足九厘八豪一丝二忽零六纎有竒夫黄钟古尺之度所生律吕其分寸如彼今尺之度所生律吕其分寸如此古尺之度为数多今尺之度为数少数多者横黍之所生数少者纵黍之所累数之多少虽异而管之长短则同今尺之七寸二分九厘正古尺之九寸也至于仲吕不能还生黄钟乃数之使然盖十二律吕上下相生损之渐少而益之不足故仲吕上生之变黄钟虽不及黄钟一分上下而其数仍与黄钟相近不得自成一律其声亦与黄钟相近不能自成一音细绎其理下生而损上生而益损益之间数有消长亦如气盈朔虚之有闰分此古人所以以律吕配之十二月也
定律吕之积损益相生篇制律吕之法以积实容黍为要者盖因管之长短广狭依此以正而声之洪纎髙下赖此以生是以必得黄钟之真积然后中声可定由是三分损益以为十一律吕而积无不合声无不谐但古今尺度不同则纵长周径因之而积实之数亦异必考核古今积数之异而验以容受之同然后律吕之真分可辨也黄钟积实古尺之八百一十分与今尺之四百三十分四百六十七厘二百一十毫为数不同而体之积分龠之容黍【千二百粒】实未尝异故十二律吕之积损益相生皆本于此黄钟古尺之积八百一十分三分损益得五百四十分为林钟林钟三分益一得七百二十分为太蔟太蔟三分损一得四百八十分为南吕南吕三分益一得六百四十分为姑洗姑洗三分损一得四百二十六分六百六十六厘六百六十六毫有竒为应钟应钟三分益一得五百六十八分八百八十八厘八百八十八毫有竒为蕤宾蕤宾三分益一得七百五十八分五百一十八厘五百一十八毫有竒为大吕大吕三分损一得五百零五分六百七十九厘零一十二毫有竒为夷则夷则三分益一得六百七十四分二百三十八厘六百八十三毫有竒为夹钟夹钟三分损一得四百四十九分四百九十二厘四百五十五毫有竒为无射无射三分益一得五百九十九分三百二十三厘二百七十三毫有竒为仲吕若夫今尺之积黄钟之四百三十分四百六十七厘二百一十毫三分损益则林钟得二百八十六分九百七十八厘一百四十毫太蔟得三百八十二分六百三十七厘五百二十毫南吕得二百五十五分零九十一厘六百八十毫姑洗得三百四十分一百二十二厘二百四十毫应钟得二百二十六分七百四十八厘一百六十毫蕤宾得三百零二分三百三十厘八百八十毫大吕得四百零三分一百零七厘八百四十毫夷则得二百六十八分七百三十八厘五百六十毫夹钟得三百五十八分三百一十八厘零八十毫无射得二百三十八分八百七十八厘七百二十毫仲吕得三百一十八分五百零四厘九百六十毫夫制管取声皆由于积实则十一律吕之积宜与黄钟并详而言律者多未及焉盖因其所定律吕之长与面幂相乗积数有未合耳十二律吕之度太蔟以上得全寸而无竒零故未显同异南吕以下积差渐多南吕古尺之长五寸三分三厘三毫三丝三忽有竒与面幂九方分相乗得积四百八十分如以南吕为五寸三分与面幂九方分相乗止得积四百七十七分则少三分至无射四寸九分九厘四毫三丝六忽与面幂相乗得四百四十九分四百九十二厘有竒如以无射为四寸八分八厘四毫八丝与面幂相乗止得积四百三十九分六百三十二厘则少九分八百六十厘凡制乐之法皆以积数倍之或加四倍或加八倍或加至十数倍及其用也若积少一分四倍则差四分八倍则差八分积少九分四倍则差三十六分八倍则差七十二分夫声音之发所辨正在中容实积多寡毫厘之际而可因其竒零遂畧之耶至于黄钟之龠积八百一十分容千二百黍盖所积之分方分也所容之黍圆粒也以方分度圆粒则必有空隙故合八百一十分之方适容千二百黍之圆乃为虚实相应之凖则焉然十二律吕之管皆生于黄钟而论者亦止及黄钟之容其他俱未载夫积分犹恐虚数之难凭而容粒则有实黍之可证故容黍之分亦当用三分损益以核之黄钟容千二百黍三分损一得八百黍为林钟林钟三分益一得一千零六十七黍为太簇太簇三分损益得七百一十一黍为南吕南吕三分益一得九百四十八黍为姑洗姑洗三分损一得六百三十二黍为应钟应钟三分益一得八百四十三黍为蕤宾蕤宾三分益一得一千一百二十四黍为大吕大吕三分损一得七百四十九黍为夷则夷则三分益一得九百九十九黍为夹钟夹钟三分损一得六百六十六黍为无射无射三分益一得八百八十八黍为仲吕仲吕三分益一得一千一百八十四黍【凡余分过大半者进一黍不及半者不计】夫体积虽有古今尺度之殊而容黍则一是以假黍以证分推分以定律以千二百黍实黄钟之龠不亏不溢则其他律吕之容受亦皆无一黍之差也是知古人制律有积分以验实体有容受以验积分所以互相比较务得律吕之真度故并着其同异俾观者得取衷焉
蕙田案以上律吕之长律吕之积三分损益之数亦蕤宾重上生之防法
【考律绪言呉氏鼎曰言律者皆曰三分损益矣何以三分何以损益未有明其所由然者惟明葛中选泰律谓一位具三合三参天也三损一存二两地也三损一矣存二之中仍具三焉递而生之皆三也存二之中各分二焉倍而行之皆两也是以一位之中凖三是三其两也凖两是两其三也三者递生也倍者自生也案声音之理不过一律而一吕律吕之辨不过一隂而一阳隂阳之数不过一参而一两参者三分所从出也两者损益所从出也凡声属巨若雷霆细如蚊蚋其间髙下清浊至于无算及其此声与彼声而为用也总不出乎相生相应之理相生者一母一子母一而子三相应者一全一半全一而半二由三而九而二十七而八十一其数不同同归于三由二而四而八而十六其数不同同归于二一三一二而律之变化尽矣则三分损益而律之变化尽矣彼有不用三分损益之法者于音理曷有当耶李氏光地曰律之以损益相生何也曰凡象数皆起于隂阳象者方圆相变者也数者竒耦相生者也故方之内圆必得外圆之半皆以积实言其外圆必得内圆之倍圆之内方亦必得外方之半其外方亦必得内方之倍律之上生为下生之倍下生为上生之半其理一也盖方圆函盖竒耦乗负隂阳变化天地生生之道也苟其象之所生同数之所起同则上下无不应也外内无不合也倍半无不和也故司马迁律书谓之同类今西人算学谓之比例孔子曰同声相应同气相求此之谓也夫金石之铿訇与丝之繁细物性迥然殊矣而各以其性为声律则无不相应者岂非同类比例之说乎其相生必以隔八何也曰比位者隂阳相合之情也隔七者隂阳相对之义也隔八者隂避阳位偏正之分尊卑之等也夫然后理顺情和而相应矣】
辨不用三分损益
【明郑世子朱载堉着律吕精义剏为新法不用三分损益不拘隔八相生専恃开方乗除自黄钟倍律转生十二次仍得黄钟正律正律生半律或左旋或右旋或隔六或逐位往而复返循环无端】呉氏鼎曰新书载宋胡瑗病仲吕反生不及黄钟乃迁就林钟以下围径以就黄钟清声何承天刘焯欲増林钟以下十一律之分使至仲吕反生黄钟蔡氏论之以为惟黄钟一律成律他十一律皆不成律今载堉之法损十一律之分使反生黄钟半数亦犹何刘増十一律之数使反生黄钟原数正所谓惟黄钟一律成律耳至其所用开方乗除皆有遗弃不尽之数考京房六十律相生法余分皆弃不用蔡氏论之曰夫律学防妙其生数之法正在毫厘秒忽之间京房乃以不尽之算不容损益遂或弃之或増之则其畸赢赘亏之积亦不得为此律矣今载堉之法正京房或弃或増之病蔡氏所诃不得为律者乃反以秒忽不尽为自然之理三分损益为疎舛之法不亦异乎
右三分损益
史记律书得九寸命曰黄钟之宫
淮南子黄钟之长修九寸
律吕新书黄钟长九寸
律吕正义黄钟律分篇黄钟之律有长与围径则有尺度有尺度然后数立焉黄钟元声原未絶于世而造律之尺独难得其真隋志载歴代尺一十五等其后改革益甚至律吕新书所载如周尺汉刘歆铜斛尺蔡邕铜龠尺建武铜尺魏杜夔尺晋田父玉尺始平古铜尺汲冡玉律尺刘曜土圭尺刘宋钱乐之浑仪尺后魏元延明尺后周玉尺梁景表尺隋开皇水尺五代王朴律凖尺宋和岘尺李照尺胡瑗阮逸尺邓保信尺大晟乐尺共二十余种然尺者所以度律而黍者所以定尺古今尺度虽各不同而律之长短自不可更黍之大小又未尝变故黄钟之分参互相求而可得其真也宋李照以纵黍累尺管容千七百三十黍空径三分固失于大胡瑗以横黍累尺管容千二百黍空径三分四厘六毫亦非真度通志载夏尺十寸商尺十有二寸周尺八寸自三代而后尺虽不一大约长不逾商尺短不减周尺今黄钟之长九寸非夏尺之九寸商尺之九寸亦非歴代诸尺之九寸乃本造律度十分之九也夫以夏尺商尺之度制为黄钟之龠其容受逾于千二百黍固不必言尝以今尺之八寸为周尺立法制为黄钟之龠其容黍又少歉更以今尺之八寸一分立法乃恰合千二百黍之分始知古圣人定黄钟之律盖合九九天数之全以立度且验之今尺纵黍百粒得十寸之全而横黍百粒适当八寸一分之限明郑世子载堉律吕精义审度篇亦载横黍百粒当纵黍八十一粒又前汉志曰黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分夫广者横之谓也九十分为黄钟之长则黄钟为九十横黍所累明矣以横黍之度比纵黍之度即古尺之比今尺以古尺之十寸【即横黍一百之度】为一率今尺之八寸一分【即纵黍八十一之度】为二率黄钟古尺九寸为三率推得四率七寸二分九厘即黄钟今尺之度也夫考音而不审度固无特契之理审度而不验黍亦无恰符之妙依今所定之尺造为黄钟之律考之于声既得其中实之以黍又适合千二百之数然则八寸一分之尺岂非古人造律之真度耶
蕙田案黄钟九寸始于史记淮南子律吕新书从之九寸者九分也黄钟律度以三用九故九九则八十一分非尺度之分寸也后人不知九为黄钟度法而泥于九寸为尺寸之寸故或以为寸十分或以为一尺或以黍定尺或谓不当以黍定尺或以钱校尺论议纷纭而黄钟之真度卒不可得古律吕卒不可求我
圣祖天亶神圣心通律吕之原即以九九之数定黄钟而横黍之广恰合八寸一分之限考之于声则得其中实之以黍又适合一千二百之数岂非心通造化而为万世法者哉彼不得其原而徒为尺度揣摩之术者可一举而空之矣
辨史记八寸七分一之说
【史记误刋本曰黄钟八寸七分一】
索隠曰律九九八十一故云长八寸十分一旧本作七分盖误也 朱子曰蔡京用事作乐尽破前代之言乐者因作中声正声如正声九寸中声只八寸七分一案史记七字多错乃是十分一其乐只是杜撰至今用之
辨汉书九寸寸十分之说
【汉书律厯志一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分十分为寸十寸为尺】
呉氏鼎曰此言黄钟九寸寸十分之始京房刘歆郑康成并同后世如李照房庶胡瑗范景仁司马光皆用此说而明何塘曰汉志谓黄钟之律九寸加一寸为一尺夫度量权衡所以取法于黄钟者贵其与天地之气相应也若加一寸以为尺则又何取于黄钟殊不知黄钟之长固非人所能为汉志不知乃欲加黄钟为一寸谬矣
蕙田案加一寸为尺者亦由不知黄钟之寸乃假借之辞固不得以度之一寸十分为比也
辨朱载堉黄钟一尺之说
【朱载堉曰一分者总为一段也命黄钟为一尺故曰子一分丑三分二乃一尺中三寸之二寅九分八乃一尺中九分之八】
蕙田案一尺之说最为无理不足辨皆由泥于度尺而然也
辨黄钟三寸九分之解
吕氏春秋黄帝令伶伦作为律伶伦自大夏之西乃之阮隃之隂取竹于嶰豀之谷以生空厚窍均者断两节间其长三寸九分而吹之以为黄钟之宫吹曰含少
【乐典曰黄帝命伶伦断竹两节间声出三寸九分故吹曰含少合其无声者四十二分则为全律三十九子半数也阳犹丽隂隂含少阳是以名也 古乐经传自黄钟八寸一分上下相生穷于应钟四寸二分则其中间长短相距取用之数盖三寸九分而已伶伦先得嶰谿之竹断取一均间别其三寸九分之内穴孔而吹之以备黄钟之五声故总其全体而命之曰黄钟之宫而以其所穴之孔为黄钟所含之少声也 朱载堉曰后学未逹指三寸九分为黄钟之长误矣八寸一分三寸九分合为十二寸即律吕之全数 季本曰当为长九寸空径三寸之误】
蕙田案吕览三寸九分之说乐典以为声出三寸九分乃是吹口古乐经传以下人各执一说皆揣拟无当惟
御制律吕正义曰间甞截竹为管详审其音黄钟之半律不与黄钟合而合黄钟者为太簇之半律吕氏春秋以三寸九分之管为声中黄钟之宫即半太簇合黄钟之义乃知三寸九分者论宫均相应之半声而非论其长也故吕氏曰吹之则明指声矣曰含少少者非即半律之义耶后人但以长短之数欲牵合九寸八十一分多见其臆凿也
附今尺八寸七分一之数
律吕正义曰黄钟古尺九寸今尺七寸二分九厘【今案古尺十寸当今尺八寸一分故黄钟之管于古尺为九寸于今尺为七寸二分九厘也】
大吕古尺八寸四分二厘七毫今尺六寸八分二厘六毫
太蔟古尺八寸今尺六寸四分八厘
夹钟古尺七寸四分九厘一毫今尺六寸零六厘八毫
姑洗古尺七寸一分一厘一毫今尺五寸七分六厘仲吕古尺六寸六分五厘九毫今尺五寸三分九厘三毫
蕤宾古尺六寸三分二厘今尺五寸一分二厘林钟古尺六寸今尺四寸八分六厘
夷则古尺五寸六分一厘八豪今尺四寸五分五厘一毫
南吕古尺五寸三分三厘三毫今尺四寸三分二厘无射古尺四寸九分九厘四毫今尺四寸零四厘五毫
应钟古尺四寸七分四厘今尺三寸八分四厘
蕙田案以上黄钟寸法
汉书律厯志黄钟八百一十分
后汉郑康成月令注曰凡律空围九分
蔡氏邕铜龠铭曰龠黄钟之宫空圆九分容黍千二百粒
月令章句曰黄钟之管径三分围九分
孟氏康曰黄钟律孔径三分参天之数围九分终天之数
韦氏昭曰黄钟管径三分围九分因而九之九九八十一故黄钟之数立焉
晋志曰十二律空径三分
隋志曰黄钟之管径三分长九寸
宋史志曰皇祐中诏王洙范镇如房庶说造律径三分围九分容千二百黍
胡氏瑗曰黄钟径三分四厘六毫围十分三厘八毫又曰黄钟律管每长一分内实十三黍又三分黍之一围中容九方分也后儒执守孤法多不能贯知权量之法但制尺求律便为坚证因谓围九分者取围圆九分尔以是围九分之误遂有径三分之说若从径三围九之法则黄钟之管止容九百黍积止六百七分半如此则黄钟之声无从而正权量之法无从而生
房氏庶曰大其空径四厘六毫是以乐声太髙范氏镇曰古律空径三分围九分今新律三分四厘六毫此四厘六毫何从出 又曰古者以竹围为律竹形本圆何以方分置算又算法圆分谓之径圆方分谓之方斜所谓径三围九方五斜七是也今圆分何以方法算之此算法之非是也
司马氏光曰径三围九数家言其大要耳若以宻率言之径七分围二十有二分也
胡氏铨曰班固以八十一分为黄钟之实起十二律之周径度其长以容其实初未尝有径三围九之说也康之徒惑于八十一分之实以一寸为九分而不察方圆之异于是径三围九之论兴焉夫律之形圆如以为径三围九则刓其四角之方而不足于九分之数以之容黍岂能至于千二百哉然则所谓围九分方也何以知之知龠之方则知黄钟之分安得而不方哉围九分方而圜之则径不止于三分矣故夫径三围九之说孟康为之也
朱子钟律篇曰黄钟围九分径三分四厘六毫 又曰古者只说空围九分不说径三分盖不啻三分有竒也
蔡氏元定曰空围九分积八百一十分
又曰案十二律围径自先汉以前传记并无明文惟班志云黄钟八百一十分由此之义起十二律之周径然其说乃自以律之长自乗而因之以十配合为说耳未可以为据也惟审度章云一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以千二百黍实其龠谨权衡章则以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也又汉斛铭文云律嘉量方尺圆其外庣旁九厘五毫幂百六十二寸深尺积一千六百二十寸容十斗嘉量之法合龠为合十合为升十升为斗十斗为石一石积一千六百一十寸为分者一百六十二万一斗积一百六十二寸为分者十六万二千一升积十六寸二分为分者一万六千二百一合积一寸六分二厘为分者一千六百二十则黄钟之龠为八百一十分明矣空围八百一十分则长累九十黍广容一千二百黍矣盖十其广之分以为长十一其长之分以为广自然之数也自孟康以律之长十之一为围之谬其后韦昭之徒遂皆有径三分之说而隋志始着以为定论然累九十黍径三黍止容黍八百有竒终与一千二百黍之法两不相通而律竟不成唐因声制乐虽近于古而律亦非是本朝承袭皆不能觉独胡安定以为九分者九方分也以破径三分之法然所定之律空围不同则亦不成律矣
性理大全彭氏曰黄钟律管有周有径有面幂有空围内积有从长如史记论纵长律歴志论纵长及积东汉郑氏注月令论幂东汉蔡氏月令章句论纵长皆不易之论独周径之说汉以前俱无明文汉律歴志开端未竟东汉蔡氏始创为径三分之说晋孟氏以后诸儒续为径三分围九分之说宋胡氏蔡氏又为径三分四厘六毫围十分三厘八毫之说然考之古方围周径幂积皆未有合尝依东汉蔡氏所言径三分以宻率乗除止得空围内面幂七分七厘竒乃少一分九十二厘竒空围内积实止得六百三十六分竒乃少一百七十三分竒如此则黄钟之管无乃太狭盖黄钟空积忽防若径内差一忽即面幂及积所差忽数至多此东汉蔡氏之说所以不合也晋孟氏诸儒言径三分围九分用径一围三之法虽是古率然以宻率推之径一则围三有竒假如径七则围当二十有二今依孟氏所言径三分则围长当九分四厘二毫一秒强不但止于九分也若依九分围长之数则径当止有二分八厘六毫二秒六忽强又不及三分也此晋孟氏诸儒之说所以不合也宋胡氏不主径三围九之说大意疑其管狭耳然所言径三分四厘六豪围十分三厘八毫亦用径一围三之率若依所言三分四厘六毫径当得围十分八厘七毫六秒二忽强不但止于十分三厘八毫也若依十分三厘八毫围则径止得三分三厘竒又不及三分四厘六毫也此宋胡氏之说所以不合也宋蔡氏说径围分数与胡氏同至于算法用圆田术三分益一得一十二开方除之求径又以径相乗以管长乗之用三分益一四分退一之法求幂积今姑依其说以九方分平置又三分益一以三方分割置于九方分之外其积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽如蔡氏之说但依此径以宻率相乗则空围内面幂不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽竒空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽竒如此则黄钟之管无乃太大细考之方内之圆所占者不止四分三圆外之方所当退者又不及四分一以所知三分益一四分退一乃算家大约之法此宋蔡氏之说所以又不能尽合也今欲求黄钟的实定数取此管九寸寸作十分分作十厘厘作十毫毫作十秒秒作十忽以合天地五位终于十之数乃以十乗八十一得八百一十分以八百一十分配九十分管知此管长九十分空围中容八百一十分即十分管长空围中容九十分一分管长空围中容九分乃以此管面空围中所容九分以平方幂面推之知一分有百厘厘有百毫毫有百秒秒有百忽积而计之九平方分通有面幂九万万忽依宻率乗除得圆周长十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二又以圆周求径计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五又以半径半周相乗仍得九万万忽内一忽弱通得面幂九平方分也既以周径相乗复得面幂如此则黄钟之广与长及空围内积实皆可计矣故面幂计九方分深一分管则空围内当有九立方分深九十分管计九十则空围内当有八百一十立方分此即黄钟一管之实其数与天地造化无不相合此算法所以成也算法既成之后或以竹或以铜别为之依其长作九十分乃取九十分之分计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径如此则围长面幂与夫空围内积自然无不脗合特径数自入毫以下非可细分而算法积忽与秒不容不然耳
李氏光地古乐经传曰彭氏之算庶几得之秒忽之下有不尽之分则亦无形之可纪也盖方体之积十四则内容之圆其积十一故知益一退一之法为古人疎率以积求周者置积为实以八十八乗之以七除之平方开之以周求径者置周为实以径法七因之以周法二十二除之以周径求积者置周折半为实以径折半为法乗之此彭氏之说也若以积求径则置积为实以十四乗之以十一除之平方开之以径求周则置径为实以周法二十二乗之以径法七除之其所得之数亦皆符防
律吕正义定黄钟纵长体积面幂周径篇律吕新书黄钟长九寸空围九分【言圆面积九方分也】积八百一十分夫有纵长有体积则面幂围径自可得而考矣汉蔡邕晋孟康吴韦昭皆主径三围九以今所定比例四率法求之得面幂六分七十五厘【平方定位法百厘成分百分成寸故曰几十几分几十几厘】以长九十分乗之得体积六百零七分五百厘【立方定位法千厘成分千分成寸故曰几百几十几分几百几十几厘】比之八百一十分母乃太少宋胡瑗蔡元定主径三分四厘六毫用定率求之得面幂九分三十九厘三十九毫以长九十分乗之得体积八百四十五分四百五十一厘比之八百一十分则又过之惟刘宋祖冲之宻率求得径三分三厘八毫四丝四忽面幂八分九十九厘九十七毫有竒其数为近但其法以周率二十二四之犹用圆田术三分益一起算故小余犹未宻耳夫执一说而不参互相求则于理有遗参互相求而不用宻法比例则于数有遗今置黄钟古尺积八百一十分以九十分归之得面幂九方分用比例四率相求表内面线相等面积不同定数为比例以圆面积一十万为一率方面积一十二万七千三百二十四为二率今面幂九方分为三率推得四率一十一分四十五厘九十毫为圆面幂经线相等正方面积以开平方得三分三厘八毫五丝一忽乃黄钟古尺之径数也求周则以周径相求定数为比例以径一百一十三为一率周三百五十五为二率今径三分三厘八毫五丝一忽为三率推得四率十分零六厘三毫四丝六忽为黄钟古尺之内周数也较以时尺则黄钟古尺之积比今尺之积即古尺自乗再乗之数比今尺自乗再乗之数【因体积相比故用自乗再乗】以古尺一百分自乗再乗得一百万分为一率今尺八十一分自乗再乗得五十三万一千四百四十一分为二率黄钟古尺积八百一十分为三率推得四率四百三十分四百六十七厘二百一十毫乃黄钟今尺之积也如求面幂则以今尺长七寸二分九厘归之得面幂五分九十厘四十九毫如法求径得二分七厘四豪一丝九忽是为黄钟今尺之径数若以古尺之径数如法比例以推今尺之径数或以今尺之径数如法比例以推古尺之径数皆彼此协合夫以纵长体积面幂周径古尺今尺参互相求莫不环转符契而无毫厘之差始为立法之宻而于理数无遗也【呉氏鼐曰黄钟长九寸空围九分则郑蔡孟韦之说是也长九十分容千二百黍汉志之说而宋史宗之也积八百一十分亦汉志之说而蔡氏宗之也以空围九分为九方分者则胡安定之说也径三三八五周一零六三则正义之说是也驳径三围九则温公是也聚古人算律之言参差不一者断案精凿则彭氏也合古今尺比例而得黄钟真度者正义也此义明而诸家疑似之说可剖而断也】
蕙田案以上黄钟纵长体积面幂周径
汉志八百一十分黄钟之实也三百六十分林钟之实也六百四十分太簇之实也
孟康曰黄钟长九寸围九分林钟长六寸围六分太簇长八寸围八分
蔡邕月令章句曰黄钟之管长九寸其余皆稍短惟大小围径无増减
隋志曰汉志云黄钟围九分林钟围六分太簇围八分续志及郑康成并云十二律空皆径三分围九分后魏安丰王依班固志林钟空围六分及太簇空围八分作律吹之不合黄钟商征之声皆空围九分乃与均钟合开皇九年牛辛彦之郑译何妥等参考古律制黄钟之管俱径三分其九寸度有损益故容黍不同
范镇曰黄钟长九寸三分损一为林钟长六寸律皆围九分黄钟积实得八百一十分三分损一林钟得五百四十分十二律皆如此